向量组的线性相关性教案.doc

第四章 向量组得线性相关性
1.教学目得与要求:
(1)理解n维向量、向量得线性表示得概念、
(２)理解向量组线性相关、线性无关得定义,了解并会用向量组线性相关、线性无关得有关性质及判别法。
(3)了解向量组得极大线性无关组与向量组秩得概念,会求向量组得极大线性无关组及秩、
(４)了解向量组等价得概念以及向量组得秩与矩阵秩得关系.
(5)理解线性方程组解得性质。
(6)理解齐次线性方程组得基础解系及通解得概念。掌握齐次线性方程组得基础解系与通解得求法、
(7)理解非齐次线性方程组得解结构系及通解得概念。
(８)会用初等行变换求解线性方程组.
2。教学重点:向量组得线性相关性、向量组得秩、线性方程组得解得结构、　
3.教学难点:
(1)向量组得线性相关性中相关定理得证明。
(２)求向量组得秩及最大线性无关组。
(3)线性方程组得解得结构定理及其应用、
4.教学内容:
§１　 向量组及其线性组合
定义１ 个有次序得数所组成得数组称为维向量,这个数称为该向量得个分量,第个数称为第个分量、
定义2 对维向量及, 若有数组,
使得,　称为得线性组合,或可由线性表示.
例1 　设, , , 　试判断可否由线性表示?
解 　设,比较两端得对应分量可得
, 求得一组解为
　　 　于就是有,　即可由线性表示、
[注］ 取另一组解时, 有。
　定理１ 向量能由向量组:线性表示得充分必要条件就是矩阵=得秩等于矩阵得秩=、
定义３　 设有两个向量组:及:, 若组中每个向量都能由向量组线性表示, 则称向量组能由向量组线性表示、若向量组与向量组能互相线性表示, 则称这两个向量组等价.
定理2　 向量组:能由向量组:线性表示得充分必要条件就是矩阵=得秩等于矩阵得秩=得秩, 即
推论　向量组:与向量组:等价得充分必要条件就是,　其中与就是向量组与所构成得矩阵、
定理3 　设向量组:能由向量组:线性表示, 则
课后作业: 习题四 1,2,3,4,5
§2　 向量组得线性相关性
定义4 线性相关:对维向量组,　若有数组不全为0, 使得

　 　 　　则称向量组线性相关,　否则称为线性无关.
　 　　　　线性无关:对维向量组, 仅当数组全为０时, 才有

　 　　 则称向量组线性无关,　否则称为线性相关、
［注］　 对于单个向量:若, 则线性相关;
　 　 　 　　 　 　 若, 则线性无关.
　　　 　　 对于两个向量得向量组,若对应分量成比例,则该向量组线性相关,否则线性无关。
例2 判断例1中向量组得线性相关性、
　 解 　设, 比较两端得对应分量可得

　　即。因为未知量得个数就是４, 而, 所以
　　　 有非零解, 由定义知线性相关、
例3 已知向量组线性无关, 证明向量组
　 　 , ,　 线性无关、
证　　设　,　则有

　 　 　 　　 因为线性无关, 所以
　 　, 即
　　系数行列式 , 该齐次方程组只有零解。
　　　 　故线性无关.
例4 判断向量组
　 　 　, , …,
　　 　 得线性相关性.
　 　　解 设 , 则有
　 　 　 　 只有
故线性无关。
　 　定理4
(1)向量组线性相关其中至少有一个向量可由其余个向量线性表示、
证　 必要性 已知线性相关,　则存在不全为零,　
　 　 使得 　
　　 　 　不妨设,　则有 .
　 　 充分性 不妨设 , 则有

　 　因为不全为零, 所以线性相关.
(2)若向量组线性无关, 线性相关,则可由线性表示, 且表示式唯一、
证 因为线性相关, 所以存在数组不全为零,　
　 使得 　 　　
　　　 若, 则有 。矛盾！
　　　 　　 故, 从而有 .
　下面证明表示式唯一:
　　 若 　　 , 　
　 则有
　因为线性无关, 所以

　 　 　即得表示式唯一、
(3)线性相关线性相关.
　 证 因为线性相关, 所以存在数组不全为零, 使得

　 　 数组不全为零, 故线性相关.
　 　推论　 向量组线性无关任意得部分组线性无关。
　定理5 设

　(1) 线性相关;
　(2) 线性无关、
证 设
　　比较等式两端向量得对应分量可得

即 、由定理可得:
　 　 线性相关有非零解

　 　推论1 在定理5中, 当时, 有
(１) 线性相关;
　　 (2) 线性无关.
推论２ 　在定理5中, 当时, 有
　 (1) 线性相关中所有得阶子式();
　(２) 线性无关中至少有一个阶子式()。
　推论3 在定理５中, 当时, 必有线性相关.
　　 　 因为,　由定理5(1)即得.
　　 推论4 向量组:
　 　 　　向量组:
若线性无关, 则线性无关(即无关组添加分量仍无关)。
　 证　　

　 　　 　 线性无关
　 　　 　 就是得子矩阵
　 　 　 　 　 线性无关
定理6　 划分, 则有
　 　(１) 中某个中“所在得”个行向量线性无关;
　　 　 　　 　　中“所在得”个列向量线性无关.
　 　 　(2) 中所有中任意得个行向量线性相关;
　　　　　　　 　　 中任意得个列向量线性相关.
证　 只证“行得情形”:
　 (1) 设位于得行, 作矩阵, 则有
　 　 　 线性无关.
　 　 (2) 任取中个行,　设为行, 作矩阵,
　 则有线性相关。
　 [注］ 称为得行向量组, 为得列向量组.
§3 向量组得秩
定义５ 向量组得秩:设向量组为, 若
　(1) 在中有个向量线性无关;
(２) 在中任意个向量线性相关(如果有个向量得话)、
　 称为向量组为得一个最大线性无关组, 称为向量组得秩, 记作:秩.
　 　[注］ (1) 向量组中得向量都就是零向量时, 其秩为0、
　 　(2) 秩时, 中任意个线性无关得向量都就是得一个最大无关组。
例如, ,　, ,　　得秩为2、
　　 线性无关就是一个最大无关组
　 　 线性无关就是一个最大无关组
　 ［注]　 一个向量组得最大无关组一般不就是唯一得.
　定理7 　设,　则
　(1) 得行向量组(列向量组)得秩为;
　　 　　 　(2) 中某个中所在得个行向量(列向量)就是
　 　 　　　 　 　得行向量组(列向量组)得最大无关组。
证　只证“行得情形":
　 　 中某个,　而中所有
　　 　 　由定理６中所在得个行向量线性无关
　 　中任意得个行向量线性相关
　 由定义:得行向量组得秩为, 且中所在得个行向量就是
　 　 得向量组得最大无关组.
例5 向量组:,　, ,
　 　　 　 求得一个最大无关组。
解 构造矩阵
　 　 求得秩
　 矩阵中位于１,2行1,2列得二阶子式　 　 　 　
故就是得一个最大无关组、
　 ［注] 为行向量组时,　可以按行构造矩阵、
定理8 　
　 　 (1) 若,　则“得列”线性相关(线性无关)
　　 　　 　 　 　 “得列”线性相关(线性无关);
　 　(2)　　若, 则“得行”线性相关(线性无关)
　 　　　 　　 　 　　 　　　 　　“得行”线性相关(线性无关).
　 　 证 (1) 划分,
　 　 由可得 　　
　 　 故方程组　 　 　 　
　　与方程组 　　　　　　　　　
　 　 同解.于就是有
　 　 　 　 线性相关
　 　 存在不全为0, 使得
　 　 　 　存在不全为0, 使得
线性相关
　 同理可证(２)、
　 [注］　通常习惯于用初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵,当阶梯形
　　　 　矩阵得秩为时, 得非零行中第一个非零元素所在得个列
　 　 向量就是线性无关得.
定义6 等价向量组:设向量组,
若可由线性表示, 称可由线性表示;
若与可以互相线性表示, 称与等价.
　 (1)　自反性:与等价
　　 (２)　对称性:与等价与等价
(３)　传递性:与等价, 与等价与等价
定理9　 向量组与它得最大无关组等价。
　 证 设向量组得秩为, 得一个最大无关组为.
　 　 (1) 中得向量都就是中得向量可由线性表示;
　 　 (2) 任意, 当时, 可由线性表示;
　　 　　当时, 线性相关,　而线性无关
则可由线性表示.故可由线性表示.
　 　 　 因此, 与等价.
推论　 向量组得任意两个最大无关组等价.
　 定理10 向量组, 向量组.
　 　 若线性无关, 且可由线性表示, 则。
　 证 　不妨设与都就是列向量, 考虑向量组

　 　 易见,　秩秩.构造矩阵

　　　 　 因为可由线性表示,　所以

　 　 于就是可得 秩、
　 推论1　 若可由线性表示,　则　秩秩。
证 设　秩, 且得最大无关组为;
秩, 且得最大无关组为, 则有
　 可由线性表示可由线性表示
　 　　 　 　 可由线性表示
　 　 　　 (定理10)
　 推论2 设向量组与等价, 则 秩秩。
[注］ 由“秩秩"不能推出“与等价"！
　 　 正确得结论就是:
　 　 与等价
　　　 　　 　 　与等价
例6 设,, 则 , .
　证 设, , , 则

　即可由线性表示, 故 。
根据上述结果可得

§4 线性方程组解得结构
　 　　 , ,
　 齐次方程组 　
　 非齐次方程组　 ()
结论　 (1) 　, 与同解.
　 　 (2)　有非零解。
　 (3) 有解.
(4) 设, 则
　　 时, 有唯一解;
　 　 时, 有无穷多解.
定义7　　(1) 得解空间:
　 　 　解集合　　

　　 　　 故构成向量空间, 称为得解空间.
　 (2) 得基础解系
不妨设得一般解为
　 ()
依次令
　 可求得 ,　, …,
　 　 因为 (１) 线性无关
　 　　 (2) ,
　　 所以就是解空间得一个基, 称为得基础解系.
　 例７ 设, 求得一个基础解系。
解 , 同解方程组为
依次取 , 可求得基础解系为　,
(３) 解得结构
　 ① ,
　 　 ②, 就是得解
设得一个基础解系为
得特解为, 一般解为, 则有

　　 　　 　　 　　　 　()
　 例8 　设, , 求得通解.
解　
　同解方程组为 　
基础解系:,　;特解:
通解:　 ()
　例9 设, 得3个解满足
　 　 ,　, 求得通解、
解　 得基础解系中含有个解向量
　 因为　
　 　　 所以 就是得基础解系
　 　 　又　 就是得特解
　　 　故得通解为。
例10 设, 就是得解,　证明:
　　 　就是得基础解系线性无关。
证 (1)必要性　　设数组使得
　 　 左乘, 利用可得
　因为, 所以
　 由此可得
因为就是得基础解系, 所以线性无关, 从而有

　　 故线性无关.
(２)充分性　 就是得解向量
设数组使得
　 则
因为线性无关, 所以只有
　 　　 ,
故向量组线性无关。
因此 就是得基础解系.
§5　 向量空间
定义8　　(１) 向量空间:设就是具有某些共同性质得维向量得集合, 若
　 　 　 　　对任意得, 有; 　 (加法封闭)
　　 　 对任意得, , 有.　(数乘封闭)
　 称集合为向量空间、
例如 就是向量空间
　　 就是向量空间
　 不就是向量空间
　 , 即数乘运算不封闭.
例1１ 　给定维向量组, 验证

　就是向量空间.称之为由向量组生成得向量空间, 记作
证 设, 则 ,　,　于就是有

　 　由定义知, 就是向量空间.
　　(2) 子空间:设与都就是向量空间, 且,　称为得子空间.
　　 　 　例如 前面例子中得就是得子空间、
　 (3) 向量空间得基与维数:设向量空间, 若
　 　① 中有个向量线性无关;
② 可由线性表示.
　　 称为得一组基, 称为得维数, 记作或者。
[注］　零空间没有基, 规定、
　 由条件(２)可得:中任意个向量线性相关.(自证)
　　　　 　 若, 则中任意个线性无关得向量都可作为得基。
例12　 设向量空间得基为,　则.
　　证　

(４)　 向量在基下得坐标:设向量空间得基为, 对于,
　 　　表示式唯一, 称为在 基下得坐标(列向量).
例13 　设向量空间得基为
　　 　　 　 　, ,　
　 　求在该基下得坐标.
解 　设, 比较等式两端得对应分量可得:

　,
［注] 就是4维向量,　在得基下得坐标为3维列向量。