【河南省南阳、信阳等六】2017学年高考一模数学年(文科)试题.pdf

1/11 河河南省南阳、信阳等六市南省南阳、信阳等六市 2017 年高考一模数学（文科）试卷年高考一模数学（文科）试卷 答答 案案 一、选择题 15CADBC 610CCBCC 1112BA 二、填空题 132 141 1512 163 3,8 4 三、解答题 17解：（1）()2sin2f xx，集合()|2,0Mxf xx，则：+22xk 解得：21()xkkZ，把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列na，所以：21nan 证明：（2）记211nnba，数列 nb的前n项和为nT，22211111 11()(21)4441nnannnnbn 所以：121111(1411)1223nnTbbbnn 111(1)414n 18解：（）游客人数在0,100)范围内的天数共有 15 天，故15a，151302b，游客人数的平均数为112150150250350120231530(百人)（）从 5 天中任选两天的选择方法有：(1,2),(1,3),(14),(1,5),(24),(2,5),(3,4),(35),(4,5)，,，共10种，其中游客等级均为“优”的有(1,4),(1,5),(4,5)，共3种，2/11 故他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率为310 19解：（1）在正方形ABCD中，ADAE，CDCF，ADAE，ADAF，又AEAFA，A E，AFAEF平面，ADAEF平面 EFAEF而平面，ADEF，异面直线A D与EF所成角的大小为90；（2）正方形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，点F是BC的中点，在RtBEF中，1BEBF，得2EF，而1AEAF，222AEAFEF，则AEAF，111 122A EFS ，由（1）得ADAEF平面，且2AD，111123323D A EFA EFVSA D 20解：（1）把(1,2)Q代入22ypx，得24p，所以抛物线方程为24yx，准线l的方程为1x （2）由条件可设直线AB的方程为(1),0yk xk-由抛物线准线1l x:，可知(1,2)Mk，又(1,2)Q，所以32211 1kkk，把直线AB的方程(1)yk x-，代入抛物线方程24yx，并整理，可得22222(2)0k xkxk-，设11(),A x y，22(),B xy，则21212224,1kxxx xk，又(1,2)Q，故12111222,11yykkxx因为A，F，B三点共线，所以AFBFkkk，3/11 即121211yykxx，所以12121212121212222(22)()242(1)11()1yykx xkxxkkkkxxx xxx，即存在常数2，使得1232kkk成立 21解：（1）当1a 时，1()exxf x，则(1)0f，可得2()exxfx，1(1)ef 所以曲线()f x在点(1,(1)f处的切线方程为e10 xy （2）2(1)(2)2(1)(2)()eexxaxa xaaxaxfx 令()0fx得1(1)1axaa或22x 当1a 时，()f x在0,2递减，在2,)递增 当x时，max()0()(0)f xf xfa 当21aa即213a时，()f x在0,2和,1aa递减，()f x在2,1aa递增1()1aaaafaae解得01a，所以213a 当21aa即23a 时，()f x在0,)递减，max()(0)f xfa 当021aa即203a时，()f x在0,1aa和2,)递减，在,21aa递增，245(2)eafa，解得24e5a，所以242e53a 当01aa即0a 时，()f x在0,2递增，()(0)f xfa不合题意 综上所述：a的取值范围为24,e5 第（2）问另解：(0)fa()f x当0 x 时的最大值为a，等价于()f xa对于0 x 恒成立，可化为22e1xxaxx对于0 x 恒成立，令22()e1xxg xxx，则22(2)(1e)()(e1)xxx xg xxx 于是()g x在0,2上递增，在(2,)上递减，4/11 max24()(2)e5gxg，a的取值范围是24e5a 22解：（1）由4cos，得出24 cos，化为直角坐标方程：224xyx 即曲线C的方程为22(2)4xy-，直线l的方程是：0 xy（2）将曲线C横坐标缩短为原来的12，再向左平移1个单位，得到曲线1C的方程为2244xy，设曲线1C上的任意点(cos,2sin)到直线l距离|cos2sin|5|sin()|22d 当()0sin时 到直线l距离的最小值为0 23解：（1）由()2f xx得：1112xxxx 或11112xxxx 或1112xxxx，即有12x或01x 或x，解得02x，所以()2f xx的解集为0,2；（2）|1|21|1111|1|2|12|3|aaaaaaa，当且仅当11(1)(2)0aa时，取等号 由不等式|1|21|()|aaf xa对任意实数0a 恒成立，可得1|1|3|xx，即123xx或1123x 或123xx，解得3322xx-或，故实数x的取值范围是33(,)22，5/11 河南省南阳、信阳等六市河南省南阳、信阳等六市 2017 年高考一年高考一模数学（文科）试卷模数学（文科）试卷 解解 析析 一、选择题 1【考点】交集及其运算【分析】先利用交集定义求出集合 C，由此能求出 C 的子集的个数【解答】解：集合，C=AB=（x，y）|=（，），C 的子集的个数是：21=2 故选：C 2【考点】复数求模【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、实部与虚部的定义即可得出【解答】解：（1i）=|1+i|，（1i）（1+i）=（1+i），=+i 则复数 z 的实部与虚部之和=+=故选：A 3【考点】平面与平面之间的位置关系【分析】对 4 个命题分别进行判断，即可得出结论【解答】解：若 m，n，mn，则、位置关系不确定，故不正确；若 m，则 中存在直线 c 与 m 平行，mn，n，则 c，c，不正确；若 m，n，mn，则、可以相交，不正确；若 m，mn，则 n，n，正确，故选：D 4【考点】模拟方法估计概率【分析】由题意知模拟射击 4 次的结果，经随机模拟产生了如下 20 组随机数，在 20 组随机数中表示种射击 4 次至少击中 3 次的有多少组，可以通过列举得到共多少组随机数，根据概率公式，得到结果【解答】解：由题意知模拟射击 4 次的结果，经随机模拟产生了如下 20 组随机数，在 20 组随机数中表示射击 4 次至少击中 3 次的有：7527 9857 0347 4373 8636 9647 4698 6233 8045 3661 9597 7424，共 12 组随机数，所求概率为 0.6 故选：B 5【考点】指数函数单调性的应用【分析】利用指数函数的性质，结合 x0，即可得到结论 6/11 【解答】解：1bx，b0bx，x0，b1 bxax，x0，ab 1ba 故选 C 6【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 m 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：第一次执行循环体，r=90，m=135，n=90，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体，r=0，m=45，n=0，满足退出循环的条件；故输出的 m 值为 45，故选：C 7【考点】简单线性规划【分析】由题意作出其平面区域，将 z=x2y 化为 y=x，相当于直线 y=x的纵截距，由几何意义可得【解答】解：由题意作出其平面区域，将 z=x2y 化为 y=x，相当于直线 y=x的纵截距，由解得，E（，）；此时 z=x2y 有最大值+2=；故选：C 7/11 8【考点】函数奇偶性的性质【分析】由题设条件可先由函数在 R 上是奇函数求出参数 m 的值，求函数函数的解板式，再由奇函数的性质得到 f（log35）=f（log35）代入解析式即可求得所求的函数值，选出正确选项【解答】解：由题意，f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时 f（x）=3x+m（m 为常数），f（0）=30+m=0，解得 m=1，故有 x0 时 f（x）=3x1 f（log35）=f（log35）=（）=4 故选 B 9【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】化简这两个函数的解析式，利用正弦函数的单调性和对称性逐项判断，可得 A、B、D 不正确，C 正确【解答】解：函数y=sinx+cosx=sin（x+），y=2sinxcosx=sin2x，由于的图象关于点（，0）成中心对称，的图象不关于点（，0）成中心对称，故 A 不正确 由于函数的图象不可能关于直线 x=成轴对称，故 B 不正确 由于这两个函数在区间（，）上都是单调递增函数，故 C 正确 由于将函数的图象向左平移个单位得到函数 y=sin2（x+），而 y=sin2（x+）sin（x+），故 D 不正确 故选 C 10【考点】双曲线的简单性质【分析】首先求出 F2到渐近线的距离，利用 F2关于渐近线的对称点恰落在以 F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形 MF1F2，运用勾股定理，即可求出双曲线的离心率【解答】解：由题意，F1（0，c），F2（0，c），一条渐近线方程为 y=x，则 F2到渐近线的距离为=b 设 F2关于渐近线的对称点为 M，F2M 与渐近线交于 A，|MF2|=2b，A 为 F2M 的中点，又 0 是 F1F2的中点，OAF1M，F1MF2为直角，MF1F2为直角三角形，由勾股定理得 4c2=c2+4b2 3c2=4（c2a2），c2=4a2，c=2a，e=2 故选 C 11【考点】球的体积和表面积 8/11 【分析】由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体 此四面体的外接球的半径为正方体的对角线长为利用球的表面积计算公式即可得出【解答】解：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体 此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为 此四面体的外接球的表面积为表面积为=3 故选：B 12【考点】命题的真假判断与应用；函数的图象【分析】过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，故正确；作函数的大致图象，从而判断的正误；将圆的圆心放在正弦函数 y=sinx 的对称中心上，则正弦函数 y=sinx 是该圆的“优美函数”；即可判断的正误；函数 y=f（x）的图象是中心对称图形，则 y=f（x）是“优美函数”，但函数 y=f（x）是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，作图举反例即可【解答】解：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，故对于任意一个圆 O，其“优美函数”有无数个，故正确；函数的大致图象如图 1，故其不可能为圆的“优美函数”；不正确；将圆的圆心放在正弦函数 y=sinx 的对称中心上，则正弦函数 y=sinx 是该圆的“优美函数”；故有无数个圆成立，故正确；函数 y=f（x）的图象是中心对称图形，则 y=f（x）是“优美函数”，但函数 y=f（x）是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图 2，9/11 故选：A 二、填空题 13【考点】平面向量数量积的运算【分析】可先求出向量的坐标，根据条件得到，从而可求出 x=1，进而求出向量的坐标，从而求得该向量的长度【解答】解：，且；=x2+2x1=0；x=1；故答案为：14【考点】两角和与差的正切函数【分析】利用三角形内角和定理，将 tanC=tan（A+B）再结合两角和与差求解即可【解答】解：在ABC 中，0，sinB=那么 tanB=则 tanC=tan（A+B）=故答案为：1 15【考点】正弦定理【分析】由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得 cosC=，C=根据ABC 的面积为 S=absinC=c，求得 c=ab再由余弦定理化简可得a2b2=a2+b2+ab3ab，由此求得 ab 的最小值【解答】解：在ABC 中，由条件里用正弦定理可得 2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin（B+C）+sinB，即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，2sinBcosC+sinB=0，cosC=，C=由于ABC 的面积为 S=absinC=ab=c，c=ab 再由余弦定理可得 c2=a2+b22abcosC，整理可得a2b2=a2+b2+ab3ab，当且仅当 a=b 时，取等号，ab12，故答案为：12 16【考点】椭圆的简单性质 10/11 【分析】由题意求 A1、A2的坐标，设出点 P 的坐标，代入求斜率，进而求 PA1斜率的取值范围【解答】解：由椭圆的标准方程可知，左右顶点分别为 A1（2，0）、A2（2，0），设点 P（a，b）（a2），则即 直线 PA2斜率，直线 PA1斜率；直线 PA2斜率的取值范围是2，1，直线 PA1斜率的取值范围是 故答案为：三、解答题 17【考点】数列的求和【分析】（1）根据题意求出数列的通项公式（2）利用（1）的结论，进一步利用放缩法和裂项相消法求出结果 18【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（）游客人数在0，100）范围内的天数共有 15 天，由此能求出 a，b 的值，并估计该景区 6 月份游客人数的平均值（）利用列举法求出从 5 天中任选两天的选择方法的种数和其中游客等级均为“优”的有多少种，由此能求出他这 2 天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率 19【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角【分析】（1）在正方形 ABCD 中，有 ADAE，CDCF，可得 ADAE，ADAF，由线面垂直的判定可得 AD平面 AEF从而得到 ADEF；（2）已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 BC 的中点，可得 AE2+AF2=EF2，则 AEAF，求出三角形 AEF 的面积，结合（1）可知三棱锥 DAEF 的高 AD=2，代入棱锥体积公式求得三棱锥 DAEF 的体积 20【考点】直线与抛物线的位置关系【分析】（1）把 Q（1，2）代入 y2=2px，得 2p=4，即可求抛物线 C 的方程及准线 l 的方程；（2）把直线 AB 的方程 y=k（x1），代入抛物线方程 y2=4x，并整理，求出 k1+k2，k3，即可得出结论 21【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）利用 a=1，化简函数求出切点坐标，求解是的导数，得到切线方程的斜率，即可求解切线方程（2）求出函数的导数，利用导数为 0，得到极值点，然后当 a1 时，当，当，当 11/11 ，当，分别求解函数的单调性推出最值，解得 a 的取值范围 第（2）问另解：f（x）当 x0 时的最大值为 a，等价于 f（x）a 对于 x0 恒成立，转化 a 的函数，构造新函数，利用增函数的导数求解最值即可 22【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）利用直角坐标与极坐标间的关系：cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得 C 的直角坐标方程，将直线 l 的参数消去得出直线 l 的普通方程（2）曲线 C1的方程为 4x2+y2=4，设曲线 C1上的任意点（cos，2sin），利用点到直线距离公式，建立关于 的三角函数式求解 23【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法【分析】（1）运用绝对值的含义，对 x 讨论，分 x1，1x1，x1，去掉绝对值，得到不等式组，解出它们，再求并集即可得到解集；（2）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为 3，再由不等式恒成立思想可得 f（x）3，再由去绝对值的方法，即可解得 x 的范围