【陕西省西安市】2017年高考一模数学(文科)试卷-答案.pdf

1/12 陕西省西安市陕西省西安市 2017 年高考一模数学（文科）试卷年高考一模数学（文科）试卷 答答 案案 一、选择题 15CABCD 610CCBDD 1112AB 二、填空题 13垂直 142132a 154；2；1；3 163 三、解答题 17（I）2na，12na，22na成等比数列，122(2)22nnnaaa，122nnnaaa 数列na为等差数列，设公差为d，35a，5620aa，125ad，12920ad，解得11a，2d 12(1)21nann （II）(1)(21)(1)nnnnbannn 设数列(1)nn 的前n项和为nS，则123(1)nnSn 11 23(1)(1)(1)nnnSnn ，111(1)21 1 1(1)1)(1(1)(1)nnnnnSnn ，(1)1(1)42nnnnS 2/12 2(121)(1)1(1)(1)1(1)24242nnnnnnnnnTnn 22122132121425444T 18解：（）设2.5PM的24小时平均浓度在(50,75内的三天记为1A，2A，3A，2.5PM的 24 小时平均浓度在(75,100)内的两天记为1B，2B 所以 5 天任取 2 天的情况有：12A A，13A A，11AB，12AB，23A A，21A B，22A B，31A B，32A B共 10 种 其中符合条件的有：11AB，12AB，21A B，22A B，31A B，32A B共 6 种 所以所求的概率63105P（8 分）（）去年该居民区2.5PM年平均浓度为：12.5 0.1537.5 0.662.5 0.1587.5 0.142.5（微克/立方米）（10 分）因为42.535，所以去年该居民区2.5PM年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进（12 分）19 解：（）证明：在直角梯形ABCD中，ADBC，90ABC，2ABBC，6AD，CEADE于 点，把DEC沿CE折到D EC的位置，使2 3D A，4ED，连结BE，GH，在三角形AED中，可得222EDAEAD，可得ADAE，222 5DCEDAB，2 2AC，可得222ACADCD，可得，因为AEACA，所以ADABCD平面，可得ADBE，G，H分别为D B，D E的中点，可得GHBE，所以GHD A（）三棱锥CD BE的体积为V 则1112 32233323BCEVSAD 3/12 20解：（1）由题意可得32cea，椭圆的左顶点(2,0)T，可得2a，3c，221bac，则椭圆方程为2214xy；（2）设(,)M m n，由对称性可得(,)N mn，即有2214mn，则222225(2,)(2,)(2)(2)14344TMmmnmnmnmmTmN 258()1545m，由22m，可得85m 时，TM TN的最小值为15，此时2925n，即有22213(2)25rmn，可得圆T的方程2213(2)25xy 21解：（）()2fxx，故(1)2kf，而()2(ln1)g xxa，故(1)2ga，故22a，解得：4a，故(1)4ga，故()g x的切线方程是：42(1)yx，即220 xy；（）当(0,)x时，()()0g xf x恒成立，等价于32lnaxxx，令3()2lng xxxx，(0,)x，2223(3)(1)()1xxg xxxx，当01x时，()0g x，()g x单调减，当1x 时，()0g x，当1x 时，()0g x，()g x单调增，4/12 min()(1)4g xg，4a 22解：（1）曲线C的极坐标方程为2cos2sin，22cos2 sin，曲线C的直角坐标方程为212yx，yx，又(2 2,)4M的直角坐标为(2,2)，曲线C在点(2,2)处的切线方程为22(2)yx，即直线l的直角坐标方程为：220 xy（2）P为椭圆22134xy上一点，设(cos,2sin)P，则P到直线l的距离|4cos()2|2 3cos2sin2|355d，当1sin()32 时，d有最小值0 当sin()13时，d有最大值6 55 P到直线l的距离的取值范围为：6 50,5（10 分）23解：（）不等式|()1|f xx，等价于|211xx，0 x，不等式可化为211xx ，即0 x，不成立；102x，不等式可化为211xx，即0 x，102x；12x，不等式可化为211xx，即2x，122x；故不等式|()1|f xx的解集为(0,2)（）113|xy，1216|y，11()212(1|)(21)2(1)|(21)2136f xxxyyxyy 5/12 陕西省西安市陕西省西安市 2017 年高考一模数学（文科）试卷年高考一模数学（文科）试卷 解解 析析 一、选择题 1【考点】交集及其运算【分析】求出 B 中不等式的解集确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可【解答】解：由 B 中不等式变形得：x（x2）0，解得：x0 或 x2，即 B=x|x0 或 x2，A=1，0，1，2，3，AB=1，3，故选：C【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：复数+i=+i=+i=所对应的点位于第一象限，故选：A【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了计算能力，属于基础题 3【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用 y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：将函数 y=sin（x+）的图象上所有的点向左平移个的单位长度，可得 y=sin（x+）=sin（x+）的图象；再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍（纵坐标不变），则所得图象的解析式为 y=sin（x+），故选：B【点评】本题主要考查了 y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题 4【考点】球的体积和表面积【分析】设两个球的半径分别为 r1、r2，根据球的表面积公式算出它们的表面积之比为=，解之得=，由此结合球的体积公式即可算出这两个球的体积之比 6/12 【解答】解：设两个球的半径分别为 r1、r2，根据球的表面积公式，可得它们的表面积分别为 S1=4，S2=4 两个球的表面积之比为 1：4，=，解之得=（舍负）因此，这两个球的体积之比为=（）3=即两个球的体积之比为 1：8 故选：C【点评】本题给出两个球的表面积之比，求它们的体积之比 着重考查了球的表面积公式和体积公式等知识，属于基础题 5【考点】抛物线的标准方程【分析】求出双曲线的焦点坐标，可得抛物线 y2=2px 的焦点坐标，即可求出 p 的值【解答】解：双曲线=1 的右焦点为（2，0），即抛物线 y2=2px 的焦点为（2，0），=2，p=4 故选 D【点评】本题考查双曲线、抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题 6【考点】直线与圆的位置关系【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出半弦长，则弦长可求【解答】解：由 x2+y22x4y=0，得（x1）2+（y2）2=5，所以圆的圆心坐标是 C（1，2），半径 r=圆心 C 到直线 x+2y5+=0 的距离为 d=所以直线直线 x+2y5+=0 被圆 x2+y22x4y=0 截得的弦长为 7/12 故选 C【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了弦心距、圆的半径及半弦长之间的关系，是基础题 7【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为 1、2、2 的直角梯形，一条长为 x 的侧棱垂直于底面据此可求出原几何体的体积【解答】解：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为 1、2、2 的直角梯形，一条长为 x 的侧棱垂直于底面 则体积为=，解得 x=故选：C【点评】本题考查了三视图，由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键 8【考点】程序框图【分析】列出循环过程中 S 与 n 的数值，满足判断框的条件即可结束循环【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60=，不满足条件 S3.10，n=12，S=6sin30=3，不满足条件 S3.10，n=24，S=12sin15=120.2588=3.1056，满足条件 S3.10，退出循环，输出 n 的值为 24 故选：B【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题 9【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出原函数的导函数，得到函数在 x=b 时的导数值，利用基本不等式求最值得答案【解答】解：由 f（x）=lnx+x2bx+a，得 f（x）=+2xb（x0），f（b）=+b（b0）f（b）=+b2，当且仅当 b=，即 b=1 时上式取“=”，切线斜率的最小值是 2 故选：D【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用基本不等式求最值，是基础题 10【考点】古典概型及其概率计算公式 8/12 【分析】从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点，选择方法有 C64=15 种，且每种情况出现的可能性相同，故为古典概型，由列举法计算出它们作为顶点的四边形是矩形的方法种数，求比值即可【解答】解：从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点，选择方法有 C64=15 种，它们作为顶点的四边形是矩形的方法种数为 3，由古典概型可知，它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 故选 D 【点评】本题考查古典概型、组合数运算，考查运算能力 11【考点】任意角的三角函数的定义；对数函数的图象与性质【分析】利用函数的图象经过定点 P 的坐标，任意角的三角函数的定义，求得 sin 和 cos 的值，再利用二倍角公式求得要求式子的值【解答】解：函数 y=loga（x3）+2 过定点 P（4，2），且角 的终边过点 P，x=4，y=2，r=|OP|=2，sin=，cos=，sin2+cos2=2sincos+2cos21=2+21=，故选：A【点评】本题主要考查函数的图象经过定点问题，任意角的三角函数的定义，二倍角公式的应用，属于基础题 12【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的周期性【分析】确定 f（x）的周期为 4，x（5，6）时，f（x）=t（x5），x（6，7）时，f（x）=t（7x），再利用 t0，f（x）=恰有 3 个不同的实数根，可得 t（21），t（61）2，即可求出 t 的取值范围【解答】解：由 f（x+2）=f（x），f（x+4）=f（x+2）=f（x），故 f（x）的周期为 4，x（1，2）时，f（x）=t（x1），x（2，3）时，f（x）=t（3x），x（5，6）时，f（x）=t（x5），x（6，7）时，f（x）=t（7x），9/12 t0，f（x）=恰有 3 个不同的实数根，t（21），t（61）2 2t，故选：B【点评】本题考查函数的周期性、根的存在性及根的个数判断，考查学生的计算能力，属于中档题 二、填空题 13【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据平面向量的模长公式与数量积运算，得出 =0 时 【解答】解：|+|=|，=，+2 +=2 +，=0，向量 与向量 的关系是垂直 故答案为：垂直【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题，是基础题目 14【考点】简单线性规划【分析】作出区域 D，直线 y2=a（x+2）表示过点 A（2，2）且斜率为 a 的直线，数形结合可得结果【解答】解：作出不等式组所对应的可行域 D（如图阴影），直线 y2=a（x+2）表示过点 A（2，2）且斜率为 a 的直线，联立可解得即 C（1，0），由斜率公式可得 a=，由解得 B（0，3），此时 A=结合图象可得要使直线 y2=a（x+2）与区域 D 有公共点需a，10/12 故答案为：a 【点评】本题考查简单线性规划，数形结合是解决问题的关键，属中档题 15【考点】进行简单的合情推理【分析】根据预测都不正确，即可推出相对应的数字【解答】解：乙丙丁所说为假甲拿 4，甲乙所说为假丙拿 1，甲所说为假乙拿 2；故甲、乙、丙、丁 4 个人拿到的卡片上的数字依次为 4，2，1，3，故答案为：4，2，1，3【点评】本题考查了合情推理的问题，关键是掌握命题的否定，属于基础题 16【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意可知：顶点 A，B 为椭圆的两个焦点，利用正弦定理及椭圆的定义，求得 a 和 b 的关系，即可求得=3【解答】解：由椭圆+=1，长轴长 2a=10，短轴长 2b=8，焦距 2c=6，则顶点 A，B 为椭圆的两个焦点，三角形 ABC 中，a=丨 BC 丨，b=丨 AC 丨，c=丨 AB 丨=6，a+b=丨 BC 丨+丨 AC 丨=10，由正弦定理可知=2R，则 sinA=，sinB=，sinC=，=3，故答案为：3 11/12 【点评】本题考查椭圆的定义及正弦定理的应用，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题 三、解答题 17【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（I）由 2，2，2成等比数列，可得=22，可得 2an+1=an+an+2利用等差数列的通项公式可得 an（II）利用“错位相减法”、等差数列等比数列的求和公式即可得出【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 18【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表【分析】（）设 PM2.5 的 24 小时平均浓度在（50，75内的三天记为 A1，A2，A3，PM2.5 的 24 小时平均浓度在（75，100）内的两天记为 B1，B2，求出基本事件总数，符合条件的基本事件总数，即可求得概率；（）利用组中值频数，可得去年该居民区 PM2.5 年平均浓度，进而可判断该居民区的环境是否需要改进【点评】本题主要考查频率分布表、古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等 19【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（）通过证明：ADAE，ADAC，推出 AD平面 ABCD，推出 ADBE，通过证明 GHBE，推出 GHDA；（）三棱锥 CDBE 的体积直接利用棱锥的体积公式求解即可【点评】本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，其中（）的关键是熟练掌握面面垂直，线面垂直及线线垂直的相互转化，（）的关键是判断出棱锥的高和底面面积 12/12 20【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和顶点坐标，结合 a，b，c 的关系，可得椭圆方程；（2）设 M（m，n），由对称性可得 N（m，n），代入椭圆方程，再由向量数量积的坐标表示，转化为关于 m 的二次函数，配方，结合椭圆的范围，可得最小值，进而得到 M 的坐标，可得圆的方程【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考查向量数量积的最小值，注意运用二次函数的最值求法和椭圆的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题 21【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求出函数的导数，求出 a 的值，从而求出切线方程即可；（）先把已知等式转化为 ax+2lnx+，设 g（x）=x+2lnx+，x（0，+），对函数进行求导，利用导函数的单调性求得函数的最小值，只要 a 小于或等于最小值即可【点评】本题主要考查了利用导函数求最值的问题考查了学生对函数基础知识的理解和灵活运用 22【考点】直线与椭圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）利用极坐标方程与普通方程的互化求解即可（2）设出椭圆的参数方程，利用点到直线的距离公式化简求解即可【点评】本题考查椭圆的参数方程，极坐标方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力 23【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法【分析】（）由条件|2x1|x|+1，分类讨论，求得 x 的范围（）由条件利用绝对值三角不等式证得不等式成立【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题