2017年上海市春季高考数学试卷.pdf

2017 年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12 题，满分 48 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分）1设集合 A=1，2，3，集合 B=3，4，则 AB=2不等式|x 1|3 的解集为3若复数 z 满足 2 1=3+6i（i 是虚数单位），则z=4若，则=5若关于 x、y 的方程组无解，则实数 a=6若等差数列 an的前 5 项的和为 25，则 a1+a5=7若 P、Q是圆 x2+y22x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为8已知数列 an 的通项公式为，则=9若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为10设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点 P 在该椭圆上，则使得F1F2P是等腰三角形的点P的个数是11设 a1、a2、a6为 1、2、3、4、5、6 的一个排列，则满足|a1a2|+|a3a4|+|a5a6|=3 的不同排列的个数为12设 a、bR，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为二.选择题（本大题共4 题，每题 5 分，共 20 分）13函数 f（x）=（x1）2的单调递增区间是（）A0，+）B1，+）C（，0 D（，1 14设 aR，“a0”是“”的（）条件A充分非必要 B必要非充分 C充要 D既非充分也非必要15过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）A三角形B长方形 C对角线不相等的菱形 D六边形16如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为 2，若 P 为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（）ABCD 三.解答题（本大题共5 题，共 14+14+14+16+18=76分）17（12 分）如图，长方体ABCD A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥 A1ABCD 的体积；（2）求异面直线 A1C与 DD1所成角的大小18（12 分）设 aR，函数；（1）求 a 的值，使得 f（x）为奇函数；（2）若对任意 xR成立，求 a 的取值范围19（12 分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知 AB AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与 AB、AD分别相切于点 B、D，圆 M2与 AC、AD分别相切于点 C、D；（1）若 BAD=60，求圆 M1、M2的半径（结果精确到0.1 米）（2）若观景步道 M1与 M2的造价分别为每米0.8 千元与每米 0.9 千元，如何设计圆 M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1 千元）20（12 分）已知双曲线（b0），直线 l：y=kx+m（km 0），l 与交于 P、Q两点，P 为 P关于 y 轴的对称点，直线 PQ与 y 轴交于点 N（0，n）；（1）若点（2，0）是的一个焦点，求的渐近线方程；（2）若 b=1，点 P的坐标为（1，0），且，求 k 的值；（3）若 m=2，求 n 关于 b 的表达式21（12 分）已知函数 f（x）=log2；（1）解方程 f（x）=1；（2）设 x（1，1），a（1，+），证明：（1，1），且 f（）f（x）=f（）；（3）设数列 xn 中，x1（1，1），xn+1=（1）n+1，nN*，求 x1的取值范围，使得x3xn对任意 nN*成立2017 年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12 题，满分 48 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分）1设集合 A=1，2，3，集合 B=3，4，则 AB=1，2，3，4 2不等式|x 1|3 的解集为（2，4）3若复数 z 满足 2 1=3+6i（i 是虚数单位），则z=23i 4若，则=5若关于 x、y 的方程组无解，则实数 a=6 6若等差数列 an的前 5 项的和为 25，则 a1+a5=10 7若 P、Q是圆 x2+y22x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为2 8已知数列 an 的通项公式为，则=9若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为160 10设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点 P 在该椭圆上，则使得F1F2P是等腰三角形的点P的个数是6 11设 a1、a2、a6为 1、2、3、4、5、6 的一个排列，则满足|a1a2|+|a3a4|+|a5a6|=3 的不同排列的个数为48 12设 a、bR，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为（0，1）解：函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程 x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，?，如图画出数对（a，b）所表示的区域，目标函数z=f（1）a+b+1 z 的最小值为 z=a+b+1过点（1，2）时，z 的最大值为 z=a+b+1 过点（4，4）时 f（1）的取值范围为（0，1）故答案为：（0，1）二.选择题（本大题共4 题，每题 5 分，共 20 分）13函数 f（x）=（x1）2的单调递增区间是（B）A0，+）B1，+）C（，0 D（，1 14设 aR，“a0”是“”的（C）条件A充分非必要 B必要非充分 C充要 D既非充分也非必要15过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（A）A三角形B长方形 C对角线不相等的菱形 D六边形16如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为 2，若 P 为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（B）ABC D解：由题意，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的每一个内角为 135，且，再由正弦函数的单调性及值域可得，当P 与 A8重合时，最小为=结合选项可得的取值范围为三.解答题（本大题共5 题，共 14+14+14+16+18=76分）17（12 分）长方体 ABCD A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥 A1ABCD 的体积；（2）求异面直线 A1C与 DD1所成角的大小解：（1）长方体 ABCD A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，四棱锥 A1ABCD 的体积：=4（2）DD1CC1，A1CC1是异面直线 A1C与 DD1所成角（或所成角的补角），tan A1CC1=，=异面直线 A1C与 DD1所成角的大小为；18（12 分）设 aR，函数；（1）求 a 的值，使得 f（x）为奇函数；（2）若对任意 xR成立，求 a 的取值范围解：（1）由 f（x）的定义域为 R，且 f（x）为奇函数，可得f（0）=0，即有=0，解得 a=1则 f（x）=，f（x）=f（x），则 a=1 满足题意；（2）对任意 xR成立，即为恒成立，等价为，即有 2（a1）a（2x+1），当 a=0时，10 恒成立；当 a0 时，2x+1，由 2x+11，可得1，解得 0a2；当 a0 时，2x+1 不恒成立综上可得，a 的取值范围是 0，2 19（12 分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知 AB AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与 AB、AD分别相切于点 B、D，圆 M2与 AC、AD分别相切于点 C、D；（1）若 BAD=60，求圆 M1、M2的半径（结果精确到0.1 米）（2）若观景步道 M1与 M2的造价分别为每米0.8 千元与每米 0.9 千元，如何设计圆 M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1 千元）解：（1）M1半径=60tan3034.6，M2半径=60tan1516.1；（2）设BAD=2，则总造价 y=0.8?2?60tan+0.9?2?60tan（45），设 1+tan=x，则 y=12?（8x+17）84，当且仅当 x=，tan=时，取等号，M1半径 30，M2半径 20，造价 42.0 千元20（12 分）已知双曲线（b0），直线 l：y=kx+m（km 0），l 与交于 P、Q两点，P 为 P关于 y 轴的对称点，直线 PQ与 y 轴交于点 N（0，n）；（1）若点（2，0）是的一个焦点，求的渐近线方程；（2）若 b=1，点 P的坐标为（1，0），且，求 k 的值；（3）若 m=2，求 n 关于 b 的表达式解：（1）双曲线（b0），点（2，0）是的一个焦点，c=2，a=1，b2=c2a2=41=3，的标准方程为：=1，的渐近线方程为（2）b=1，双曲线为：x2y2=1，P（1，0），P（1，0），=，设 Q（x2，y2），则有定比分点坐标公式，得：，解得，=（3）设 P（x1，y1），Q（x2，y2），kPQ=k0，则，由，得（b2k2）x24kx4b2=0，由，得（）x22k0nxn2b2=0，x1+x2=，x1x2=，x1x2=，即，即=，=，化简，得 2n2+n（4+b2）+2b2=0，n=2 或 n=，当 n=2，由=，得 2b2=k2+k02，由，得，即 Q（，），代入 x2=1，化简，得：，解得 b2=4 或 b2=kk0，当 b2=4时，满足 n=，当 b2=kk0时，由 2b2=k2+k02，得 k=k0（舍去），综上，得n=21（12 分）已知函数 f（x）=log2；（1）解方程 f（x）=1；（2）设 x（1，1），a（1，+），证明：（1，1），且 f（）f（x）=f（）；（3）设数列 xn 中，x1（1，1），xn+1=（1）n+1，nN*，求 x1的取值范围，使得 x3xn对任意 nN*成立解：（1）f（x）=log2=1，=2，解得；（2）令 g（x）=，axaaxg21)(a（1，+），g（x）在（1，1）上是增函数，又 g（1）=，g（1）=1，1g（x）1，即（1，1）f（x）f（）=log2log2=log2log2=log2（）=log2，f（）=log2=log2f（）=f（x）f（），f（）f（x）=f（）（3）f（x）的定义域为（1，1），f（x）=log2=log2=f（x），f（x）是奇函数xn+1=（1）n+1，xn+1=当 n 为奇数时，f（xn+1）=f（）=f（xn）f（）=f（xn）1，f（xn+1）=f（xn）1；当 n 为偶数时，f（xn+1）=f（）=f（）=1f（xn），f（xn+1）=1f（xn）f（x2）=f（x1）1，f（x3）=1f（x2）=2f（x1），f（x4）=f（x3）1=1f（x1），f（x5）=1f（x4）=f（x1），f（x6）=f（x5）1=f（x1）1，f（xn）=f（xn+4），nN+设12111)(xxxxhh（x）在（1，1）上是增函数，f（x）=log2=log2h（x）在（1，1）上是增函数x3xn对任意 nN*成立，f（x3）f（xn）恒成立，即，解得：f（x1）1，即 log21，02，解得：1x1