【江苏省南京市】2017届高考数学三模考试数学(理)试卷-答案.pdf

1/17 江苏省南京市江苏省南京市 2017 届届高考数学三模高考数学三模考考试试数学数学(理理)试卷试卷 答答 案案 1.2 2.38.3.5 4.1.5.345.6.2.7.32.8.12.9.8.10.13.11.152.12.3.13.315a-.14.27,30.二、解答题：本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15.证明：(1)BD平面AEF,BD平面BCD,平面BCD平面AEFEF,BD EF,又BD平面ABD,EF 平面ABD,EF平面ABD.(2)AE 平面BCD,CD平面BCD,AECD,由(1)可知BD EF,又BDCD,EFCD,又,AEEFE AE平面AEF,EF 平面AEF,CD平面AEF,又CD平面ACD,平面AEFAEF平面ACD.16.解：(1)向量2(2cos,sin),(2sin,),(0,),t2aaa ba t a为实数,若2(,0)5ab,则2(2cos2sin,sin2)=(,0)5aaat,2/17 可得1cossin=5aa,平方可得1sin2cos22cos sin=25aaaa,即为1242cos sin=1,(cos0,sin0)2525aaaa,由sin2cos2=1aa,解得21487cossin=(cossin)4sin cos25255aaaaaa,即有34cos=,sin=55aa.则16sin2=25ta；(2)若1t,且1a b,即有4cos sinsin21aaa,即有4cos sin1 sin2cos2aaaa,由a为锐角,可得(c s1)o0,即有sin1tancos4aa,则212tan82tan211tan15116aa,81tan212315tan(2)81t4an27115aa.17.解：(1)看台的面积是看台的面积的 3 倍,22()31122()22ABAC,3ABAC,13sin2400 322ABCSAB ACAC sin,228002400,sinsinACAB,在ABC中,由余弦定理得2222cos32001600 3cossinBCABACAB AC,23cos40sinBC.(2)设表演台的造价为y万元,则23cos120siny,设23co()s()0sinf,则232coss()inf 当06时,0()f,当6时,0()f,()f在(0,)6上单调递减,在(,6)上单调递增,当=6时,()f取得最小值1(6)=f,y的最小值为120,即表演台的最小造价为120万元.3/17 18.(1)解：,0,()(0),A aBb,线段AB的中点(,)2 2a bM.(,),(,)2 2a bABa b OM.232OM ABb.22213222abb,化为：2ab.椭圆的离心率231()2cbeaa.(2)证明：由2a,可得1b,椭圆的标准方程为：221,(2,0),(0,1)4xyAB.直线BC的方程为：21yk x,联立222114yk xxy,化为：2222(14)80kxk x,解得22281 4ckxk,22221 41 4ckyk.即222222281 4(,)1414kkCkk.直线AD的方程为：1()2yk x-,联立122(2)14yk xxy,化为：2222111(14)161640kxk xk,2121164214Dkxk,解得2112211824,1414DDkkxykk,可得2112211824(,)1414kkDkk 12CDCDCDyykxx,化为：22222121112211 1622880k kkkk kk k 1212121()4440()14k kk kkk-,121=4k k.19.解：(1)12|nnnap aap-,211|1212 21 1aaa -,322|1210213aaa -,433|1212619aaa -,2111|21nnnaaaa,-,当2n时,1na,当2n时,11213nnnnaaaa-,即从第二项起,数列na是以 1 为首项,以 3 为公比的等比数列,4/17 数列na的前n项和11123413111321322nnnnaanSaaa-,（）,显然当1n时,上式也成立,113322nnS；(2)1|20nnnnnnaap aapp aapp-,1nnaa,即na单调递增.(i)当11ap时,有1ap,于是1naap,1|223|nnnnnnap aapapapa-,113nnaa.若数列na中存在三项*,)(rsta a a r s trst N,依次成等差数列,则有2srtaaa,即1112 33*3()srt 1st-,111122 333333sstrt-.因此(*)不成立.因此此时数列na中不存在三项*,)(rsta a a r s trst N,依次成等差数列.(ii)当111ap 时,有1pap-.此时211111|222aP aapp aapapp-.于是当2n时,2naap.从而1|223|nnnnnnap aapapapa-.2221(3)2)32nnnaaap n 若数列na中存在三项*,)(rsta a a r s trst N,依次成等差数列,则有2srtaaa,同(i)可知：1r.于是有221112 3(2)3(2)stapaap,21St-,211212 2 333329103ststaap-.222 33st-是整数,11 12aap.于是112aap-,即1ap-.与1pap-矛盾.故此时数列na中不存在三项*,)(rsta a a r s trst N,依次成等差数列.(iii)当11ap时,有110app ap-,.于是211111|222aP aapp aapap-.32211111|2252|54|ap aapapapa papap-此时数列na中存在三项123a aa,依次成等差数列.5/17 综上可得：11ap.20.解：(1)()(ln1)xf xeexxx x-的定义域为(0)，.()ln(1)0 xfxeex f-,又(1)0f.曲线()yf x在1x处的切线方程为0y.(2)()()ln,(0)xg xfxeex x,()xg xex 函数()g x存在极值,即方程0 xex有正实数根,(0)xxex,令()xG xxe,()(1)0 xG xx e在(0)，恒成立.(0)x，时,()0G x,函数()g x存在极值,的取值范围为(0)，.(3)由(1)、(2)可知(1)0,(1)(1)0ffg 结合(2)1x时,()0 xg xex,可得(1)xxex,()xG xxe,在(1)，恒成立.e时,()0g x,()g x在1)，递增,()(1)0g xg 故()f x在1)，递增,()(1)=0f xf.当e时,存在01x,使()=0g x,0(1)xx，时,()0g x,即0(1,)xx时,()g x递减,而(1)=0g,0(1,)xx时,()0g x,此时()f x递减,而(1)=0f,在0(1,)x,()0f x,故当e时,()0f x 不恒成立；综上1x时,()0f x 恒成立,的最大值为e【点评】本题考查了导数的综合应用,利用导数求极值、证明函数恒等式,属于难题 6/17 江苏省南京市江苏省南京市 2017 届届高考数学三模高考数学三模考考试试-数学数学(理理)试卷试卷 解解 析析 1.【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】根据已知中集合,U A B,结合集合的并集和补集运算的定义,可得答案.【解答】解：集合1,4,3,4AB,1,4 3,AB,又全集1,2,3,4U,2()U AB,故答案为：2【点评】本题考查的知识点是集合的交集,并集,补集运算,难度不大,属于基础题.2.【考点】古典概型及其概率计算公式.【分析】列举基本事件,即可求出概率.【解 答】解：分 别 从 每 个 盒 子 中 随 机 地 取 出1个 乒 乓 球,可 能 出 现 以 下 情 况：()()()()()()(13141516232 42)6)52(、，共 8 种情况,其中编号之和大于 6 的有：1+6=7,2+5=7,2+6=8,共 3 种情况,取出的乒乓球的编号之和大于 6 的概率为38,故答案为：38.【点评】本题考查古典概型,考查学生的计算能力,确定基本事件的个数是关键.3.【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】设zabi,得到za bi-,根据系数相等求出,a b的值,从而求出|z即可.【解答】解：设zabi,则za bi-,由232zzi,得332a bii,1,2ab,22|1(2)5z ,故答案为：5【点评】本题考查了复数求模问题,考查共轭复数,是一道基础题.4.【考点】伪代码.【分析】分析出算法的功能是求分段函数()f x的值,根据输出的值为 1,分别求出当0 x时和当0 x 时的x值即可.【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求 122,0()=2,0 xxxxf x的值,当0 x时,21 1yx,解得1x,不合题意,舍去；当0 x时,221yx,解得1x,应取1x；7/17 综上,()f xx 的值为1.故答案为：1.【点评】本题考查了选择结构的程序语句应用问题,根据语句判断算法的功能是解题的关键.5.【考点】茎叶图.【分析】根据茎叶图中的数据求出甲、乙二人的平均数,再根据方差的定义得出乙的方差较小,求出乙的方差即可.【解答】解：根据茎叶图中的数据,计算甲的平均数为11(7791418)115x,乙的平均数为21(89 10 13 15)115x；根据茎叶图中的数据知乙的成绩波动性小,较为稳定(方差较小),计算乙成绩的方差为：222222134(8 11)(9 11)(10 11)(13 11)(15 11)55x 故答案为：345.【点评】本题考查了茎叶图、平均数与方差的应用问题,是基础题.6.【考点】正弦函数的图象.【分析】令1sin()=32yx,求出在)0,2x内的x值即可.【解答】解：令1sin()=32yx,解得=2 36xk,或5=2,k36xkZ；即=2 6kx,或=2,k2kxZ；同一直角坐标系中,函数y的图象和直线12y 在)0,2x内的交点为(2,12)和(116,12),共 2 个.故答案为：2.【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题,是基础题.7.【考点】双曲线的简单性质.【分析】根据题意,先由双曲线的方程分析可得m的取值范围,进而又由该双曲线的焦距为 6,则有3c,即223=3mm,解可得m的值,结合m的范围可得m的值,用集合表示即可得答案.【解答】解：根据题意,双曲线的方程为：222123xymm,则有22030mm,解可得0m,8/17 则有223cmm,又由该双曲线的焦距为 6,则有 c=3,即223=3mm,解可得：=3m 或32,又由0m,则3=2m；即所有满足条件的实数m构成的集合是32；故答案为32.【点评】本题考查双曲线的几何性质,注意焦距是2c.8.【考点】函数的周期性.【分析】由函数的奇偶性与周期性把1()2f转化为求7()2f的值求解.【解答】解：函数()f x是定义在R上且周期为 4 的偶函数,1117()=()=(4)=()2222ffff,又当42,x时,43()=|log()|2f xx,441773lg2lg21()=()=|log()|log 2|2222lg42lg22ff.故答案为：12.【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用,考查数学转化思想方法,是基础题.9.【考点】等比数列的通项公式.【分析】由已知把首项用公比q表示,再由等比数列的通项公式可得5a,然后利用配方法求得5a的最小值.【解答】解：0na,且312aa,2112a qa,则122(0)1aqq,445122422=111qaa qqqq.令21(t0)tq,则522att,又22111()244ttt ,58),a.9/17 5a的最小值为8.故答案为：8.【点评】本题考查等比数列的通项公式,考查了利用配方法求函数的最值,是中档题.10.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】将直三棱柱111ABCABC展开成矩形11ACC A,如图,连结1AC,交1BB于D,此时1ADDC最小,当1ADDC最小时,1BD,此时三棱锥1D ABC的体积：11DCVABCVABD,由此能求出结果.【解答】解：将直三棱柱111ABCABC展开成矩形11ACC A,如图,连结1AC,交1BB于D,此时1ADDC最小,11,2,3,90ABBCBBABC,点D为侧棱1BB上的动点,当1ADDC最小时,1BD,此时三棱锥1D ABC的体积：1111111111111 1 2332323DCABDVABCVABDSBCABBDBC .故答案为：13.【点评】本题考查几何体的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力,考查数数结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想,是中档题.11.【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】求出函数的导数,问题转化为22ax在,1a a恒成立,求出a的范围即可.【解答】解：2(2)f xexxxa,2()()2fxexxxa,若()f x在,1a a上单调递增,则220 xa-在,1a a恒成立,即22ax在,1a a恒成立,10/17 1 0a 即1a-时,2yx在,1a a递减,2yx的最大值是2ya,故22aa,解得：220aa-,解得：12a-,不合题意,舍；10a-时,2yx在),0a递减,在(0,1a递增,故2yx的最大值是2a或2()1a,0a 时,2yx在,1a a递增,y的最大值是2()1a,故221()aa,解得：1502a,则实数a的最大值为：152,综上,a的最大值是152,故答案为：152.【点评】本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,是一道中档题.12.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】用,AC BD表示出括号内的和向量,化简得出AC,从而可求得四边形的面积.【解答】解：0AC BD,ACBD,()()5ACDCBCAD,22()()()()5ABBCDCCBBCCDADDCACDBBDACACBD,2259ACBD,3AC.四边形ABCD的面积113 2322SACBD.故答案为：3.【点评】本题考查了平面向量的运算,数量积运算,属于中档题.13.【考点】直线与圆的位置关系.【分析】从圆M上的点向圆上的点连线成角,当且仅当两条线均为切线时才是最大的角,1OP,利用圆O和圆M上分别存在点,P Q,使得30OQP,可得|2OM,进而得出答案.【解答】解：由题意,圆22()(121)M xaya：(a为实数),圆心为1(),2Maa-从圆M上的点向圆上的点连线成角,当且仅当两条线均为切线时才是最大的角,1OP.圆O和圆M上分别存在点,P Q,使得30OQP,|2OM,22144()aa,315a-,11/17 故答案为：315a-.【点评】本题考查了直线与圆相切的性质、两点间的距离的计算公式、数形结合思想方法,属于中档题.14.【考点】不等式的基本性质.【分析】令axc,byc,38zxy,将条件转化为关于,x y的不等式,并求出,x y的范围,作出平面区域,根据平面区域得出 z 取得最值时的位置,再计算 z 的最值.【解答】解：2328,abcabc,28232abccccab,设axc,byc,则有28232xyxy,14232218yxxyxx,作出平面区域如图所示：令38=38abzxyc,则388zyx,由图象可知当直线388zyx经过点A时,截距最大,即z最大；当直线388zyx与曲线322xyx相切时,截距最小,即z最小.解方程组142322yxxyx得(2,3)A,z的最大值为3 2 8 330 ,12/17 设直线388zyx与曲线322xyx的切点为00(,)xy,则03()|3282x xxx,即026223()8x ,解得0=3x,切点坐标为(93,4),z的最小值为93 38274 .2730z,故答案为：27,30.【点评】本题考查了线性规划的应用,将三元不等式转化为二元不等式,转化为线性规划问题是解题的关键,属于中档题.二、解答题：本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15.【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定.【分析】(1)利用线面平行的性质可得BD EF,从而得出EF平面ABD；(2)由AE 平面BCD可得AECD,由BDCD,BD EF可得EFCD,从而有CD平面AEF,故而平面AEF 平面ACD.【解答】证明：(1)BD平面AEF,BD平面BCD,平面BCD平面AEFEF,BD EF,又BD平面ABD,EF 平面ABD,EF平面ABD.(2)AE 平面BCD,CD平面BCD,AECD,由(1)可知BD EF,又BDCD,EFCD,又,AEEFE AE平面AEF,EF 平面AEF,CD平面AEF,又CD平面ACD,平面AEFAEF平面ACD.【点评】本题考查了线面平行、线面垂直的性质,面面垂直的判定,属于中档题.16.【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用.【分析】(1)运用向量的加减运算和同角的平方关系,即可求得3cos5,4sin5.进而得到t的值；(2)运用向量的数量积的坐标表示,结合条件的商数关系,求得 tan,再由二倍角的正切公式和和角公式,计算即可得到所求值.【解答】解：(1)向量2(2cos,sin),(2sin,),(0,),t2aaa ba t a为实数,若2(,0)5ab,则2(2cos2sin,sin2)=(,0)5aaat,可得1cossin=5aa,平方可得1sin2cos22cos sin=25aaaa,即为1242cos sin=1,(cos0,sin0)2525aaaa,由sin2cos2=1aa,解得21487cossin=(cossin)4sin cos25255aaaaaa,13/17 即有34cos=,sin=55aa.则16sin2=25ta；(2)若1t,且1a b,即有4cos sinsin21aaa,即有4cos sin1 sin2cos2aaaa,由a为锐角,可得(c s1)o0,即有sin1tancos4aa,则212tan82tan211tan15116aa,81tan212315tan(2)81t4an27115aa.【点评】本题考查向量的加减运算和数量积的坐标表示,考查同角的基本关系式和二倍角正切公式及和角公式的运用,考查化简整理的运算能力,属于中档题.17.【考点】三角函数中的恒等变换应用；在实际问题中建立三角函数模型.【分析】(1)根据看台的面积比得出,AB AC的关系,代入三角形的面积公式求出,AB AC再利用余弦定理计算BC；(2)根据(1)得出造价关于的函数,利用导数判断函数的单调性求出最小造价.【解答】解：(1)看台的面积是看台的面积的 3 倍,22()31122()22ABAC,3ABAC,13sin2400 322ABCSAB ACAC sin,228002400,sinsinACAB,在ABC中,由余弦定理得2222cos32001600 3cossinBCABACAB AC,23cos40sinBC.(2)设表演台的造价为y万元,则23cos120siny,设23co()s()0sinf,则232coss()inf 当06时,0()f,当6时,0()f,()f在(0,)6上单调递减,在(,6)上单调递增,当=6时,()f取得最小值1(6)=f,y的最小值为120,即表演台的最小造价为120万元.【点评】本题考查了解三角形,函数最值计算,余弦定理,属于中档题.14/17 18.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1),0,()(0),A aBb,线段AB的中点(,)2 2a bM.利用232OM ABb 与离心率的计算公式即可得出.(2)由2a,可得1b,可得椭圆的标准方程为：221,(2,0),(0,1)4xyAB.直线BC的方程为：21yk x,直线AD的方程为：1()2yk x-,分别于同一方程联立解得,C D,坐标,利用12CDCDCDyykxx,即可得出.【解答】(1)解：,0,()(0),A aBb,线段AB的中点(,)2 2a bM.(,),(,)2 2a bABa b OM.232OM ABb.22213222abb,化为：2ab.椭圆的离心率231()2cbeaa.(2)证明：由2a,可得1b,椭圆的标准方程为：221,(2,0),(0,1)4xyAB.直线BC的方程为：21yk x,联立222114yk xxy,化为：2222(14)80kxk x,解得22281 4ckxk,22221 41 4ckyk.即222222281 4(,)1414kkCkk.直线AD的方程为：1()2yk x-,联立122(2)14yk xxy,化为：2222111(14)161640kxk xk,2121164214Dkxk,解得2112211824,1414DDkkxykk,可得2112211824(,)1414kkDkk 12CDCDCDyykxx,化为：22222121112211 1622880k kkkk kk k 1212121()4440()14k kk kkk-,121=4k k.【点评】本题考查了椭圆的标准方程与性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系,考查 15/17 了推理能力与计算能力,属于难题.19.【考点】数列的求和；数列递推式.【分析】(1)12|nnnap aap-,可得211|1212 211aaa -,同理可得343,9aa.21,112|1|nnnaaaa-,当2n时,1na,当2n时,11213nnnnaaaa-,即从第二项起,数列na是以 1 为首项,以 3 为公比的等比数列,利用等比数列的求和公式即可得出nS.(2)1|20nnnnnnaap aapp aapp-,可得1nnaa,即na单调递增.(i)当11ap时,有1ap,于是1naap,可得1|223|nnnnnnap aapapapa-,113nnaa.利用反证法即可得出不存在.(ii)当111ap 时,有1pap-.此时211111|222aP aapp aapapp-.于是当2n时,2naap.从而2212122333(2)(|2)nnnnnnnnnap aapa papaaaap n-.假设存在2srtaaa,同(i)可知：1r.得出矛盾,因此不存在.(iii)当11ap时,有110app ap-,.于是21111131|2224aP aapp aapapaap-.即可得出结论.【解答】解：(1)12|nnnap aap-,211|1212 21 1aaa -,322|1210213aaa -,433|1212619aaa -,2111|21nnnaaaa,-,当2n时,1na,当2n时,11213nnnnaaaa-,即从第二项起,数列na是以 1 为首项,以 3 为公比的等比数列,数列na的前n项和11123413111321322nnnnaanSaaa-,（）,显然当1n时,上式也成立,113322nnS；(2)1|20nnnnnnaap aapp aapp-,1nnaa,即na单调递增.(i)当11ap时,有1ap,于是1naap,1|223|nnnnnnap aapapapa-,113nnaa.16/17 若数列na中存在三项*,)(rsta a a r s trst N,依次成等差数列,则有2srtaaa,即1112 33*3()srt 1st-,111122 333333sstrt-.因此(*)不成立.因此此时数列na中不存在三项*,)(rsta a a r s trst N,依次成等差数列.(ii)当111ap 时,有1pap-.此时211111|222aP aapp aapapp-.于是当2n时,2naap.从而1|223|nnnnnnap aapapapa-.2221(3)2)32nnnaaap n 若数列na中存在三项*,)(rsta a a r s trst N,依次成等差数列,则有2srtaaa,同(i)可知：1r.于是有221112 3(2)3(2)stapaap,21St-,211212 2 333329103ststaap-.222 33st-是整数,11 12aap.于是112aap-,即1ap-.与1pap-矛盾.故此时数列na中不存在三项*,)(rsta a a r s trst N,依次成等差数列.(iii)当11ap时,有110app ap-,.于是211111|222aP aapp aapap-.32211111|2252|54|ap aapapapa papap-此时数列na中存在三项123a aa,依次成等差数列.综上可得：11ap.【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、方程的解法、数列递推关系、分类讨论方法、反证法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.20.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值.【分析】(1)求出()ln(1)0 xfxeexf-，,得到曲线()yf x在1x处的切线方程为0y.(2)()()ln,(0)xg xfxeex x,()xg xex,函数()g x存在极值,即方程0 xex有正实数根,(0)xxex,可得的取值范围.17/17 (3)由(1)、(2)可知(1)0(1)(1)0ffg，,结合(2)分ee,讨论1x时,是否()0f x 恒成立,即可.【解答】解：(1)()(ln1)xf xeexxx x-的定义域为(0)，.()ln(1)0 xfxeex f-,又(1)0f.曲线()yf x在1x处的切线方程为0y.(2)()()ln,(0)xg xfxeex x,()xg xex 函数()g x存在极值,即方程0 xex有正实数根,(0)xxex,令()xG xxe,()(1)0 xG xx e在(0)，恒成立.(0)x，时,()0G x,函数()g x存在极值,的取值范围为(0)，.(3)由(1)、(2)可知(1)0,(1)(1)0ffg 结合(2)1x时,()0 xg xex,可得(1)xxex,()xG xxe,在(1)，恒成立.e时,()0g x,()g x在1)，递增,()(1)0g xg 故()f x在1)，递增,()(1)=0f xf.当e时,存在01x,使()=0g x,0(1)xx，时,()0g x,即0(1,)xx时,()g x递减,而(1)=0g,0(1,)xx时,()0g x,此时()f x递减,而(1)=0f,在0(1,)x,()0f x,故当e时,()0f x 不恒成立；综上1x时,()0f x 恒成立,的最大值为e【点评】本题考查了导数的综合应用,利用导数求极值、证明函数恒等式,属于难题