孙炳达版自动控制原理控制系统的时域分析法.pptx

3.5 稳定性分析及代数判据稳定性分析及代数判据一、稳定的概念及条件一、稳定的概念及条件 概念：如果系统受扰动后，偏离了原来的工作状态，而当扰动取消后，系统又能逐渐恢复到原来的工作状态，则称系统是稳定的。稳定性是系统的一种固有特性，它与输入信号无关只取决其本身的结构和参数。用系统的单位脉冲响应函数g(t)来描述系统的稳定性，如果则系统是稳定的。3.5 稳定性分析及代数判据稳定性分析及代数判据 稳定条件：系统特征方程式所有的根都位于平面虚轴的左半平面。这是系统稳定的充要条件。它不仅是零输入时系统稳定的充要条件，而且也是在给定信号作用下系统稳定的充要条件。系统稳定的必要条件：特征方程所有系数均为正，则系统可能稳定，可用劳斯判据判稳。假如有任何系数为负或零（缺项），则系统不稳定。若是二阶系统，则肯定是稳定的，对于高于二阶的系统，则需进一步判断。3.5 稳定性分析及代数判据稳定性分析及代数判据二、劳斯判据二、劳斯判据系统稳定的必要条件：特征方程所有系数均为正。系统稳定的充分条件：特征方程所有系数组成劳斯表，其第一列元素必须为正。1、写出系统特征方程的标准形式：具体步骤：注意：(1)s要降阶排列，(2)所有系数必须大于0。3.5 稳定性分析及代数判据稳定性分析及代数判据2、列劳斯表：注意：1、共n+1行 2、第1,2行由分程系数组成，其余行按公式按公式计算。公式：公式：3.5 稳定性分析及代数判据稳定性分析及代数判据判断：1、当劳斯表中第一列的所有数都大于零时，系统稳定；2、如果第一列出现小于零的数时，系统就不稳定。3、第一列各系数符号的改变次数，代表特征方程的正实部根的个数。3.5 稳定性分析及代数判据稳定性分析及代数判据例例 系统特征方程为s4+6s3+12s2+11s+6=0;试用劳斯稳定判据判别系统稳定性。由于劳斯表第一列数据均大于零，系统稳定性。解：列出劳斯表1612116003.5 稳定性分析及代数判据稳定性分析及代数判据例例 系统特征方程为s4+2s3+3s2+4s+5=0;试用劳斯稳定判据判别系统稳定性。第一列数据不全为正，系统不稳定性。由于符号改变两次，故有两个根在右半平面。解：列出劳斯表12345003.5 稳定性分析及代数判据稳定性分析及代数判据例例 三阶系统特征方程式如下，求系统稳定条件。系统稳定的充分必要条件是：解：列出劳斯表3.5 稳定性分析及代数判据稳定性分析及代数判据劳斯判据的特殊情况1、在劳斯表的某一行中，第一列项为零。2、在劳斯表的某一行中，所有元素均为零。在这两种情况下，都要进行一些数学处理，原则是不影响劳斯判据的结果。例例 设系统特征方程式如下，试用劳斯判据确定正实部根的个数。3.5 稳定性分析及代数判据稳定性分析及代数判据解 列劳斯表，得 由表可见，第二行中的第一列项为零，所以第三行的第一列项出现无穷大。为避免这种情况，可用因子(s+a)乘以原特征式，其中a可为任意正数，这里取a=1。3.5 稳定性分析及代数判据稳定性分析及代数判据于是得到新的特征方程为：列新的劳斯表，得第一列有两次符号变化，故方程有两个正实部根。3.5 稳定性分析及代数判据稳定性分析及代数判据三、劳斯判据的其它应用三、劳斯判据的其它应用 1.分析系统参数对稳定性的影响例例 系统如图所示，求使系统稳定的K值的范围。解：系统闭环特征方程为：3.5 稳定性分析及代数判据稳定性分析及代数判据列出劳斯表：系统稳定必须满足：所以K的取值范围为：3.5 稳定性分析及代数判据稳定性分析及代数判据例例 系统如图所示，求使系统稳定的K值的范围。解：系统闭环特征方程为：3.5 稳定性分析及代数判据稳定性分析及代数判据列出劳斯表：系统稳定必须满足：所以K的取值范围为：3.5 稳定性分析及代数判据稳定性分析及代数判据例例 有一随动系统，采用比例加积分的控制器控制一个直流电动机，如图示。电动机的参数=0.2，n=86.6s-1，试确定比例加积分控制器的待定积分常K1能保证系统稳定的取值范围。3.5 稳定性分析及代数判据稳定性分析及代数判据解：系统开闭环传递函数分别为：所以，系统闭环特征方程为：3.5 稳定性分析及代数判据稳定性分析及代数判据将参数=0.2，n=86.6s-1代入并列出劳斯表：s3 1 7500s2 34.6 7500K1s1 0s0 7500K1系统稳定的充要条件，得0K1 0，则可假想把坐标轴向左移距离1成一新坐标轴，如果要求所有特征根皆在新虚轴的左侧，则该系统不仅稳定，动态性能的快速性也有一定保证。稳定裕量：系统离稳定的边界有多少余量。也就是实部最大的特征根与虚轴的距离。若要求系统有1的稳定裕量，则（1）用s=z-1代入特征方程（2）将z看作新坐标，用劳斯判据再次判稳。3.5 稳定性分析及代数判据稳定性分析及代数判据例例 设系统如图示。请用劳斯判据确定使此闭环系统稳定的参数K的范围。如果要求闭环系统的根全部位于s=-1垂线之左，K的取值范围应该多大。3.5 稳定性分析及代数判据稳定性分析及代数判据解：系统开闭环传递函数分别为：所以，系统闭环特征方程为：3.5 稳定性分析及代数判据稳定性分析及代数判据出劳斯表：系统稳定的充要条件是0K14。s3 1 40s2 14 40K 0 s1 s0 40K3.5 稳定性分析及代数判据稳定性分析及代数判据要求所有根皆位于s=1 垂线之左，即相当于要求所有根皆在如虚线所示的新虚轴之左。这相当于对原特征多项式作一变量代换，即令s1=s+1，亦即s=s1 1。将s1 1代替s代入原特征多项式：(s1 1)3+14(s1 1)2+40(s1 1)+40K =s13+11 s12+15s1+(40K-27)3.5 稳定性分析及代数判据稳定性分析及代数判据出新的劳斯表：系统稳定的充要条件：s3 1 15s2 11 40K27s1 s0 40K270解得K的取值范围为 0.675 K4.8，可见K值范围变小了。3.5 稳定性分析及代数判据稳定性分析及代数判据例例 用劳斯判据检验下列方程是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂直线S=-1的右方？解：列劳斯表：没有根在右半平面。有一个根在垂直线S=-1的右方。