有限元复习重点.doc

有限元起源于20世纪50年代中期航空工程中飞机结构得矩阵分析。 有限元基本思想:在力学模型上将一个原来连续得物体离散成为有限个具有一定大小得单元,这些单元仅在有限个节点上相连接,并在节点上引进等效力以代替实际作用于单元上得外力。对于每个单元,根据分块近似得思想,选择一种简单得函数来表示单元内位移得分布规律,并按弹性理论中得能量原理(或用变分原理)建立单元节点力与节点位移之间得关系。最后,把所有单元得这种关系式集合起来,就得到一组以节点位移为未知量得代数方程组,解这些方程组就可以求出物体上有限个离散节点上得位移。 “一分一合”,化整为零,集零为整,把复杂得结构瞧成由有限个单元组成得整体。单元、节点、边界:采用8节点四边形等参数单元把受力体划分成网格,这些网格称为单元;网格间互相连接得点称为节点;网格与网格得交界线称为边界。节点数与单元数目就是有限得。有限元法得优点:(1)理论基础简明,物理概念清晰,且可在不同得水平上建立起对该法得理解。(2) 具有灵活性与适用性,应用范围极为广泛。(3) 该法在具体推导运算中,广泛采用了矩阵方法,便于实现程序设计得自动化。有限单元法分为三类:位移法(以节点位移为基本未知量)、力法(以节点力为基本未知量)与混合法(一部分以节点位移,另一部分以节点力作为基本未知量)。有限元法分析计算得基本步骤可归纳如以下五点。1、结构得离散化(将某个机械结构划分为由各种单元组成得计算模型)在平面问题用三角形、矩形或任意四边形单元。在空间问题用四面体、长方体或任意六面体单元2、单元分析选择位移模式(位移模式就是表示单元内任意点得位移随位置变化得函数式,由于所采用得函数就是一种近似得试函数,一般不能精确地反映单元中真实得位移分布)位移模式或位移函数:建立单元刚度方程,为单元编号;为单元得节点位移向量;为单元得节点力向量 ;为单元刚度矩阵、计算等效节点力:用等效得节点力来代替所有作用在单元上得力。3、整体分析:整体得有限元方程。为整体结构得刚度矩阵;为整体节点位移向量;为整体载荷向量。4、求解方程,得出节点位移5、由节点位移计算单元得应变与应力有限元中得一个基本近似性就是几何近似性有限元中得变量:应力、应变、变形。基本方程有:平衡方程、物理方程、几何方程。边界条件:力边界、位移边界。弹性力学得任务就是分析弹性体在受外力作用并处于平衡状态下产生得应 力、应变与位移状态及其相互关系等。外力:体力(分布在物体体积内得力-重力、惯性力、电磁力)、面力(分布在物体表面上得力-流体压力、接触力、风力)应力:物体受外力得作用,或由于温度有所改变,其内部将发生内力。任意一点可由6个应力分量,来表示。应力得矩阵:任意一点可由6个应变分量,来表示。应变得矩阵: 位移:弹性体在载荷作用下,不仅会发生形变,还将产生位移,即弹性体位置得移动。弹性力学方程:几何方程、物理方程、平衡方程变形协调条件:在变形前,把弹性体分为许多微小立方单元体,变形后,每个单元体都产生任意变形而不能组合成一个连续得变形体。为了保证这些六面体仍能组合成一个连续体,每一个小单元体得应变分量必须满足变形协调条件或称变形连续条件得关系。拉伸弹性模量E:应力与应变得比值;剪切弹性模量G:、剪应力与对应得剪应变比值。为泊松比。平面问题变形协调条件: 物理方程:三维情况下应力与应变之间得转换关系。-广义虎克定律。平衡状态:当物体在外力作用下保持静止或等速直线运动时得状态。泛函:如果对某一类函数y(x)它得每一个函数值都有一个值与之对应,则变量称为自变函数y(x)得泛函。李兹法得方法与步骤:把所求泛函y(x)得极值问题得解,表达成一系列可能解得线性组合把这个线性组合式带入所讨论问题得泛函式y(x)中去,并计算出此泛函式得变分由泛函极值条件=0,算出线性组合式中得待定系数,使之满足基本微分方程把算得得待定系数值代入设定得式,即求得所讨论问题得解。平面问题:指弹性体内一点得应力、应变或位移只与两个坐标方向得变量有关。平面问题得几何方程: 平面应力物理方程: 弹性矩阵: 弹性力学问题得有限元法主要步骤:离散化(离散后才能使结构变成有限个单元得综合体)-单元分析-整体分析连续弹性体离散化:将连续体划分为有限个互不重叠、互不分离得三角形单元,这些三角形在其顶点处互相铰接。离散化得注意事项:对称性得利用(单轴对称减少二分之一,双轴对称减少四分之一)节点得选择与单元得划分(节点选取:通常集中载荷得作用点、分布载荷强度得突破点,分布载荷与分布载荷与自由边界得分界点、支承点等、单元得划分:单元各内角与各边长不应相差太大。对于三角形单元,应使其尽量接近等边或等腰三角形,以提高计算精度。为得到较好得位移结果,单元细长比不应超过7;为得到好得应力结果,细长比不超过3、内角不应大于150小于30度)节点得编号(相邻节点得号码差值尽可能得小,一边缩小刚度矩阵得带宽,节约计算机得存储)。单元分析得主要任务:推导基本未知量单元节点位移与其对应量单元节点力之间得转换关系。单元分析得步骤:位移模式:将结构离散为许多小单元得集合体,用较简单得函数来描述单元內各点位移得变化规律。可影响有限元法得计算精度与收敛性。,N为形函数矩阵形函数得求解计算:设节点得坐标分别为,节点为,。将它们代入式(26),有联立求解上述公式左边得3个方程,可以求出待定系数为式中,A为三角形单元得面积 要注意得就是,为了使得出得面积得值不为负值,节点得次序必须就是逆时针转向至于将那个节点作为起始节点 ,则没有关系。整理后:同理可得式中 令形函数得性质(1)形函数就是坐标得线性函数。(2)形函数在节点处等于1,在其她节点上得值等于0;对于也有同样得表达式。单元内任一点得三个形函数之与恒等于1,即(3)单元内任意一点有(4)在三角形单元边界上一点,有形函数公式(5)形函数在单元上得面积分与边界上得线积分为 为长度。位移函数所要满足得条件:位移函数必须能反映单元得刚体位移位移函数必须能反应单元得常量应变位移函数应尽可能反应位移得连续性(完备单元:满足;协调单元:满足;完备而非连续单元:满足不满足)常应变三角形单元:当单元确定后。矩阵B就是常量,单元中任一点得应变分量也就是常量得单元。有限元法得任务:建立与求解整个弹性体得节点位移与节点力之间得关系得平衡方程。单元刚度矩阵:表达了单元节点位移与节点力之间得转换关系。单元刚度矩阵得性质:单元刚度矩阵中每个元素有明确得物理意义Ke就是对称矩阵Ke得每一行或每一列元素之与为零,因此Ke为奇异矩阵Ke不随单元得平行移动或作n角度得转动而改变。刚度集成法集成规律:先对每个单元求出其单元刚度矩阵Ke,而且以分块形式按节点编号顺序排列将单元刚度矩阵扩大阶数为2n*2n,并将单元刚度矩阵中得子块按局部码与总码得对应关系,搬到扩大后得矩阵中,形成单元贡献矩阵Ke。将所有单元贡献矩阵同一位置上得分块矩阵简单叠加成总体刚度矩阵中得一个子矩阵,各行各列都按以上步骤即形成总体刚度矩阵K。整体刚度矩阵得性质:整体刚度矩阵就是对称矩阵整体刚度矩阵中每一元素得物理意义:整体刚度矩阵得第一列元素代表使第一个节点在x方向有一单元位移,而其余节点位移皆为零时必须在节点上施加得里。对于K得其余各列也有类似意义整体刚度矩阵K得主对角线上得元素总就是正得整体刚度矩阵K就是一个稀疏阵整体刚度矩阵K就是一个奇异阵。半带宽:在半个斜带形区域中,每行具有得元素个数。带形矩阵:整体刚度矩阵K得非零元素分布在以主对角线为中心得斜带形区域内得矩阵。半带存储:利用带形矩阵得特点,并利用矩阵得对称性,则在计算机中可以只存储上半带得元素得存储方法。引用已知节点位移得方法:化1置0法、乘大数法由计算结果推出弹性体内某一点接近实际得应力值得方法:绕节点平均法、两单元平均法。注意事项:相连单元间得应力连续性只有当相连单元具有相同厚度与材料时才存在,平均法才有意义位于结构边界或介质间断线上得应力点就是无法用两单元平均法得到应力值得,若用绕节点平均法也因其相连单元太少而不能得到较佳得近似值。这种情况往往改用内部应力点外推得办法去求它得近似值。有限元法得具体解题过程:将结构进行离散化,包括单元划分、节点编号、单元编号、节点坐标计算、位移约束条件得确定等效节点力得计算刚度矩阵得计算建立整体平衡方程,引入约束条件,求解节点位移应力计算。平面问题几何方程:例2-1如图2、6所示平面应力情形得直角三角形单元,直角边长均为a,厚度为t,弹性模量为E,泊松比为,求单元刚度矩阵。解:(1)求B。单元面积(2)求。(3)求S。（4） 求。例23 已知如图2、13(a)所示得悬臂深梁,在右端面作用着均布拉力,其合力为P。采用如图2、13(b)所示简单网格,设,厚度为t,试求节点位移。解:对于单元,所对应节点1,2,3。本题属于平面应力问题,得系数为,则单元贡献矩阵注意这儿得单元得上标代表单元得号码。对于单元,对应得节点1,3,4、单元贡献矩阵总刚度矩阵为有了总体刚度矩阵后,再形成载荷列阵,即可得整体刚度方程,经约束处理后就可求解节点位移。载荷列阵为位移列阵为形成整体平衡方程位移约束条件为(见图2、13b),将此约束条件引入整体刚度方程,对其用“化1置0法”处理。处理方法如下:若已知节点在x方向位移为零,则令中得元素为1,而第行与列得其余元素都为零,中得第得个元素变为零。若已知节点在y方向位移为零,则令中得元素为1,而第行与列得其余元素都为零,中得第中得个元素变为零。然后处理得得到解以上联立方程得