2021版高考数学一轮复习第二章函数2.pdf

第六节第六节指数与指数函数指数与指数函数最新考纲1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊11点，会画底数为 2,3,10，的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型231根式(1)n次方根的概念若xa，则x叫做a的n次方根，其中n1 且nN N.式子a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数a的n次方根的表示n*nxna(2)根式的性质(a)a(nN N，n1)nn*a，n为奇数，naa，a0，|a|a，a0，nn为偶数.2有理数指数幂(1)幂的有关概念0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂无意义(2)有理数指数幂的运算性质a aarsrsrs(a0，r，sQ Q)；(a)a(a0，r，sQ Q)；rs(ab)a b(a0，b0，rQ Q)3指数函数的图象与性质rrryaxa10a1图象定义域值域R R(0，)过定点(0,1)性质当x0 时，y1；当x0 时，0y1在 R R 上是增函数常用结论1指数函数图象的画法当x0 时，0y1；当x0 时，y1在 R R 上是减函数1，1.x画指数函数ya(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，a2指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)ya，(2)yb，(3)yc，(4)yd的图象，底数a，b，c，d与 1之间的大小关系为cd1ab0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数ya(a0，a1)的图象越高，底数越大xxxxx3指数函数ya(a0，a1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a1 与0a1 来研究x 答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1函数f(x)21x的大致图象为()AB CD1Af(x)2 21xx-1，又f(0)2，f(1)1，故排除 B，C，D，故选 A.1x2若函数f(x)a(a0，且a1)的图象经过点P2，则f(1)_.21222由题意知 a，所以a，22-1所以f(x)22，所以f(1)2.22x4843化简16x y(x0，y0)_.答案2x y-113-33434，b，c，则a，b，c的大小关系是_52234已知a 53cbay 是减函数，511-333430 ，555则ab1，3-3430又c 1，22cba.x考点 1指数幂的运算指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一考点 2指数函数的图象及应用(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解(1)函数f(x)axb的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b0Ba1，b0C0a1，b0D0a1，b0(2)若曲线y|3 1|与直线ym有两个不同交点，则实数m的取值范围是_(1)D(2)(0,1)(1)由f(x)a调递减，所以 0a1.函数f(x)axbx的图象可以观察出，函数f(x)axxb在定义域上单xb的图象是在f(x)a的基础上向左平移得到的，所以b0.故选 D.(2)曲线y|3 1|的图象是由函数y3 的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线ym的图象是平行于x轴的一条直线，它的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y|3 1|与直线ym有两个公共点，则m的取值范围是(0,1)xxx母题探究1(变条件)若本例(2)条件变为：方程 3 1m有两个不同实根，则实数m的取值范围是_(0，)作出函数y3 1 与ym的图象如图所示，数形结合可得m的取值范围是(0，)|x|x|2(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y|3 1|m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是_(，1作出函数y|3 1|m的图象如图所示xx由图象知m1，即m(，1应用指数函数图象的技巧1，1.x(1)画指数函数ya(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，a(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、对称变换而得到特别地，当底数a与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论1.函数f(x)1e 的图象大致是()|x|ABCDAf(x)1e 是偶函数，图象关于y轴对称，又e 1，f(x)0，符合条件的图象只有 A.2函数yab(a0，且a1)的图象经过第二、三、四象限，则a的取值范围是_(0,1)因为函数yab的图象经过第二、三、四象限，所以函数yab单调递减0a1，0且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上 令x0，则yab1b，由题意得1b0，0a1，解得b1，xxxb|x|x|故a(0,1)abb3已知实数a，b满足等式 2 019 2 020，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的关系式有_(填序号)作出y2 019 及y2 020 的图象如图所示，由图可知ab0，ab0 或ab0 时，有 2 019 2 020，故不可能成立abxx考点 3指数函数的性质及应用指数函数性质的应用主要是利用单调性解决相关问题，而指数函数的单调性是由底数a决定的，因此解题时通常对底数a按 0a1 和a1 进行分类讨论比较指数式的大小(1)已知a2，b0.4，c0.4，则()AabcCcab(2)设函数f(x)x0.22a0.20.20.6BacbDbca与g(x)a(a1 且a2)在区间(0，)上具有不同的单调性，x1则M(a1)与N aAMNCMN0.1的大小关系是()BMNDMN0.20.6(1 1)A A(2 2)D D(1)由 0.20.6,0.41，并结合指数函数的图象可知0.4 0.4，即bc.因为a2 1，b0.4 1，所以ab.综上，abc.(2)因为f(x)x2a0.20.2与g(x)a(a1 且a2)在区间(0，)上具有不同的单调性，所x10.10.2以a2，所以M(a1)1，N 1，所以MN.故选 D.a 指数式的大小比较，依据的就是指数函数的单调性，原则上化为同底的指数式，并要注意底数范围是(0,1)还是(1，)，若不能化为同底，则可化为同指数，或利用中间变量比较，如本例(1)解简单的指数方程或不等式311(1)已知函数f(x)a4 1的图象过点1，10，若6f(x)0，则实数xx的取值范围是_(2)方程 4|12|11 的解为_311(1)0，(2)xlog23(1)f(x)ax的图象过点1，104 12xx131a，即a.510211f(x)x.24 11 f(x)0，6111 x 0，64 12111x x，24 13，34 12即 14 2，10 x.2(2)当x0 时，原方程化为 4 2 120，即(2)2 120.(2 3)(2 4)0，2 3，即xlog23.当x0 时，原方程化为 4 2 100.令t2，则tt100(0t1)1 140由求根公式得t均不符合题意，故x0 时，方程无解2(1)af(x)x2xxxx2xxxxxxag(x)f(x)g(x)(2)af(x)ag(x)，当a1 时，等价于f(x)g(x)；当0a1 时，等价于f(x)g(x)(3)有些含参指数不等式，需要分离变量，转化为求有关函数的最值问题与指数函数有关的复合函数的单调性(1)函数f(x)(2)函数f(x)4 2xx1的单调减区间为_的单调增区间是_1(1)(，1(2)0，)(1)设ux2x1，y 在 R R 上为减函数，所22u以函数f(x)2的减区间即为函数ux2x1 的增区间2又ux2x1 的增区间为(，1，所以f(x)的减区间为(，1(2)设t2(t0)，则yt2t的单调增区间为1，)，令 2 1，得x0，又y2 在 R R 上单调递增，所以函数f(x)4 2xxx1x2x的单调增区间是0，)逆向问题已知函数f(x)2则m的取值范围是_|2xm|(m为常数)，若f(x)在区间2，)上单调递增，(，4令t|2xm|，则t|2xm|在区间，上单调递增，在区间2，m上单调递减而y2t在 R R 上单调递增，所以要使函数f(x)2|2xm|在2，)上2单调递增，则有 2，即m4，所以m的取值范围是(，42求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断指数函数性质的综合应用1(1)函数f(x)ae 1(a，bR R)是奇函数，且图象经过点ln 3，2，则函数xmmbf(x)的值域为()A(1,1)C(3,3)xxB(2,2)D(4,4)(2)若不等式12 4 a0在x(，1时恒成立，则实数a的取值范围是_b3(1)A A(2)，(1)函数f(x)为奇函数，定义域是 R R，则f(0)a 0，函241b12数图象过点ln 3，则f(ln 3)a .结合可得a1，b2，则f(x)1x.242e 122xx因为 e 0，所以 e 11，所以 0 x2，所以11x1，即函数f(x)的值域e 1e 1为(1,1)1x1x1x1x(2)从已知不等式中分离出实数a，得a .因为函数y 和y 在4242 111111113R R 上都是减函数，所以当x(，1时，所以 ，4422424241x1x33从而得 .故实数a的取值范围为a.4442 指数函数的综合问题，主要涉及单调性、奇偶性、最值问题，应在有关性质的基础上，结合指数函数的性质进行解决，而指数函数性质的重点是单调性，注意利用单调性实现问题的转化xxxx1.函数y的值域是()A(，4)C(0,4B(0，)D4，)1C设tx2x1，则y.22t1t1因为 0 1，所以y 为关于t的减函数2211因为t(x1)22，所以 0y 4，故所求函数的值域为(0,4222t-24，x0，2已知实数a1，函数f(x)ax2，x0，x若f(1a)f(a1)，则a的值为_1111a1当a1 时，42，所以a；当a1 时，代入可知不成立，所以a的值为.2221x 7，x0，3 设函数f(x)2x，x0，若f(a)1，则实数a的取值范围是_1a1a1a1(3,1)当a0 时，不等式f(a)1 可化为 71，即 8，即 2222a3.又a0，3a0.当a0 时，不等式f(a)1 可化为a1.0a1，综上，a的取值范围为(3,1)-3，