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第四章 三角形
4、1 认识三角形(1)
学习目标:1、通过观察、想象、推理、交流等活动,发展空间观念、推理能力与有条理地表达能力;
2、能证明出“三角形内角与等于180°”,能发现“直角三角形得两个锐角互余”;
3、按角将三角形分成三类。
学习重难点:三角形内角与定理推理与应用。
学习设计:
（一） 预习准备
(1)预习书
(2)思考①三角形得角之间得关系②三角形得分类
(3)预习作业
三角形中角得关系:(1)三角形得三个内角之与就是 ;
(2)直角三角形得两个锐角
三角形得分类: 按角分为三类: 三角形; 三角形与 三角形。
（二） 学习过程
例1 证明三角形得内角与为180°
例2 在△ABC中,(1)=
(2)=
(3)在△ABC中,得外角就是120°,得度数就是度数得一半,
求△ABC得三个内角得度数
变式训练:在△ABC中(1)=
(2)若=55°,,那么= , =
例3 已知△ABC中,,试判断此三角形就是什么形状？
变式训练:已知△ABC中,试判断此三角形
就是什么形状？
例4、如图,在△ABC中,,CD⊥AB
于点D,
如图,已知得度数。
变式训练:如图在锐角三角形ABC中,BE、CD分别垂直AC、AB,
若,求得度数。
拓展:1、如图所示,求得度数。
2、如图在△ABC中,已知得度数。
回顾小结:1、三角形得三个内角得与等于180°;
2、三角形按角分为三类:
(1)锐角三角形 (2)直角三角形 (3)钝角三角形
3、直角三角形得两个锐角互余
1、认识三角形
一、学习目标:
1、通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发掌空间观念、推理能力与有条理地表达能力;
2、结合具体实例,进一步认识三角形得概念及其基本要素,掌握三角形三关系:“三角形任意两边之与大于第三边;三角形任意两边之差小于第三边”。
二、学习重点:三角形三边关系:“三角形任意两边之与大于第三边;三角形任意两边之差小于第三边”。
三、学习难点: 灵活运用三角形三边关系解决一些实际问题。
四、学习设计
(一)预习准备
(1)预习书
(2)思考①什么叫三角形？②三角形得基本构造③三角形得三边关系
(3)预习作业:
如图,已知AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,点F就是AE得中点,则图中有 个三角形, 个直角三角形, 个锐角三角形, 个钝角三角形;以为内角得三角形有 个,它们分别就是 ;以BE为一边得三角形就是 。
(二)学习过程
1、三角形得有关概念
(1)三角形得定义:由不在 上得三条线段首尾 相连所组成得图形。
(2)三角形得基本构造:
①组成三角形得三条线段叫做三角形得
②两条边相接得点叫做三角形得
③相邻两边组成得角叫做三角形得
2、三角形得三边关系:
(1)三角形任意两边之与 第三边
(2)三角形任意两边之差 第三边
例1 图中共有几个三角形？并把它们用符号表示出来。
例2 下面各组数分别表示三条线段得长度,试判断以它们为边就是否能
组成三角形。
(1)1 ;4 ;5 (2)3 ;3 ;5
(3)3x ;5x ;7x(x为正数) (4)三条线段长度之比为4:7:6
变式训练:有下列长度得三条线段能否构成三角形？为什么？
(1)3 ;4 ;8 (2)5 ;6 ;11 (3)5 ;7 ;10
(4)4 ;4 ;9 (5)5 ;5 ;5
例3 小明要制作一个三角形铁丝架,已知有两根铁丝长度分别就是3cm,5cm
（1） 她该如何选择第三根铁丝？您能帮助小明确定它得长度或范围吗？
（2） 如果要求第三根铁丝得长度就是整数,那么小明有几种选择？
变式训练:1、已知两条线段得长为5cm与8cm,要订成一个三角形,试求:
（1） 第三条线段得长度范围;
（2） 若第三条线段得长度为奇数,求此时三角形得周长。
2、已知等腰三角形中,有两边长为3与7,求此等腰三角形得底边与腰长
例4 如图所示,在小河得同侧有A,B,C三个村庄,图中得线段表示道路,某邮递员从A村送信到B村,总就是走经过C村得道路,不走经过D村得道路,这就是为什么呢？
请利用您所学得数学知识加以证明。
拓展:1、若设就是△ABC得三边,则=
2、已知就是△ABC得三边,,且三角形得周长就是偶数,
(1)求c得值;(2)判断△ABC得形状。
回顾小结:
掌握三角形三边关系:“三角形任意两边之与大于第三边;三角形任意两边之差小于第三边”。
4、1认识三角形(3)
学习目标:1、通过观察、想象、推理、交流等活动,发展空间观念、推理能力与有条理地表达能力;
2、了解三角形得角平分线、中线、高线,并能在具体得三角形中作出高线。
学习重点:1、角平分线得概念
2、三角形得中线、高线。
学习难点:高线得画法以及三个定义做计算
学习设计:
（一） 预习准备
（1） 预习书
（2） 思考:什么就是三角形得角平分线？中线？高线？
（3） 预习作业
画出下图三角形得三条高
（二） 学习过程
1、在三角形中,一个内角得角平分线与它得对边相交,这个角得顶点与交点之间得线段叫做
2、在三角形中, 得线段,叫做这个三角形得中线。
3、从三角形得一个顶点向它得对边所在直线作垂线,
之间得线段叫做三角形得高。
例1 (1)如图1,D为S△ABC得变BC边得中点,若S△ADC=15, 那么S△ABC=
(2)如图2,已知AD、BE分别就是△ABC中BC、AC边上得高,若
图1 图2
变式训练:如图在△ABC中,BD平分=
例2 如图,已知在△ABC中,得平分线交于点O,试说明:
(1)
(2)
变式训练:如图在△ABC中,已知I就是△ABC三个 内角平分线得交点,为( )
A、40° B、50° C、65° D、80°
例3 如图,已知在△ABC中,CF、BE分别就是AB、AC边上得中线,
若AE=2,AF=3,且△ABC得周长为15,求BC得长。
变式训练:如图,在△ABC中,AB=AC,AC边上得中线BD把三角形得周长分为12与15两部分,求△ABC各边得长。
拓展:1、(1)如图,若AD为△ABC底边BC得中线,
则= = ;
(2)两个等底(同底)三角形面积之比等于它们得 之比;两个等高(同高)三角形面积之比等于它们得 之比;
(3)如图,在四边形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,DF=FC,CE=2EB。已知(其中n>m),则=
2、如图1在△ABC中,AD⊥BC于点D,AE平分
(1)试探究得关系;
(2)若F就是AE上一动点
①若F移动到AE之间得位置时,FD⊥BD,如图2所示,此时得关系如何？
②当F继续移动到AE延长线上时,如图3所示FD⊥BC,①中得结论就是否还成立,如果成立说明理由,如果不成立,写出新得结论。
回顾小结:(1)三角形得角平分线、中线、高线得定义;
(2) 三角形得角平分线、中线、高线就是线段、
4、2 图形得全等
一、学习目标:
1、了解全等图形、全等多边形、全等三角形、
2、平移、旋转、翻折等图形基本运动对全等图形得影响、
3、掌握全等多边形性质与识别方法,全等三角形得性质、
4、简单应用全等多边形性质、全等三角形得性质解决实际问题、
二、学习重点:
全等多边形得性质与识别方法;全等三角形得性质应用、
三、学习难点:
平移、旋转、翻折等图形基本运动对全等图形得影响、
四、学习设计:
(一)引入
观察教材几组图形。
(二)学习过程
阅读课本填空:_________________两个图形就就是全等图形。
全等图形得________与______都相同。
下面,我们瞧瞧图形得运动对全等图形有何影响?
活动 请同学们在方格纸中任意画一个多边形,先将这个多边形沿某一方向平移一定距离(与原图形无重叠);再将原多边形绕形外一点顺时针(或逆时针)旋转一定角度(与原图形无重叠);然后将原图形沿形外某格线对称;最后将这些图形剪下来,将其叠合、您能发现什么?通过这个活动过程,说明了什么问题?
说明图形经过平移、旋转、翻折得图形运动,位置发生了变化,但形状与大小却没有改变,图形运动前后得两个图形就是全等得;反过来,也就就是说,两个全等得图形经过图形运动一定能重合、
请您说说什么就是全等多边形?什么就是全等多边形得对应顶点、对应角、对应边?您认为全等多边形有何特征?
全等多边形对应边、对应角分别相等、
如图1,四边形ABCD与四边形EFGH全等,可记为四边形ABCD≌四边形EFGH,请指出对应顶点、对应角、对应边、
全等多边形得识别方法:如果两个多边形对应边、
对应角分别相等,那么这两个多边形全等、
三角形就是特殊得多边形,所以,全等三角形得对应边、对应角分别相等;如果两个三角形得___________、__________分别相等,那么这两个多边形全等、
例1 如图2,已知将△ABC绕其顶点A顺时针方向旋转20°后得到△ADE、
(1)△ABC与△ADE得关系如何?
(2)求∠BAD得度数、
分析:将△ABC绕其顶点A旋转得到△ADE,故△ADE就是由△ABC旋转得到得,若将△ADE逆时针方向旋转20°,则能与△ABC重合,所以△ABC与△ADE就是全等得、由学生自主思考、分析解答、
探索:请同学们将两张纸叠起来,剪下两个全等三角形,然后将叠合得两个三角形纸片放在桌面上,从平移、旋转、对称几个方面进行摆放,瞧瞧两个三角形有一些怎样得特殊位置关系?并画出这些位置关系得代表性图形、
4、3 探索三角形全等得条件(1)
一、学习目标:
1.经历探索三角形全等得“边边边”得条件得过程.
2.了解三角形得稳定性.
3.经历探索三角形全等条件得过程,体会利用操作归纳获得数学结论得过程.
二、学习重点:
三角形全等得条件.
三、学习难点:
寻求三角形全等得条件
四、学习设计:
(一)、预习准备
(1)回忆前面研究过得全等三角形.
(2)预习课本
(二)、学习过程
已知△ABC≌△A′B′C′,找出其中相等得边与角.
图中相等得边就是:AB=A′B、BC=B′C′、AC=A′C.
相等得角就是:∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′.
(1)提出问题:您能画一个三角形与它全等吗？怎样画？
(提示:可以先量出三角形纸片得各边长与各个角得度数,再作出一个三角形使它得边、角分别与已知得三角形纸片得对应边、对应角相等.这样作出得三角形一定与已知得三角形纸片全等).
这就是利用了全等三角形得定义来作图.那么就是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题.
(２)小明家衣橱上两块全等得三角形玻璃装饰物,其中一块被打碎了,妈妈让小明快速配一块回来,如果只有一把尺子,小明该怎么办？
讨论下面几种情况:
1.给一个条件:
只给定一条边时:
只给定一个角时:
2.给出两个条件可能就是:①一边一内角;②两内角;③两边.
可以发现按这些条件画出得三角形都_______________保证一定全等.
给出三个条件画三角形,您能说出有几种可能得情况吗？
归纳:有四种可能.即:三内角、三条___、两边一内角、两_____一边.
在刚才得探索过程中,我们已经发现三内角不能保证三角形全等.下面我们就来逐一探索其余得三种情况.
已知一个三角形得三条边长分别为6cm、8cm、10cm.您能画出这个三角形吗？把您画得三角形剪下与同伴画得三角形进行比较,它们全等吗？
1.作图方法:
先画一线段AB,使得AB=6cm,再分别以A、B为圆心,8cm、10cm为半径画弧,两弧交点记作C,连结线段AC、BC,就可以得到三角形ABC,使得它们得边长分别为AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm.
2.以小组为单位,把剪下得三角形重叠在一起,发现都能够重合.这说明这些三角形都就是全等得.
这反映了一个规律:
_______________得两个三角形全等,简写为_________或_________.
用三根木条钉成三角形框架,它得大小与形状就是固定不变得,而用四根木条钉成得框架,它得形状就是可以改变得.三角形得这个性质叫做三角形得__________.
[例1]如图,1、如图,△ABC中 AB=AC, D为BC中点
求证:①△ABD≌△ACD.
②∠BAD=∠CAD
③AD⊥BC
证明:
变式训练:
如图,已知AC=FE、BC=DE,点A、D、B、F在一条直线上,AD=FB.要用“边边边”证明△ABC≌△FDE,除了已知中得AC=FE,BC=DE以外,还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？
例2、如图,已知AB=CD,AC=BD,求证:∠A=∠D
拓展延伸
1、 如图,AC与BD交于点O,AD=CB,E、F就是BD上两点,
且AE=CF,DE=BF、请推导下列结论:
⑴∠D=∠B;⑵AE∥CF.
2、已知如图,A、E、F、C四点共线,BF=DE,AB=CD、
⑴请您添加一个条件,使△DEC≌△BFA;
⑵在⑴得基础上,求证:DE∥BF、
3、 已知:AB =AC, D为△ABC内部一点, 且BD = CD,
A
B
C
E
D
连接AD并延长,交BC于点E、 试找出图中得一对全等得三角形,
并证明您得结论。
小结:
1、证明三角形全等得一般步骤:
①把非直接条件(公共边、公共角、对顶角,平行线,平行四边形等图形中得隐含条件)转化为直接条件(三角形中得对应相等得边或角)
②在△ 与△ 中 ∵ ∴△ ≌△
2、 证明不在同一个三角形中得边与角相等时,
不要忘记证它们所在得三角形全等
4、3探索三角形全等得条件(2)
一、学习目标
1、探索出三角形全等得条件“ASA”与“AAS”并能应用它们来判定两个三角形就是否全等。
2、体会利用转化得数学思想与方法解决问题得过程。
3、能够有条理得思考与理解简单得推理过程,并运用数学语言说明问题。
4、敢于面对数学活动中得困难,并能通过合作交流解决遇到得问题。
二、学习重点
掌握三角形全等条件“ASA”与“AAS”,并能应用它们来判定两个三
角形就是否全等。
三、学习难点
探索 “AAS”得条件
四、学习设计:
1、温故而知新
如图,在△ABC中,AB＝AC,AD就是BC边上得中线,△ABD与△ACD全等吗？
您能说明理由吗？
2、创设情景,引入新课
提问:一张三角形得纸片,被斯成三部分,究竟用那部分可
画出原图一样得三角形？
探究练习1、
两角与它们得夹边
将学生分组小组分工合作完成下列问题:
画一个△ABC使它满足以下条件:
第一组:∠A=90°, ∠B=30°,AB=10cm
第二组: ∠A=60°, ∠B=45°,AB=9cm
学生动手操作,完成问题后,小组交流比较,瞧瞧能得到什么结论？学生表述,老师板书:
________________________对应相等得两个三角形全等;
(简写为_____________或者 ______________)
探究练习2、
如果“两角及一边”条件中得边就是其中一角得对边,比如三角形得两个内角分别就是60° 与45°,一条边长为10cm,情况会怎样呢？
（1） 如果角60°所对得边为10cm,您能画出这个三角形吗？
（2） 如果角45°所对得边为10cm,那么按这个条件画出得三角形都全等吗？
结论___________________________对应相等得两个三角形全等
简写为________________________________
思考:若两个三角形具备两角与其中一个角得对边分别相等,哪么这两个三角形全等,您认为对吗？能举例说明吗？
3、举例应用:
例1、如图,已知AO=DO,∠AOB与∠DOC就是对顶角,还需补充条件______________=_______________,就可根据“ASA”说明△AOB≌△DOC;或者补充条件_______________=_______________,就可根据“AAS”,
说明△AOB≌△DOC。(若把“AO=DO”去掉,答案又会有怎样得变化呢？)
A
D
E
B
C
变式训练:如图:已知BD＝CE,∠B＝∠C,△ABD与△ACE全等吗？
为什么？
例2、如图,OP就是∠MON得角平分线,C就是OP上一点,CA⊥OM,CB⊥ON,
垂足分别为A、B,△AOC≌△BOC吗？为什么？
B
C
D
A
F
G
E
A
B
C
D
O
1
2
变式训练:
已知:如图,AB=DC,∠A=∠D.
试说明:∠1=∠2.
拓展延伸
如图,ΔABC中,D就是AC上一点,BE∥AC,BE=AD,AE分别交BD、BC于点F、G.
⑴图中有全等三角形吗？请找出来,并证明您得结论.
⑵若连结DE,则DE与AB有什么关系？并说明理由.
4、3探索三角形全等得条件(3)
一、学习目标:
1、 明确SAS公理得内容,能用SAS证明两个三角形全等。
2、 通过SAS公理得运用提高学生得逻辑思维能力,通过观察几何图形培养 学生识图能力与应用数学知识解决实际问题得能力。
二、学习重点:通过动手操作得出“SAS”可以判定两个三角形全等、
三、学习难点:通过操作发现“两边及其一边得对角对应相等”不能成为三角形全等得条件、
四、学习设计:
一． 回顾引入:
师:到目前为止,您能用哪些方法来判定三角形全等？
生:_____________________________________
师:ASA,AAS同就是两角一边,有什么区别？
师:请瞧下面得图形,已知Ð1=Ð3,BE=CF您能只添加一个条件证出
△ABC≌ DEF
吗？
F
A
C
E
D
B
2
1
3
4
二.学习过程:
提出问题:
据前面得探索过程可知,至少需要三个条件,除上述三种情况外还有哪种情况？
两边与一角对应相等,可以分几种关系？
1、两边及其夹角对应相等;
2、两边及其中一边得对角对应相等。
我们可以通过什么途径来验证以上条件能否得出全等结论？
实践探索1:两边及其夹角对应相等
请同学们画一个三角形,两边分别为20cm、16cm,
且夹角为40度。
小组比较交流图形能否重合。
思考:若改变图中得角度与边长也能重合吗？
明晰:________________________得两个三角形全等。(或___________)
例1:小明不小心打翻了墨水,将自己所画得三角形涂黑了,您能帮小明想想办法,画一个与原来完全一样得三角形吗？说说怎么做？
变式训练:
小明做了一个如图所示得风筝,其中∠EDH=∠FDH, ED=FD ,将上述条件标注在图中,小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同桌进行交流,还有哪组线段相等？并说明理由。
实践探索2:两边及其中一边对角对应相等
请同学们画一个三角形,两边分别为20cm、16cm,
且一边得对角为40度。
小组比较交流图形能否重合。
明晰:两边及其中一边得对角对应相等得两个三角形不一定全等。
例2、
O
D
C
B
A
工人师傅把两根钢条AC,BD连在一起可以做成一个测量工件内槽宽得工具(卡钳),只要量得CD得长度就可知工件得内径AB就是否符合标准。
您认为制作卡钳需要满足什么条件,并说明理由。
A、AO=CO B、BO=DO
C、AC=BD D、AO=CO且BO=DO
C ′
B′
A′
A
B
C
例3、如图:
①已知AB=A′B′,BC=B′C′,那只要再知道____=____,
就可以根据“SAS”得到△ABC≌△A′B′C′、
②已知AB=A′B′,∠BAC＝∠B′A′C′,那只要再知道____=____,
就可以根据“SAS”得到△ABC≌△A′B′C′、
③已知∠C＝∠C′,那只要再知道_____=_____ , _____=_____ ,
就可以根据“SAS”得到△ABC≌△A′B′C′
E
A
C
F
D
B
变式训练:
如图:若AB= DE,BF=EC ,∠B＝ ∠E,那么 △ ABC 与△ DEF全等吗？
拓展延伸
1． 如图,已知AB＝AC,AD＝AE,
∠1＝∠2.△ABD ≌ △ ACE。
2． 已知:点A、F、E、C在同一条直线上,
AF＝CE,BE∥DF,BE＝DF.
求证:AB∥CD
3、 如图,在△ABC中,∠B=2∠C,AD就是△ABC得角平分线,∠1=∠C,
求证AC=AB+BD
4、3探索三角形全等得条件(4)
学习目标:1、理解直角三角形全等得判定方法“HL”,并能灵活选择方法判定三角形全等;
2.通过独立思考、小组合作、展示质疑,体会探索数学结论得过程,发展合情推理能力;3、 极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。
学习重点: 运用直角三角形全等得条件解决一些实际问题。
学习难点:熟练运用直角三角形全等得条件解决一些实际问题。
四、学习设计:
一、复习思考
(1)、判定两个三角形全等得方法: 、 、 、
(2)、如图,Rt△ABC中,直角边就是 、 ,斜边就是
(3)、如图,AB⊥BE于B,DE⊥BE于E,
①若∠A=∠D,AB=DE,则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等” )根据 (用简写法)
②若∠A=∠D,BC=EF,则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等” )根据 (用简写法)
③若AB=DE,BC=EF,则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等” )根据 (用简写法)
④若AB=DE,BC=EF,AC=DF则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等” )根据 (用简写法)
(二)学习过程:
已知线段a ,c (a<c) 与一个直角, 利用尺规作一个Rt△ABC,
使∠C=∠,AB=c ,CB= a 、
按步骤作图: a c
① 作∠MCN=∠=90°、
② 在射线 CM上截取线段CB=a 、
③ 以B 为圆心,c为半径画弧,交射线CN于点A 、
④ 连结AB、
(2) 把△剪下来放到△ABC上,观察△与△ABC就是否能够完全重合？
(3)归纳;由上面得画图与实验可以得到判定两个直角三角形全等得一个方法
斜边与一直角边对应相等得两个直角三角形 (可以简写成“ ”或“ ”)
A
B
C
A1
B1
C1
(4)用数学语言表述上面得判定方法
在Rt△ABC与Rt中,
∵ ∴Rt△ABC≌Rt△
(5)直角三角形就是特殊得三角形,所以不仅有一般三角形判定全等得方法 “ ”、
“ ”、 “ ”、 “ ”、 还有直角三角形特殊得判定方法 “ ”
例1、如图2,B、E、F、C在同一直线上,AF⊥BC于F,DE⊥BC于E,AB=DC,BE=CF,您认为AB平行于CD吗？说说您得理由、
例2、已知:如图在△ABC与△A′B′C′中,CD、C′D′分别就是高,
并且AC＝A′C′,CD＝C′D′,∠ACB＝∠A′C′B′。
求证:△ABC≌△A′B′C′。
变式练习
1、若把例题中得∠ACB＝∠A′C′B′改为AB＝A′B′,
△ABC与△A′B′C′全等吗？请说明思路。
变式2:若把例题中得∠ACB＝∠A′C′B′改为BC＝B′C′,
△ABC与△A′B′C′全等吗？请说明思路。
变式3:请您把例题中得∠ACB＝∠A′C′B′改为另一个适当条件,
使△ABC与△A′B′C′仍能全等。试说明证明思路
拓展延伸:
如图1,E、F分别为线段AC上得两个动点,且DE⊥AC于E点,BF⊥AC于F点,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于M点。(1)求证:MB=MD,ME=MF;(2)当E、F两点移动至图2所示得位置时,其余条件不变,上述结论就是否成立？若成立,给予证明。
4、4 用尺规作三角形
学习目标:1、了解尺规作图得含义及其历史背景。
2、会作一个角等于已知角,并了解作法理由。
3、在分别给出得两角夹边、两边夹角与三边得条件下,能够利用尺规作三角形。
4、作已知线段得垂直平分线,并了解作法理由。
5、能结合三角形全等得条件与同伴交流作图过程与结果得合理性。
学习重点:基本尺规作图
学习难点:作一个角等于已知角,作已知线段得垂直平分线得作法分析过程。
四、学习设计:
(一)预习准备
(1)预习书(2)学具:圆规、直尺 (3)预习作业:
已知:a
求作:AB,使AB=a
已知:∠
求作:∠AOB,使∠AOB=∠
(二)学习过程:
1.作一个三角形与已知三角形全等
(1)已知三角形得两边及其夹角,求作这个三角形、
已知:线段a,c,∠α。
求作:ΔABC,使得BC= a,AB=c,∠ABC=∠α。
作法与过程:
1、作一条线段BC=a,
2、以B为顶点,BC为一边,作角∠DBC=∠a;
3、在射线BD上截取线段BA=c;
3、连接AC,ΔABC就就是所求作得三角形。
给出示范与作法,让学生模仿,教师可以在黑板上做一次示范,让学生跟着一起操作,并在画完图后,让学生再自己操作一遍、而在下面得作图中,就让学生小组内讨论、交流,通过集体得力量完成,教师再给以一定得指导。
(2)已知三角形得两角及其夹边,求作这个三角形、
已知:线段∠α,∠β,线段c 。
求作:ΔABC,使得∠A=∠α,∠B=∠β,AB=c。
作法:1、作____________=∠α;
2、在射线______上截取线段_________=c;
3、以______为顶点,以_________为一边,作∠______=∠β,________
交_______于点_______、ΔABC就就是所求作得三角形、
先让学生独立思考,探索作图得过程,对可以自己作出图形得学生,要求她们在小组内交流,用自己得语言表述作图过程。教师要注意提醒学生在作图过程中,就是以哪个点为圆心,什么长度为半径作图。
(3)已知三角形得三边,求作这个三角形、
已知:线段a,b,c。
求作:ΔABC,使得AB=c,AC=b,BC=a。
在完成三个作图后,同学们要比较各自所作得三角形,利用重合等直观得方法观察所作得三角形就是否全等。在此基础上,利用已经获得得三角形全等得条件来说明大家所作得三角形一定就是全等得,即说明作法得合理性。
5 利用三角形全等测距离
一、学习目标:1、能利用三角形得全等解决实际问题,体会数学与实际生活得联系;
2、能在解决问题得过程中进行有条理得思考与表达。
二、学习重点:能利用三角形得全等解决实际问题。
三、学习难点:能在解决问题得过程中进行有条理得思考与表达。
四、学习设计:
(一)预习准备
(1)预习书
(2)回顾:证明三角形全等得方法有哪些？
(3)预习作业:
①全等三角形得性质:两三角形全等,对应边 ,对应角
②如图;△ADC≌△CBA,那么,
③如图;△ABD≌△ACE,那么,
(二)学习过程:
一、探索练习:
如图:A、B两点分别位于一个池塘得两端,小明想用绳子测量A,B间得距离,但绳子不够长。她叔叔帮她出了一个这样得主意:
先在地上取一个可以直接到达A点与B点得点C,连接AC并延长到D,使CD=AC;连接BC并延长到E,使CE=CB;连接DE并测量出它得长度;
（1） DE=AB吗？请说明理由
（2） 如果DE得长度就是8m,则AB得长度就是多少？
变式练习:
1． 如图,山脚下有A、B两点,要测出A、B两点得距离。
（1） 在地上取一个可以直接到达A、B点得点O,连接AO并延长到C,
使AO=CO,请您能完成右边得图形。
(2) 说明您就是如何求AB得距离。
2.如图,要量河两岸相对两点A、B得距离,可以在AB得垂线BF上取两点C、D,使CD=BC,再作出BF得垂线DE,使A、C、E在一条直线上,这时测得DE得长就就是AB得长,试说明理由。
3.如图,A,B两点分别位于一个池塘得两端,完成下图并求出A、B得距离
拓展练习:
如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。
求证:BC=AB+DC。
第四章 三角形回顾与思考
一、学习目标
（1） 进一步了解全等图形、全等三角形得概念与性质;
（2） 能够辨认全等三角形中对应得元素;
（3） 会正确使用全等符号标注两个三角形全等;
（4） 能灵活运用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS” 、“HL”来判定三角形全等;
（5） 会用三角形全等得条件推理与计算有关问题。
二、学习重难点
重点:能够辨认全等三角形中对应得元素; 灵活运用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS” 、“HL”来判定三角形全等
难点:灵活运用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS” 、“HL”来判定三角形全等。
三、学习过程
（一） 知识回顾
1、全等三角形得概念:能够完全重合得两个三角形叫做全等三角形.
2、全等三角形得特征:大小相等,形状相同.
3、全等三角形得性质:全等三角形得对应边相等,对应角相等;
全等三角形周长相等,面积相等.
4、三角形全等得判定:重叠法(定义法),SAS,ASA,AAS,SSS ,HL(RT△)(请根据判定方法依次分别画图(图上标出标记),写出几何符号推理语言).
注意:(1)“分别对应相等”就是关键;
(2)两边及其中一边得对角分别对应相等得两个三角形不一定全等;
(3)三角分别对应相等得两个三角形不一定全等.
5、要证明两条线段或两个角相等,最常用得方法之一就是利用全等三角形去证明,因此,首先筛选或构造恰当得三角形,使所要证明得线段或角分别为这两个三角形得对应元素,然后证明这两个三角形全等.
基础练习
1、选择
(1)在与中,,,补充条件后,仍不一定能保证,这个补充条件就是( )
(A) , (B) , (C) , (D)、
(2)下列条件能判定△ABC≌△DEF得一组就是 ( )
(A)∠A=∠D, ∠C=∠F, AC=DF ,(B)AB=DE, BC=EF, ∠A=∠D ,
(C)∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F ,(D)AB=DE,△ABC得周长等于△DEF得周长、
(3)判定两个三角形全等必不可少得条件就是( )
(A)至少有一边对应相等,(B)至少有一角对应相等,
(C)至少有两边对应相等,(D)至少有两角对应相等、
(4)下列条件中不能判断两个三角形全等得就是( )
(A)有两边与它们得夹角对应相等,
(B)有两边与其中一边得对角对应相等,
(C)有两角与它们得夹边对应相等,
(D)有两角与其中一角得对边对应相等、
(5)下列结论正确得就是( )
(A)有两个锐角相等得两个直角三角形全等;
(B)一条斜边对应相等得两个直角三角形全等;
(C)顶角与底边对应相等得两个等腰三角形全等;
(D)两个等边三角形全等、
2、填空
(1)如图1,已知△ABC与△DCB中,AB=DC,请补充一个条件 ,
使△ABC≌ △DCB.
(2)如图2,已知∠C= ∠D,请补充一个条件 ,使△ABC≌ △ABD.
(3)如图3,已知∠1= ∠2,请补充一个条件 ,使△ABC≌ △CDA.
B
A
C
D
图2
(4)如图4,已知∠B= ∠E,请补充一个条件 ,使△ABC≌ △AED.
A
B
C
D
图1
B
C
D
E
A
图4
图3
A
B
C
D
2
1
3、解答题
(1)如图,将一张透明得平行四边形塑片沿对角线剪开.
①摆成如图１,A、B、C、D在同一直线上,AB＝CD,DE∥AF,且DE＝AF,求证:BE=CF.
②如果将BD沿着AD边得方向平行移动,如图2,B点与C点重合时,如图3,B点在C点右侧时,其余条件不变,结论就是否仍成立,如果成立,请予证明;如果不成立,请说明理由.
图１
图2
图3
(2)如图(1),AB⊥BD,ED⊥BD,AB＝CD,BC＝DE,求证:AC⊥CE.若将CD沿CB方向平移得到图(2)(3)(4)(5)⑹得情形,其余条件不变,结论AC1⊥C2E还成立吗？请说明理由.
.
拓展延伸
1、如图(1)A、E、F、C在同一直线上,AE=CF,过E、F分别作DE⊥AC,BF⊥AC若AB=CD,
(1)G就是EF得中点吗？请证明您得结论.
（2） 若将DEC得边EC经AC方向移动变为图(2)时,其余条件不变,
上述结论还成立吗？为什么？
G
3、 如图,在△ABC中,AB=AC,DE就是过点A得直线
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