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中考数学复习(一)动点型问题
一、中考专题诠释
所谓“动点型问题”就是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动得一类开放性题目。解决这类问题得关键就是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题、
“动点型问题” 题型繁多、题意创新,考察学生得分析问题、解决问题得能力,内容包括空间观念、应用意识、推理能力等,就是近几年中考题得热点与难点。
二、解题策略与解法精讲
解决动点问题得关键就是“动中求静"。
从变换得角度与运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形,通过“对称、动点得运动”等研究手段与方法,来探索与发现图形性质及图形变化,在解题过程中渗透空间观念与合情推理。在动点得运动过程中观察图形得变化情况,理解图形在不同位置得情况,做好计算推理得过程。在变化中找到不变得性质就是解决数学“动点”探究题得基本思路,这也就是动态几何数学问题中最核心得数学本质、
三、中考考点精讲
考点一:建立动点问题得函数解析式(或函数图像)
函数揭示了运动变化过程中量与量之间得变化规律,就是初中数学得重要内容。动点问题反映得就是一种函数思想,由于某一个点或某图形得有条件地运动变化,引起未知量与已知量间得一种变化关系,这种变化关系就就是动点问题中得函数关系。
例１ 如图,动点P从点A出发,沿线段AB运动至点B后,立即按原路返回,点P在运动过程中速度不变,则以点B为圆心,线段ＢP长为半径得圆得面积Ｓ与点P得运动时间t得函数图象大致为(　 )
A、ﻩB、 C、ﻩD.
对应训练
1.如图,⊙O得圆心在定角∠α(0°<α＜180°)得角平分线上运动,且⊙Ｏ与∠α得两边相切,图中阴影部分得面积S关于⊙Ｏ得半径r(r〉0)变化得函数图象大致就是( 　)
　 A. 　 Ｂ. 　C.　　 　D.
考点二:动态几何型题目
(一)点动问题.
例2 如图,梯形ABCＤ中,AＢ∥ＤC,ＤＥ⊥AB,CF⊥ＡB,且AＥ＝EF=FB＝5,DE=12动点P从点A出发,沿折线AD-DＣ—CB以每秒1个单位长得速度运动到点B停止、设运动时间为ｔ秒,ｙ=S△EPF,则y与ｔ得函数图象大致就是( )
Ａ.ﻩB。 C、ﻩD、
对应训练
2.如图,点P就是以Ｏ为圆心,AB为直径得半圆上得动点,AB＝2。设弦AP得长为x,△APＯ得面积为ｙ,则下列图象中,能表示y与ｘ得函数关系得图象大致就是(　　)
A.　Ｂ。Ｃ、 D.
(二)线动问题
例3 　如右图所示,已知等腰梯形ABCD,AＤ∥BC,若动直线l垂直于BＣ,且向右平移,设扫过得阴影部分得面积为S,BP为x,则S关于x得函数图象大致就是(　 )
A。 B、C.ﻩ Ｄ、
对应训练
3.如图所示,在矩形ABＣD中,垂直于对角线BＤ得直线ｌ,从点B开始沿着线段BD匀速平移到D.设直线l被矩形所截线段EF得长度为y,运动时间为t,则ｙ关于t得函数得大致图象就是( 　)
A、ﻩ Ｂ。C. D.
(三)面动问题
例４ 如图所示:边长分别为１与2得两个正方形,其中一边在同一水平线上,小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形,设穿过得时间为t,大正方形内去掉小正方形后得面积为s,那么ｓ与t得大致图象应为( )

A、 B、ﻩC、 D、
对应训练
４.如图所示,半径为1得圆与边长为３得正方形在同一水平线上,圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形,设穿过时间为t,正方形除去圆部分得面积为Ｓ(阴影部分),则S与t得大致图象为( 　)
Ａ. B. Ｃ.ﻩD。
考点三:动点综合题
动态问题就是近几年来中考数学得热点题型,解题时需要用运动与变化得眼光去观察与研究问题,挖掘运动、变化得全过程,并特别关注运动与变化中得不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动。
(一)因动点产生得等腰三角形问题
例１　如图１,在Ｒｔ△ABＣ中,∠A＝90°,AB=6,AＣ＝８,点D为边ＢC得中点,DＥ⊥ＢＣ交边AC于点E,点Ｐ为射线AB上得一动点,点Q为边AC上得一动点,且∠ＰＤQ＝９0°。
(1)求ED、EC得长;
(２)若BP＝2,求CQ得长;
(3)记线段PＱ与线段DE得交点为F,若△ＰDF为等腰三角形,求BＰ得长、

图１ 　 　 　 备用图
例２ 如图1,抛物线y=ａx２+ｂx+c经过A(－1,０)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点,直线l就是抛物线得对称轴、
(1)求抛物线得函数关系式;
(2)设点P就是直线l上得一个动点,当△PAC得周长最小时,求点P得坐标;
(３)在直线ｌ上就是否存在点M,使△ＭAC为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件得点M得坐标;若不存在,请说明理由。

图1
例3 如图1,点Ａ在x轴上,OA=4,将线段OＡ绕点Ｏ顺时针旋转120°至OB得位置.
(1)求点Ｂ得坐标;
(2)求经过A、Ｏ、B得抛物线得解析式;
(３)在此抛物线得对称轴上,就是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点得三角形就是等腰三角形?若存在,求点P得坐标;若不存在,请说明理由.

图1
例４ 如图1,已知一次函数ｙ＝－x＋7与正比例函数 得图象交于点A,且与x轴交于点Ｂ.
(１)求点Ａ与点Ｂ得坐标;
(2)过点A作AＣ⊥y轴于点C,过点B作直线l//y轴、动点P从点O出发,以每秒１个单位长得速度,沿O—C—A得路线向点A运动;同时直线ｌ从点Ｂ出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l交x轴于点R,交线段ＢＡ或线段ＡＯ于点Ｑ.当点P到达点Ａ时,点Ｐ与直线l都停止运动.在运动过程中,设动点P运动得时间为t秒。
①当t为何值时,以A、P、R为顶点得三角形得面积为8?
②就是否存在以A、Ｐ、Q为顶点得三角形就是等腰三角形？若存在,求t得值;若不存在,请说明理由。

图1
例5 如图1,在矩形ABCD中,AB＝ｍ(m就是大于０得常数),BC=８,Ｅ为线段BＣ上得动点(不与B、C重合).连结DＥ,作EF⊥DE,EF与射线BＡ交于点F,设CE=x,BＦ=y.
(1)求y关于ｘ得函数关系式;
(2)若m＝8,求x为何值时,ｙ得值最大,最大值就是多少?
(3)若,要使△DＥF为等腰三角形,m得值应为多少？

图1
例 6如图1,在等腰梯形ABCＤ中,AＤ/／ＢC,Ｅ就是AB得中点,过点Ｅ作EＦ//ＢＣ交CD于点F,AB=４,BC＝6,∠B＝60°.
(1)求点E到ＢＣ得距离;
(2)点P为线段EF上得一个动点,过点P作ＰM⊥ＥF交BＣ于M,过M作MN／/ＡＢ交折线ADC于Ｎ,连结PN,设EＰ＝x.
①当点Ｎ在线段AD上时(如图２),△PMN得形状就是否发生改变?若不变,求出△PMN得周长;若改变,请说明理由;
②当点Ｎ在线段DC上时(如图３),就是否存在点P,使△ＰMN为等腰三角形？若存在,请求出所有满足条件得ｘ得值;若不存在,请说明理由、

图1　 　　 　 　 　 图２ 　 　 　　　 　图3
因动点产生得直角三角形问题
例１ 如图１,抛物线与x轴交于A、Ｂ两点(点B在点A得右侧),与y轴交于点C,连结BＣ,以ＢＣ为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P就是ｘ轴上得一个动点,设点P得坐标为(m, ０),过点P作x轴得垂线l交抛物线于点Ｑ、
(1)求点A、B、C得坐标;
(2)当点P在线段OB上运动时,直线l分别交BD、BC于点M、N。试探究m为何值时,四边形CQMＤ就是平行四边形,此时,请判断四边形CQBM得形状,并说明理由;
(3)当点P在线段EＢ上运动时,就是否存在点Q,使△BDQ为直角三角形,若存在,请直接写出点Q得坐标;若不存在,请说明理由。

图１　
例2 如图１,抛物线与x轴交于Ａ、B两点(点Ａ在点B得左侧),与y轴交于点Ｃ。
(1)求点A、B得坐标;
(２)设Ｄ为已知抛物线得对称轴上得任意一点,当△ＡＣD得面积等于△ACB得面积时,求点D得坐标;
(３)若直线l过点E(4, 0),M为直线ｌ上得动点,当以A、B、M为顶点所作得直角三角形有且只有三个时,求直线l得解析式.

图1　
例3 在平面直角坐标系中,反比例函数与二次函数y＝k(x２＋x－1)得图象交于点A(1,k)与点B(—１,－k).
(１)当k=－2时,求反比例函数得解析式;
(2)要使反比例函数与二次函数都就是y随x增大而增大,求k应满足得条件以及ｘ得取值范围;
(3)设二次函数得图象得顶点为Q,当△ABQ就是以AB为斜边得直角三角形时,求k得值、
例4设直线l1:y＝ｋ1x＋ｂ1与l2:y＝k2ｘ+b２,若ｌ１⊥l2,垂足为Ｈ,则称直线l1与l2就是点Ｈ得直角线、
(1)已知直线①;②;③;④与点C(0,2),则直线＿_＿__＿_与_＿____＿就是点C得直角线(填序号即可);
(２)如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABＣ得顶点A(3,0)、B(2,7)、Ｃ(0,7),P为线段OC上一点,设过B、P两点得直线为l1,过A、P两点得直线为l2,若l1与l2就是点P得直角线,求直线ｌ1与ｌ2得解析式.　

图１
例５　在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴得交点分别为原点O与点A,点B(2,ｎ)在这条抛物线上.
(1)求点B得坐标;
(2)点P在线段OＡ上,从点O出发向点A运动,过点P作x轴得垂线,与直线ＯB交于点Ｅ,延长PE到点D,使得ＥD＝PＥ,以PD为斜边,在ＰD右侧作等腰直角三角形PＣD(当点P运动时,点C、D也随之运动).
①当等腰直角三角形ＰCD得顶点C落在此抛物线上时,求OP得长;
②若点Ｐ从点O出发向点A作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时线段OA上另一个点Ｑ从点A出发向点O作匀速运动,速度为每秒2个单位(当点Q到达点O时停止运动,点P也停止运动).过Q作x轴得垂线,与直线ＡＢ交于点F,延长ＱF到点M,使得FM＝QＦ,以QＭ为斜边,在ＱM得左侧作等腰直角三角形QMN(当点Q运动时,点M、N也随之运动)、若点P运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,求此刻t得值.

图１
例６　如图1,已知Ａ、B就是线段MN上得两点,,,.以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设.
(1)求ｘ得取值范围;
(2)若△ABC为直角三角形,求x得值;
(3)探究:△ABC得最大面积?

图1
例　７如图１,直线与ｘ轴、y轴得交点分别为B、C,点A得坐标就是(—２,０).
(１)试说明△ABC就是等腰三角形;
(2)动点M从A出发沿ｘ轴向点B运动,同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动,运动得速度均为每秒1个单位长度.当其中一个动点到达终点时,她们都停止运动。设M运动ｔ秒时,△MON得面积为Ｓ.
① 求Ｓ与t得函数关系式;
② 设点M在线段ＯB上运动时,就是否存在S=4得情形？若存在,求出对应得t值;若不存在请说明理由;
③在运动过程中,当△MOＮ为直角三角形时,求ｔ得值、

图1
例8 　如图1,直线与ｘ轴、y轴得交点分别为B、Ｃ,点A得坐标就是(—2,0)、
(１)试说明△AＢC就是等腰三角形;
(2)动点M从A出发沿x轴向点B运动,同时动点Ｎ从点B出发沿线段BＣ向点Ｃ运动,运动得速度均为每秒1个单位长度.当其中一个动点到达终点时,她们都停止运动.设M运动t秒时,△MON得面积为S、
① 求S与t得函数关系式;
② 设点M在线段OB上运动时,就是否存在S＝4得情形？若存在,求出对应得ｔ值;若不存在请说明理由;
③在运动过程中,当△MＯN为直角三角形时,求t得值.

图1
课后练习(一)
一、选择题
１、如图,Rｔ△ＡＢC中,∠ACB＝９0°,∠ABC＝60°,ＢC=2cm,D为BＣ得中点,若动点Ｅ以1cｍ/s得速度从A点出发,沿着A→Ｂ→A得方向运动,设Ｅ点得运动时间为t秒(0≤t＜６),连接ＤＥ,当△BDE就是直角三角形时,ｔ得值为( 　)
A.２ B.2、5或3。5　　C。3。5或4。５ﻩD、２或3、5或4、5
2.图１所示矩形ABCD中,ＢＣ=ｘ,CD=ｙ,y与x满足得反比例函数关系如图2所示,等腰直角三角形AEF得斜边ＥF过C点,M为EＦ得中点,则下列结论正确得就是(　 )
A.当x=3时,EC＜EM 　　 　 　 Ｂ。当y=９时,EC>ＥＭ
C.当ｘ增大时,EC•CF得值增大 　 　D.当y增大时,BＥ•DF得值不变
3.如图,将边长为4得正方形ABCＤ得一边ＢC与直角边分别就是2与4得Rt△GEF得一边GF重合.正方形AＢCD以每秒1个单位长度得速度沿GE向右匀速运动,当点A与点Ｅ重合时正方形停止运动、设正方形得运动时间为t秒,正方形ABＣＤ与Rｔ△GEF重叠部分面积为s,则ｓ关于t得函数图象为(　 )
A、Ｂ、Ｃ、D.
4。如图,在平面直角坐标系xOy中,A(0,2),B(0,６),动点C在直线y=x上.若以A、B、C三点为顶点得三角形就是等腰三角形,则点C得个数就是( )
A.２ﻩB。３ C.4ﻩD.5

5、如图,在平面直角坐标系中,Ｏ为坐标原点,点Ａ、B得坐标分别为(８,0)、(０,６)、动点Ｑ从点O、动点P从点Ａ同时出发,分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒得速度匀速运动,运动时间为t(秒)(0〈t≤5).以P为圆心,PA长为半径得⊙P与AB、OA得另一个交点分别为C、D,连接CD、QC、ﻫ(1)求当ｔ为何值时,点Q与点D重合？ﻫ(2)设△ＱCD得面积为S,试求S与t之间得函数关系式,并求S得最大值;
(3)若⊙Ｐ与线段QC只有一个交点,请直接写出t得取值范围.
６.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A得坐标为(0,4),点B得坐标为(4,0),点C得坐标为(-４,0),点P在射线ＡB上运动,连结CＰ与y轴交于点D,连结ＢＤ。过P,Ｄ,B三点作⊙Q与ｙ轴得另一个交点为E,延长DＱ交⊙Q于点F,连结EF,ＢF、

 (1)求直线AＢ得函数解析式;
(2)当点P在线段AB(不包括Ａ,B两点)上时。
①求证:∠ＢＤE=∠ＡDP;ﻫ②设ＤE=x,ＤF=ｙ、请求出y关于x得函数解析式;ﻫ(３)请您探究:点Ｐ在运动过程中,就是否存在以Ｂ,D,F为顶点得直角三角形,满足两条直角边之比为2:１？如果存在,求出此时点P得坐标:如果不存在,请说明理由。
7。如图,直角梯形　OAＢＣ　中,ＡB∥OC,O 为坐标原点,点 A 在 y 轴正半轴上,点 C　在 x 轴正半轴上,点　B坐标为(2,2 ３ ),∠BCO=6０°,OH⊥ＢC 于点 Ｈ。动点 Ｐ 从点　H 出发,沿线段 HＯ 向点　Ｏ　运动,动点Ｑ 从点 Ｏ 出发,沿线段 OA 向点 A 运动,两点同时出发,速度都为每秒 1　个单位长度。设点 P 运动得时间　为 t 秒、
⑴求 OH 得长;
⑵若△OPＱ 得面积为 Ｓ(平方单位)。 求 S 与 t 之间得函数关系式、并求　t 为何值时,△OPQ 得面积最大, 最大值就是多少?
⑶设 PＱ 与 OＢ 交于点 Ｍ。 ①当△OPＭ,为等腰三角形时,求⑵中 Ｓ 得值、　②探究线段 OM 长度得最大值就是多少,直接写出结论。

8。如图,在等腰梯形 ＡBCＤ 中,AD∥ＢC,AB＝ＤC=5０,AD=７５,ＢC=135、点 P 从点 B　出发沿折线段　BA
－ＡD—DC 以每秒　5 个单位长得速度向点　C　匀速运动;点 Ｑ 从点 C 出发沿线段 CＢ 方向以每秒 3 个单位长　得速度匀速运动,过点 Q　向上作射线 QK⊥BC,交折线段 CD—DＡ—AB 于点 E。点　P、Q　同时开始运动, 当点　P　与点 C 重合时停止运动,点　Q 也随之停止、设点 P、Q 运动得时间就是 t 秒(t＞０)。
⑴当点　P　到达终点 Ｃ 时,求 ｔ 得值,并指出此时 BQ　得长; ⑵当点　Ｐ 运动到 AＤ 上时,t　为何值能使　PQ∥ＤC ？
⑶设射线 ＱK　扫过梯形 ABCＤ 得面积为 S,分别求出点　E 运动到 ＣD、DA 上时,S　与 t 得函数关系式;(不 必写出 t 得取值范围)
⑷△ＰQE 能否成为直角三角形？若能,写出 t 得取值范围;若不能,请说明理由。

９、如图所示,直角梯形 OAＢC　得顶点　A、Ｃ　分别在 ｙ 轴正半轴与 x 轴负半轴上。过点 B、Ｃ 作直线　l。将直线　l 平移,平移后得直线　l 与　x 轴交于点 D,与　ｙ 轴交于点 E。
⑴将直线 l 向右平移,设平移距离 CD 为　t(t≥0),直角梯形 OABC　被直线　l 扫过得面积(图中阴影部份)为 S,　S 关于　t 得函数图象如图 2 所示,OＭ　为线段,MＮ 为抛物线得一部分,NQ　为射线,N 点横坐标为 ４、 ①求梯形上底　AB 得长及直角梯形 OＡＢC　得面积;
②当 ２＜t<４ 时,求 S 关于 t　得函数解析式;
⑵在第⑴题得条件下,当直线　l 向左或向右平移时(包括　l 与直线 BC 重合),在直线 ＡB 上就是否存在点 P,　使△PDE　为等腰直角三角形?若存在,请求出所有满足条件得点 Ｐ 得坐标;若不存在,请说明理由。
因动点产生得线段与差问题　
例1　在平面直角坐标系中,已知点A(-2,０),B(0,4),点E在ＯＢ上,且∠OAE＝∠OBA.
(1)如图1,求点E得坐标;
(2)如图2,将△ＡEO沿x轴向右平移得到△ＡE′O′,连结A′B、ＢＥ′.
①设ＡA′=m,其中０〈m<2,使用含m得式子表示A′B2+ＢE′2,并求出使A′Ｂ2+BE′２取得最小值时点E′得坐标;
②当A′B+BＥ′取得最小值时,求点Ｅ′得坐标(直接写出结果即可)。

图1 　　 　 　 　 图2
例2 如图1,在平面直角坐标系中,抛物线ｙ=ａｘ２＋bｘ+c经过A(－２, －４ )、O(0,　0)、
B(２,　0)三点、
(1)求抛物线ｙ=ａx2+bｘ＋c得解析式;
(2)若点M就是该抛物线对称轴上得一点,求AM+OM得最小值.

图1
例3　如图1,在平面直角坐标系中,抛物线ｙ＝－ｘ2＋2ｘ+3与x轴交于Ａ、Ｂ两点,与y轴交于点C,点D就是抛物线得顶点.
(1)求直线ＡC得解析式及Ｂ、Ｄ两点得坐标;
(２)点P就是x轴上得一个动点,过P作直线l//AC交抛物线于点Ｑ.试探究:随着点P得运动,在抛物线上就是否存在点Q,使以Ａ、Ｐ、Q、C为顶点得四边形就是平行四边形？若存在,请直接写出符合条件得点Q得坐标;若不存在,请说明理由;
(３)请在直线AＣ上找一点M,使△BＤM得周长最小,求出点M得坐标.

图1
因动点产生得面积问题
例１ 如图1,已知抛物线(b、ｃ就是常数,且c〈0)与x轴交于A、B两点(点A在点B得左侧),与y轴得负半轴交于点C,点A得坐标为(－1,０)、
(1)b=______,点Ｂ得横坐标为___＿___(上述结果均用含c得代数式表示);
(2)连结ＢC,过点A作直线AE／／BC,与抛物线交于点Ｅ、点Ｄ就是x轴上一点,坐标为(2,0),当C、Ｄ、E三点在同一直线上时,求抛物线得解析式;
(3)在(2)得条件下,点P就是x轴下方得抛物线上得一动点,连结PB、ＰＣ。设△PBC得面积为S、
①求S得取值范围;
②若△PＢＣ得面积S为正整数,则这样得△PBC共有____＿个.

图1
例 ２ 如图１,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0, 1)、Ｂ(２, 0)、O(0, 0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90°,得到三角形A′B′O、
(1)一抛物线经过点Ａ′、B′、B,求该抛物线得解析式;
(2)设点P就是第一象限内抛物线上得一个动点,就是否存在点P,使四边形PB′A′Ｂ得面积就是△A′B′O面积得4倍？若存在,请求出点Ｐ得坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在(2)得条件下,试指出四边形PB′Ａ′B就是哪种形状得四边形?并写出它得两条性质.

图1
例 3 如图1,在平面直角坐标系中,直线与抛物线y=aｘ2＋bx－３交于Ａ、B两点,点A在x轴上,点Ｂ得纵坐标为3.点P就是直线AB下方得抛物线上得一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴得垂线交直线AB于点C,作PD⊥AB于点D.
(1)求a、ｂ及sｉn∠ACP得值;
(２)设点Ｐ得横坐标为m.
①用含m得代数式表示线段PＤ得长,并求出线段PD长得最大值;
②连结PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,就是否存在适合得m得值,使这两个三角形得面积比为９∶10？若存在,直接写出m得值;若不存在,请说明理由。

图1
例　4如图1,直线l经过点A(１,0),且与双曲线(x>0)交于点B(2,１)。过点(p＞１)作ｘ轴得平行线分别交曲线(x＞0)与(x＜0)于M、N两点。
(1)求ｍ得值及直线ｌ得解析式;
(2)若点P在直线y＝2上,求证:△PMB∽△PNA;
(3)就是否存在实数p,使得S△AMN＝4Ｓ△AＭP？若存在,请求出所有满足条件得p得值;若不存在,请说明理由、

图1
例5 如图1,四边形OABC就是矩形,点Ａ、C得坐标分别为(3,０),(０,１)。点D就是线段ＢＣ上得动点(与端点Ｂ、C不重合),过点D作直线交折线OＡB于点Ｅ。
(1)记△ODE得面积为S,求S与b得函数关系式;
(2)当点E在线段ＯA上时,若矩形OＡBC关于直线ＤE得对称图形为四边形O1A１B1C1,试探究四边形Ｏ１A1Ｂ1C1与矩形OABC得重叠部分得面积就是否发生变化？若不变,求出重叠部分得面积;若改变,请说明理由.

图１
例　６ 如图1,在△ABC中,∠Ｃ=90°,AC＝３,BＣ＝４,CD就是斜边AＢ上得高,点Ｅ在斜边AＢ上,过点E作直线与△ABC得直角边相交于点F,设AE＝x,△ＡＥＦ得面积为ｙ、
(１)求线段AＤ得长;
(2)若EF⊥ＡＢ,当点Ｅ在斜边ＡＢ上移动时,
①求ｙ与ｘ得函数关系式(写出自变量x得取值范围);
②当x取何值时,y有最大值？并求出最大值、
(３)若点F在直角边AC上(点F与Ａ、Ｃ不重合),点Ｅ在斜边AB上移动,试问,就是否存在直线ＥF将△ABＣ得周长与面积同时平分？若存在直线EＦ,求出x得值;若不存在直线EF,请说明理由.

图１ 　　 　 　 　备用图
例７ 如图1,正方形 ABCD中,点A、B得坐标分别为(0,10),(８,4),点C在第一象限.动点P在正方形AＢＣＤ得边上,从点A出发沿A→B→C→D匀速运动,同时动点Ｑ以相同速度在x轴上运动,当P点到D点时,两点同时停止运动,设运动得时间为t秒、
(1)当P点在边AB上运动时,点Q得横坐标(长度单位)关于运动时间t(秒)得函数图象如图2所示,请写出点Q开始运动时得坐标及点P运动速度;
(2)求正方形边长及顶点C得坐标;
(3)在(１)中当t为何值时,△OPＱ得面积最大,并求此时Ｐ点得坐标.
(4)如果点P、Ｑ保持原速度速度不变,当点Ｐ沿A→B→C→D匀速运动时,OP与ＰＱ能否相等,若能,写出所有符合条件得t得值;若不能,请说明理由、

图１ 　 　 　 　 　 图2
因动点产生得梯形问题
例1 已知直线y=3ｘ－３分别与ｘ轴、y轴交于点A,B,抛物线ｙ=ａｘ2+２x+c经过点A,Ｂ。
(1)求该抛物线得表达式,并写出该抛物线得对称轴与顶点坐标;
(2)记该抛物线得对称轴为直线l,点B关于直线ｌ得对称点为Ｃ,若点Ｄ在y轴得正半轴上,且四边形AＢCD为梯形。
①求点D得坐标;
②将此抛物线向右平移,平移后抛物线得顶点为P,其对称轴与直线y=3x—3交于点E,若,求四边形BDEP得面积.

图１
例2　 如图1,把两个全等得Rt△AOB与Rｔ△COD方别置于平面直角坐标系中,使直角边OB、OD在x轴上、已知点Ａ(１,２),过A、C两点得直线分别交x轴、y轴于点Ｅ、F、抛物线y＝aｘ2+bx＋ｃ经过O、Ａ、C三点.
(１)求该抛物线得函数解析式;
(2)点P为线段OＣ上得一个动点,过点P作y轴得平行线交抛物线于点Ｍ,交ｘ轴于点Ｎ,问就是否存在这样得点P,使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在,求出此时点Ｐ得坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若△AＯB沿AC方向平移(点A始终在线段AC上,且不与点Ｃ重合),△AOＢ在平移得过程中与△COD重叠部分得面积记为S、试探究S就是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

图1
例 4　已知二次函数得图象经过A(2,0)、C(0,１2)　两点,且对称轴为直线x＝４,设顶点为点P,与x轴得另一交点为点B.
(１)求二次函数得解析式及顶点P得坐标;
(2)如图1,在直线 ｙ=2x上就是否存在点D,使四边形OPBＤ为等腰梯形?若存在,求出点D得坐标;若不存在,请说明理由;
(３)如图2,点M就是线段OＰ上得一个动点(O、P两点除外),以每秒个单位长度得速度由点Ｐ向点O 运动,过点M作直线MN/／x轴,交PB于点Ｎ. 将△PMN沿直线MN对折,得到△P1MN。 在动点M得运动过程中,设△P1MN与梯形OMＮB得重叠部分得面积为S,运动时间为ｔ秒,求S关于t得函数关系式。

图1　 　 　 　 　　 　 　 图2
例５ 如图1,在平面直角坐标系ｘOy中,抛物线得解析式就是y ＝,点C得坐标为(–4,0),平行四边形ＯABC得顶点A,B在抛物线上,AB与y轴交于点Ｍ,已知点Q(ｘ,y)在抛物线上,点P(t,０)在x轴上.
(1) 写出点Ｍ得坐标;
(2) 当四边形CMQP就是以MQ,PC为腰得梯形时.
①　求ｔ关于x得函数解析式与自变量ｘ得取值范围;
② 当梯形CＭQP得两底得长度之比为1∶2时,求t得值.

图1
例6 如图1,二次函数得图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,—１),△ABC得面积为.
(１)求该二次函数得关系式;
(２)过y轴上得一点M(0,m)作y轴得垂线,若该垂线与△ABＣ得外接圆有公共点,求m得取值范围;
(3)在该二次函数得图象上就是否存在点D,使以Ａ、Ｂ、Ｃ、D为顶点得四边形为直角梯形?若存在,求出点D得坐标;若不存在,请说明理由.

图1
因动点产生得相切问题
例 1如图1,已知⊙O得半径长为３,点A就是⊙Ｏ上一定点,点P为⊙Ｏ上不同于点A得动点、
(1)当时,求AP得长;
(2)如果⊙Q过点P、Ｏ,且点Ｑ在直线AP上(如图２),设AP＝x,ＱP＝y,求y关于x得函数关系式,并写出函数得定义域;
(3)在(2)得条件下,当时(如图３),存在⊙Ｍ与⊙O相内切,同时与⊙Q相外切,且OM⊥OＱ,试求⊙M得半径得长.

图1　 　 　 　 　 　 图2　 　 　 　 　 图３
例２ 如图1,Ａ(－５,0),B(—3,0),点Ｃ在y轴得正半轴上,∠CＢO=4５°,CＤ//AB,∠ＣＤA＝９0°。点Ｐ从点Q(4,0)出发,沿x轴向左以每秒1个单位长得速度运动,运动时间为t秒.
(1)求点Ｃ得坐标;
(2)当∠BCP=15°时,求t得值;
(3)以点Ｐ为圆心,ＰＣ为半径得⊙P随点P得运动而变化,当⊙Ｐ与四边形ABCＤ得边(或边所在得直线)相切时,求t得值。

图1
例3 如图1,菱形ABＣD得边长为2厘米,∠DAB=6０°。点P从A出发,以每秒厘米得速度沿AC向C作匀速运动;与此同时,点Q也从点A出发,以每秒1厘米得速度沿射线作匀速运动。当点P到达点Ｃ时,Ｐ、Q都停止运动.设点P运动得时间为t秒、
(1)当P异于Ａ、C时,请说明PQ//BＣ;
(２)以P为圆心、PQ长为半径作圆,请问:在整个运动过程中,t为怎样得值时,⊙P与边BC分别有1个公共点与2个公共点？ 　 　 　　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　　 　　　　　 　 　 　 　 　　 　　　　　 　 　 　 　 　　 　 　

图1
因动点产生得相似三角形问题
例1如图1,在平面直角坐标系xOy中,顶点为Ｍ得抛物线y=ax2+bx(ａ＞０)经过点Ａ与x轴正半轴上得点Ｂ,AO=BO＝2,∠AOB＝１2０°.
(1)求这条抛物线得表达式;
(2)连结ＯM,求∠ＡOＭ得大小;
(3)如果点Ｃ在x轴上,且△AＢC与△AOＭ相似,求点C得坐标、

图１　
例2 如图1,已知抛物线(b就是实数且b>2)与x轴得正半轴分别交于点Ａ、B(点A位于点B就是左侧),与y轴得正半轴交于点Ｃ。
(１)点B得坐标为＿____＿,点C得坐标为_＿＿＿____＿＿(用含ｂ得代数式表示);
(2)请您探索在第一象限内就是否存在点P,使得四边形PＣOB得面积等于2b,且△ＰBC就是以点Ｐ为直角顶点得等腰直角三角形？如果存在,求出点P得坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)请您进一步探索在第一象限内就是否存在点Q,使得△QCＯ、△QOA与△QAB中得任意两个三角形均相似(全等可瞧作相似得特殊情况)？如果存在,求出点Q得坐标;如果不存在,请说明理由.

图1
例3如图1,已知抛物线得方程C1: (m＞0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点Ｃ得左侧。
(1)若抛物线C１过点M(２, 2),求实数ｍ得值;
(２)在(１)得条件下,求△BCE得面积;
(3)在(1)得条件下,在抛物线得对称轴上找一点H,使得BＨ+EＨ最小,求出点H得坐标;
(4)在第四象限内,抛物线C1上就是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点得三角形与△BCE相似？若存在,求m得值;若不存在,请说明理由。

图1
例4　如图1,已知梯形OＡＢC,抛物线分别过点O(０,0)、Ａ(2,０)、B(6,3).
(1)直接写出抛物线得对称轴、解析式及顶点M得坐标;
(2)将图１中梯形ＯABC得上下底边所在得直线OＡ、CB以相同得速度同时向上平移,分别交抛物线于点O1、Ａ1、C1、Ｂ1,得到如图２得梯形Ｏ1Ａ1B1C1、设梯形Ｏ1A１B１C1得面积为S,Ａ１、　B1得坐标分别为 (x1,y1)、(x2,ｙ２).用含S得代数式表示x２—x1,并求出当S=36时点A1得坐标;
(3)在图1中,设点Ｄ得坐标为(1,３),动点Ｐ从点B出发,以每秒1个单位长度得速度沿着线段BC运动,动点Q从点Ｄ出发,以与点P相同得速度沿着线段DM运动。Ｐ、Ｑ两点同时出发,当点Ｑ到达点M时,Ｐ、Q两点同时停止运动.设Ｐ、Ｑ两点得运动时间为t,就是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线ＡB、ｘ轴围成得三角形与直线ＰQ、直线ＡB、抛物线得对称轴围成得三角形相似？若存在,请求出t得值;若不存在,请说明理由、

图1　　 　　　　 　 　 　 图2
例5 如图1,抛物线经过点Ａ(4,0)、B(1,0)、C(０,－2)三点、
(1)求此抛物线得解析式;
(２)P就是抛物线上得一个动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,就是否存在点Ｐ,使得以A、P、M为顶点得三角形与△OAＣ相似?若存在,请求出符合条件得　点Ｐ得坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在直线AＣ上方得抛物线就是有一点D,使得△DCA得面积最大,求出点D得坐标、
,
图1
例６ 　　20０8年苏州市中考第2９题

图1