2016年高考文科数学四川卷-答案.pdf

1/9 2016 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学试卷(文史类)答案解析 第卷 一、选择题 1.【答案】C【解析】22(1 i)1 2ii2i.【提示】将2(1 i)展开，化简，直接求得答案.【考点】复数的运算.2.【答案】B【解析】1,2,3,4,5AZ，故AZ中元素的个数为 5.【提示】把集合|15Axx的元素一一列举出来即可.【考点】集合中交集的运算.3.【答案】D【解析】24yx的焦点坐标为(1,0).【提示】直接利用抛物线的定义求解.【考点】抛物线的性质.4.【答案】A【解析】为得到函数sin3yx的图象,只需把函数sinyx的图象上所有的点向左平行移动3个单位长度.【提示】函数()yf x的图象向右平移a个单位长度得()yf xa的图象，而函数()yf x的图象向上平移a个单位长度得()yf xa的图象.左、右平移涉及的是x的变化，上、下平移涉及的是函数值()f x的变化.【考点】三角函数图象的平移.5.【答案】A【解析】由1x 且1y，可得2xy，而当2xy时，不能得出1x 且1y.故p是q的充分不必要条件【提示】首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.2/9 【考点】充要条件.6.【答案】D【解析】2()3123(2)(2)fxxxx，令()0fx得2x 或2x，易得()f x在(2,2)上单调递减，在(2,)上单调递增，故()f x的极小值点为 2，即2a.【提示】在可导函数中，函数的极值点0 x是方程()0fx的解，但0 x是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在0 x附近，如果0 xx时，()0fx，0 xx时()0fx，则0 x是极小值点，如果0 xx时，()0fx，0 xx时，()0fx，则0 x是极大值点.【考点】函数的导数与极值点.7.【答案】B【解析】设从 2015 年开始第n年该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元，由已知得112001301 12%2001.12130nn，两边取常用对数得200(1)lg1.12lg130n，lg2lg1.30.30.1113.85lg1.120.05nn，故从2019 年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元【提示】把问题看作等比数列，130 万元作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可求解.【考点】指数和对数函数的计算.8.【答案】C【解析】程序运行如下：321201 22410nxvivi ，4 2 19009 201810vivi ，结束循环，输出18v，故选 C【提示】将每次循环的结果一一列举出来，与判断条件比较即可.【考点】程序框图.9.【答案】B【解析】如图可得120|DB|2ADCADBBDCDADC，以D为原点，直线DA为x轴建立平面直角坐标系，则(2,0)(1,3)(1,3)ABC，.设(,)P x y，由已知|1AP，得22(2)1xy，又1313 3,2222xyxyPMMCMBM，222(1)(3 3)|4xyBM，它表示圆22(2)1xy上的点(,)x y与点(1,3 3)的距离的平方的14，3/9 2222max149|3(3 3)144BM 【提示】首先对条件进行化简变形，得出120ADCADBBDC，且2DADBDC，因此采用解析法，即建立直角坐标系，写出点A BCD，的坐标，同时动点P的轨迹是圆，则 222(1)(3 3)4xyBM，因此可用圆的性质得出最值.【考点】平面向量的计算.10.【答案】A【解析】设111222(,ln),(,ln)P xxP xx（不妨设121,01xx），则由导数的几何意义易得切线12ll，的斜率 分 别 为121211.kkxx，由 已 知 得121221111k kx xxx，切 线1l的 方 程 为1111ln()yxxxx，切线2l的方程为2221ln()yxxxx，即1111lnyxxxx.分别令0 x 得11(0,1 ln)(0,1 ln).AxBx，又1l与2l的交点为 221111112222111121211,ln.110111211PABABPPABxxxxPxxSyyxSxxxx，.【提示】先设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点横坐标的关系，同时得出切线方程，从而得点AB，的坐标，由两直线相交得出P点坐标，从而求得面积，把面积用1x表示后，可得面积的取值范围.【考点】函数导数.第卷 二、填空题 11.【答案】12【解析】由三角函数的诱导公式得1sin750sin(72030)sin302.【提示】直接三角函数的诱导公式求解.4/9 【考点】三角函数的诱导公式.12.【答案】33【解析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥，且底面积为12 3 132S ，高为 1，所以该三棱锥的体积为1133 1333VSh.【提示】根据三视图想象出几何体的形状，由三视图得出几何体的尺寸，再进行求解.【考点】三视图，几何体的体积.13.【答案】16【解析】从 2，3，8，9 中任取两个数记为ab，作为对数的底数与真数，共有2412A 个不同的基本事件，其中为整数的只有23log 8 log 9，两个基本事件，所以所求概率21126P.【提示】先求出基本事件的总数，因为所给数都可以作为对数的底数，因此所有对数的个数就相当于 4 个数中任取 2 个的全排列，个数为24A，而满足题意的只有 2 个，故可由古典概型的概率公式可求得概率.【考点】古典概型，对数.14.【答案】2【解析】因为函数()f x是定义在R上周期为 2 的奇函数，所以(0)0(2)(0)0fff，1251112422222ffff ，所以5(2)22ff.【提示】利用周期性()()f xf xT，化函数值的自变量到已知区间或相邻区间，如果是相邻区间，再利用奇偶性转化到已知区间上，由函数式求值即可.【考点】函数的奇偶性，函数的周期性.15.【答案】【解析】对于，若令(1,1)P，则其伴随点为11,22P，而11,22P的伴随点为(1,1)，而不是P，故错误；对于，令单位圆上点的坐标为(cos,sin)Pxx，则其伴随点为(sin,cos)Pxx，仍在单位圆上，故正确；对于，设曲线(,)0f x y 关于x轴对称，则(,)0f xy与曲线(,)0f x y 表示同一曲线，其伴随曲线分别为2222,0yxfxyxy与2222,0yxfxyxy，它们也表示同一曲线，又因为伴随曲线2222,0yxfxyxy与2222,0yxfxyxy关于y轴对称，所以正确；对于，取直线ykxb 5/9 上一点P xy（，），则其伴随点2222,yxxyxy，消参后轨迹是圆，故错误.所以真命题为.【提示】通过新定义的概念把问题转化为我们已经熟悉的知识即可.【考点】对新定义的理解，函数的对称性.三、解答题 16.【答案】（）由频率分布直方图，可知：月均用水量在0,0.5)的频率为0.08 0.50.04.同理，在),),),0.5,11.5,22,2.53,3.53.5,4),),4,4.5)等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由10.040.080.21 0.250.060.040.020.(5.)0 5aa，解得0.30a.（）由（），100位居民月均用水量不低于 3 吨的概率为0.060.040.020.12 由以上样本的概率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000 0.1236000.（）设中位数为x吨.因为前5组的概率之和为0.040.080.150.21 0.250.730.5，所以22.5x 由0.50(2)0.50.48x，解得2.04x 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.【提示】（）由高 组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为 1，计算出 a 的值；（）利用高 组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于 3 吨的频率，再利用频率 样本容量=频数，计算所求人数；（）将前 5 组的频率之和与前 4 组的频率之和进行比较，得出22.5x，再估计月均用水量的中位数.【考点】统计，频率分布直方图.17.【答案】（）取棱AD的中点()M MPAD平面，点M即为所求的一点.理由如下：因为12ADBCBCAD，所以BCAM，且BCAM 所以四边形AMCB是平行四边形，从而CMAB 又ABPABCMPAB平面，平面，所以CMPAB平面（）由已知，PAABPACD，因为ADBCBCAD，所以直线AB与CD相交，所以PAABCD平面 从而PABD.因为ADBCBCAD，所以BCMD，且BCMD.所以四边形BCDM是平行四边形.所以BMCDAD，所以BDAB 6/9 又ABAPA，所以BDPAB平面 又BDPBD平面，所以平面PABPBD平面【提示】（）先证明线线平行，再利用线面平行的判定定理证明线面平行；（），先由线面垂直得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得到BD平面PAB，最后利用面面垂直的判定定理证明面面垂直.【考点】线面关系，角的计算.18.【答案】（）根据正弦定理，可设(0)sinsinsinabck kABC，则sinsinsinakA bkBckC，代入coscossinABCabc中，有coscossinsinsinsinABCkAkBkA，变形可得sinsinsincoscossinsi()n ABABABAB.在ABC中，由ABC，有sin()sin()sinABCC，所以sinsincosABC.（）由已知，222bcabc，根据余弦定理，有2223cos25bcaAbc.所以24sin1 cos5AA.由（），sinsinsincoscossinABABAB，所以443sincossin555BBB，故sintan4cosBBB.【提示】第（）问，利用正弦定理，将边角进行转化，结合诱导公式进行证明；第（）问，利用余弦定理解出3cos5A，再根据平方关系解出sin A，结合（）可解出tanB的值.【考点】三角恒等变换，解三角形.19.【答案】（）由已知，12111nnnnSqSSqS，两式相减得到211nnaqan，.又由211SqS得到21aqa，故1nnaqa对所有1n都成立.所以，数列na是首项为 1，公比为 q 的等比数列.从而1=nnaq.由2323+aaaa，成等差数列，可得32232=aaaa，所以32=2,aa，故=2q.所以1*2()nnanN.（）由（）可知，1nnaq 所以双曲线2221nyxa的离心离22(1)11nnneaq 由2212eq，解得3q，7/9 所以，22222(1)12(1 1)(1)1nneeeqq 222(1)2111nnqnqqnq 1(31)2nn【提示】（）利用+1nnnaSS得到数列 na为等比数列，再结合2323aaaa，成等差数列求出 na的公比 q，从而利用等比数列的通项公式求解；（）先利用双曲线的离心率得到ne的表达式，再解出 q 的值，最后利用等比数列的求和公式求解.【考点】数列的通项公式与求和.20.【答案】（）由已知，2ab.又椭圆22221(0)xyabab过点13,2P，故2214314bb，解得21b.所以椭圆 E 的方程是2214xy.（）设直线 l 的方程为1(0)2yxm m，1122(,)(,)A x yB xy，由方程组221,41,2xyyxm得222220 xmxm，方程的判别式为24(2)m，由，即220m，解得22m.由得2121 2222xxmx xm，.所以 M 点坐标为,2mm，直线 OM 方程为12yx，由方程组221,41,2xyyx 得222,2,22CD，.所以2555(2)(2)(2)224MC MDmmm.又222212121212115()()()44416MA MBABxxyyxxx x 2225544(22)(2)164mmm.8/9 所以=MA MBMC MD.【提示】（）利用点在椭圆上，列出方程，解出 b 的值，从而得到椭圆 E 的方程；（）设交点坐标为1122(,),(,)x yxy，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得1212xxx x，再把MA MB用12xx，表示出来，并代入1212xxx x，的值，化简得出结论.【考点】直线与圆锥曲线的交线.21.【答案】（）2121()2(0)axfxaxxxx 当0a 时，()0fx，()f x在(0,)内单调递减 当0a 时，由()0fx由12xa 当10,2xa时，()0fx，()f x单调递减；当1,+2xa时，()0fx，()f x单调递增.（）令1()exs xx，则1()e1xs x.当1x 时，()0s x，所以1exx，从而111()0exg xx.（）由（），当1x 时，()0g x.当0a，1x 时，2()(1)ln0f xa xx.故当()()f xg x在区间(1+)，内恒成立时，必有0a.当102a时，112a.由（）有1(1)02ffa，而102ga，所以此时()()f xg x在区间(1,)内不恒成立.当12a 时，令()()()(1)h xf xg xx.当1x 时，3212222111112121()2exxxxxh xaxxxxxxxxx0 此时，在区间(1,)单调递增.又因为(1)0h时，所以当1x，()()()0h xf xg x，即()()f xg x恒成立.综上，1,2a.9/9 【提示】（）对()f x求导，再对a进行讨论，判断函数的单调性；（）利用导数判断函数的单调性，从而证明结论；（）构造函数()()()(1)h xf xg xx，利用导数判断函数()h x的单调性，从而求解a的值.【考点】导数的性质与应用.