【河南省新乡一中】2017届高三(上)第二次月考数学年(文科)试题.pdf

-1-/21 河南省新乡市河南省新乡市 20172017 年高考年高考二模二模理科数学试卷理科数学试卷（一）（一）答答 案案 一、选择题 15BDCBC 610ADCBC 1112AA 二、填空题 132 1410 15172 1652 三、解答题 17（12 分）解：（1）1*111()22()nnnnSSnN，1111111()()()222nnnnnnaSS 2n时，1()2nna，又112a，因此1n 时也成立 1()2nna，1(21)(21)()2nnnbnan 23357212222nnnT，231135212122222nnnnnT，1231111(1)1311121321422()2,12222222212nnnnnnnT 2552nnnT（2）由（1）可得：12331129,248TTT 132233()TTmTTT，成等差数列，3291129113()2 m28484，解得9722m 18（12 分）证明：（1）连结1AC，则1ACC，11BC C都是正三角形，取1CC中点 O，连结 OA，1OB，-2-/21 则1CCOA，11CCOB，111OAOBOCCOAB，平面，1111ABOABCCAB平面，（2）由（1）知13OAOB，又13 2AB，22211OAOBAB，111OAOBOABC C，平面，如图，分别以1OB，1OC，OA 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，则1111(3 3 3(0,3,0),3,0,0),(0,0,3),0,3,0),0,2,3),0,)2(2CBACAD,设平面1CAB的法向量(,)nx y z，1(3,0,3)AB，(1,31)AC,，1330330m ABxzm ACyz，1(1,3,1)xn取，得，设平面11AB D的法向量(a,b,c)n，1113 333 3 3(0,),(3,)2222ADB D，1113 330223 333032n ADbcn B Dabc，取1b，得(3,1,3)n，3105,=3557n mcosn mnm 由图知二面角11CABD的平面角为钝角，二面角11CABD的余弦值为10535 -3-/21 19解：（1）根据表中数据计算1(9085746863)765x，1130 125 11095901105y（），52522222908574686329394iix，5190 13085 12574 11068 9563 9042595iiix y，12221425955 76 1107951.5293945 76514niiiniix ynxybxnx ，1101.5 764aybx;x、y 的线性回归方程是1.54yx;当 x=80 时，1.5 804116y，即某位同学的物理成绩为 80 分，预测他的数学成绩是 116;（2）抽取的五位学生中成绩高于 100 分的有 3 人，X 表示选中的同学中高于 100 分的人数，可以取 1，2，3，12133335533(1),(2)105CCP XP X，303351(3)10CP X;故 X 的分布列为：X 1 2 3 P 310 35 110 X 的数学期望值为331()1231.810510E X 20解：（1）由题意可知(0,)Ab，1F是线段1QF的中点，设12,0),0)(3,(0)(FcF cQc，则-，-4-/21 90QAF，223bc，由题意1RtQAF外接圆圆心为斜边的 QF1中点1(,0)Fc，半径等于 2c，由 A，Q，2F，三点恰好与直线3470 xy 相切，1,(0)Fc到直线的距离等于半径 2c，即|37|25cc，解得：221,3,4cbaa，椭圆的标准方程：22143xy;（2）设1122(,),(,)E x yF xy，直线 PQ 的方程为32xmy，代入椭圆方程22143,32xyxmy 22)4(4336210mymy，12122236214(3m4)4(3m4)myyy y ，由 B，E，M，三点共线，可知：111114=,823223MMyyyyxx即，同理可得：22143(4)Nyyx，12121236648383494(2)(2)3232NMNMyy yyy yk kxx，由2121212124(2)(2)(27)(27)41(9)44xxmymym y ym yy，2122222-2164124(3m4)-2114 36744(3m4)4(3m4)k kmm，12k k是否为定值127 -5-/21 21解：（1）2()611,(1)15,(1)14,fxxffx 切线方程是：1415(1)yx，即151yx;（2）令222()()(3)(213)2(3)(213)22ln(22)2g xf xaxaxaxaxxaxa x，222(22)2()2(22)axa xg xaxaxx 00()0()(0,)axg xg x 时，在递增(1)2 22340gaaa ，关于 x 的不等式2()(3)(213)2f xaxax不能恒成立，0a时，12()(1)()a xxag xx，令()0g x，得1xa，1(0 xa，）时，1()0(,)()0g xxg xa，时，故函数1()(0,)g xa在递增，在1()a，递减，故函数()g x的最大值是1111()2ln2ln0gaaaaa，令1()2lnh aaa，则()h a在(0,)递减，11(1)1 0(2)2ln22ln e022hh，2a时，()0h a，故整数 a 的最小值是 2;（3）证明：由22121212(4)()12(4)f xf xxxxx，得121122222ln)(4)x xxxxx，从而1212122212(22ln()4xxxxx xx x，令12txx，则由()2 2ln4ttt，得2(1)()ttt，可知()t在区间(0,1)递减，在(1,)递增，故()(1)6t，21212()xxxx6，-6-/21 又120 xx，故122xx成立 四、选修题：22解：（1）直线 l 的参数方程为sin2cosxtyt消去参数可得：cossin2sin0 xy;即直线 l 的普通方程为cossin2sin0 xy;曲线 C 的极坐标方程为2cos8sin可得：22cos8 sin 那么：28.xy 曲线 C 的直角坐标方程为28.xy（2）直线 l 的参数方程带入 C 的直角坐标方程，可得：22cos8 sin160;tt 设 A，B 两点对应的参数为1t，2t 则121 2228cos16,.sinsinttt t 212121 228(tt)4sin|.|ABttt t 当2时，|AB取得最小值为 8 选修 45：不等式选讲 23解：（1）由题意，224xx，或224xx，由224xx得23xx 或-;由224xx x2x24 得21xx 或-，原不等式的解集为2|1x xx 或-;（2）原不等式等价于7|2|3|xxm的解集非空，|2|7279|,xxxx 3m9，m3 河南省新乡市河南省新乡市 20172017 年高考年高考二模二模理科数学试卷理科数学试卷（一）（一）解解 析析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1【考点】并集及其运算【分析】求出集合 A，B，然后利用并集的求法，求解即可【解答】解：A=x|x（x2）=0=0，2，-7-/21 B=xZ|4x290=1，0，1，则 AB=1，0，1，2，故选：B【点评】本题考查并集的定义以及求解，基本知识的考查 2【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、实部与虚部的定义即可得出【解答】解：复数 z=i 的实部为 2，=2，a=7 则复数 z 的虚部为=1 故选：D【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、实部与虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据|+=0 得出 cos=1，、的方向相反，由此求出 m 的值【解答】解：向量=（1，2），=（m，4），且|+=0，|+|cos=0，cos=1，、的方向相反，=2，m=2 故选：C【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与运算问题，是基础题目 4【考点】对数值大小的比较【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【解答】解：a=6041，b=log0405（0，1），c=log8040，abC 故选：B【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 5【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行，不难得到输出结果【解答】解：模拟程序的运行，可得 i=0，S=1 满足条件 i4，执行循环体，i=1，S=-8-/21 满足条件 i4，执行循环体，i=2，S=满足条件 i4，执行循环体，i=3，S=满足条件 i4，执行循环体，i=4，S=不满足条件 i4，退出循环，输出 S 的值为 故选：C【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理），建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型，解模，本题属于基础题 6【考点】频率分布直方图【分析】利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数【解答】解：样本容量为：（150+250+100）20%=100，抽取的户主对四居室满意的人数为：100 故选：A【点评】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用 7【考点】双曲线的简单性质【分析】利用右焦点为 F（c，0），点 B（0，b），线段 BF 与双曲线 C 的右支交于点 A，=2，确定A 的坐标，代入双曲线方程，结合|=4，则双曲线 C 的方程可求【解答】解：设 A（x，y），右焦点为 F（c，0），点 B（0，b），线段 BF 与双曲线 C 的右支交于点 A，=2，x=，y=，代入双曲线方程，可得=1，b=a，|=4，c2+b2=16，a=2，b=，双曲线 C 的方程为=1 故选 D【点评】本题考查向量知识的运用，考查双曲线的方程，利用向量知识确定 A 的坐标是关键 8【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据几何体的三视图知该几何体是等底同高的三棱锥与三棱柱的组合体，-9-/21 结合图中数据即可求出它的体积【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是等底同高的三棱锥与三棱柱的组合体，画出直观图如图所示;则几何体的体积为 V几何体=V三棱柱+V三棱锥=2+2=故选：C【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，是基础题目 9【考点】正弦函数的图象【分析】由 x0，求出 2x+的范围，由正弦函数的图象画出函数的大致图象，由函数的图象，以及正弦图象的对称轴求出 x1+x2的值，判断出 x3的范围，即可求出 x1+x2+x3的取值范围【解答】解：由题意 x0，则 2x+，画出函数的大致图象：由图得，当时，方程 f（x）=a 恰好有三个根，由 2x+=得 x=，由 2x+=得 x=，由图知，点（x1，0）与点（x2，0）关于直线对称，点（x2，0）与点（x3，0）关于直线对称，x1+x2=，x3，则x1+x2+x3，即 x1+x2+x3的取值范围是，故选 B -10-/21 【点评】本题考查正弦函数的图象，以及正弦函数图象对称性的应用，考查整体思想，数形结合思想 10【考点】简单线性规划【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最小值，判断目标函数的最优解，求解 a 即可【解答】解：变量 x，y 满足约束条件的可行域如图，z=mxy（m2）的最小值为，可知目标函数的最优解过点 A，由，解得 A（，3），=a3，解得 m=1;故选：C 【点评】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数的最优解是解题的关键，考查计算能力 11【考点】球的体积和表面积【分析】设正ABC 的中心为 O1，连结 O1O、O1C、O1D、OD根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据算出 OD，而经过点 D 的球 O 的截面，当截面与 OD 垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值【解答】解：设正ABC 的中心为 O1，连结 O1O、O1C、O1D、OD，O1是正ABC 的中心，A、B、C 三点都在球面上，O1O平面 ABC，结合 O1C平面 ABC，可得 O1OO1C，球的半径 R=3，O1O=2，RtO1OC 中，O1C=又D 为 BC 的中点，RtO1DC 中，O1D=O1C=-11-/21 RtOO1D 中，OD=过 D 作球 O 的截面，当截面与 OD 垂直时，截面圆的半径最小，当截面与 OD 垂直时，截面圆的面积有最小值 此时截面圆的半径 r=，可得截面面积为 S=r2=故选 A 【点评】本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题 12【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数 y=ex的导数，可得切线的斜率，运用（A，B），由分离参数法，可得 t恒成立，求得右边的范围或最值，即可得到 t 的范围【解答】解：y=ex的导数为 y=ex，（A，B）=0，可得=1，t（A，B）3 恒成立，则 t恒成立，由3，即有 t3 故选：A【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查导数的运用：求切线的斜率，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，求最值，考查运算能力，属于中档题 二、填空题 13【考点】二项式系数的性质【分析】由通项公式可得：Tr+1=（2x）r=（2）rxr，分别令 r=3，r=2，即可得出【解答】解：由通项公式可得：Tr+1=（2x）r=（2）rxr，令 r=3，则 a3=80;令 r=2，-12-/21 则 a2=40=2 故答案为：2【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 14【考点】抛物线的简单性质【分析】由抛物线的定义：|BF|=9+，|AF|=1+，根据题意可知求得 p，代入椭圆方程，分别求得 y1，y2的值，即可求得 y12+y2的值【解答】解：抛物线 y2=2px（p0）焦点在 x 轴上，焦点（，0），由抛物线的定义可知：|BF|=9+，|AF|=1+，由|BF|=5|AF|，即 9+=1+，解得：p=2，抛物线 y2=4x，将 A，B 代入，解得：y1=2，y2=6，y12+y2=10，故答案为：10【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线方程的应用，属于中档题 15【考点】数列的应用【分析】第 1 关收税金：x;第 2 关收税金：（1）x=x;第 3 关收税金：（1）x=x;，可得第 8 关收税金【解答】解：第 1 关收税金：x;第 2 关收税金：（1）x=x;第 3 关收税金：（1）x=x;，可得第 8 关收税金：x，即x 故答案为：【点评】本题考查了数列的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 16【考点】余弦定理;正弦定理【分析】利用余弦定理分别表示出 cosB 和 cosA，代入到已知的等式中，化简后即可求出 c 的值，然后利用余弦定理表示出 c2=a2+b22abcosC，把 c 及 cosC 的值代入后，利用基本不等式即可求出 ab 的最大值，然后由 cosC 的值，及 C 的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出 sinC 的值，利用三角形的面积公式表示出三角形 ABC 的面积，把 ab 的最大值及 sinC 的值代入即可求出面积的最大值 -13-/21 【解答】（本题满分为 12 分）解：acosB+bcosA=2，a+b=2，c=2，（6 分）4=a2+b22ab2ab2ab=ab，ab（当且仅当 a=b=时等号成立）（8 分）由 cosC=，得 sinC=，（10 分）SABC=absinC=，故ABC 的面积最大值为 故答案为：（12 分）【点评】此题考查了基本不等式，余弦定理及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键 三、解答题 17（12 分）【考点】数列的求和;等差数列的性质;数列递推式【分析】（1）由 Sn+1+（）n+1=Sn+（）n（nN*），可得 an+1=Sn+1Sn=可得 an=，bn=（2n+1）an=（2n+1）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出（2）由（1）可得：T1=，T2=，T3=利用 T1+T3，mT2，3（T2+T3）成等差数列，即可得出【解答】解：（1）1*111()22()nnnnSSnN，1111111()()()222nnnnnnaSS 2n时，1()2nna，又112a，因此1n 时也成立 1()2nna，1(21)(21)()2nnnbnan 23357212222nnnT，231135212122222nnnnnT，-14-/21 1231111(1)1311121321422()2,12222222212nnnnnnnT 2552nnnT（2）由（1）可得：12331129,248TTT 132233()TTmTTT，成等差数列，3291129113()2 m28484，解得9722m 【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 18（12 分）【考点】二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）连结 AC1，则ACC1，B1C1C 都是正三角形，取 CC1中点 O，连结 OA，OB1，则 CC1OA，CC1OB1，由此能证明 CC1AB1（2）分别以 OB1，OC1，OA 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 CAB1D1的余弦值【解答】证明：（1）连结 AC1，则1ACC，11BC C都是正三角形，取 CC1中点 O，连结 OA，OB1，则1CCOA，11CCOB，111OAOBOCCOAB，平面，1111ABOABCCAB平面，解：（2）由（1）知 OA=OB1=3，又13 2AB，22211OAOBAB，111OAOBOABC C，平面，如图，分别以 OB1，OC1，OA 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，则1111(3 3 3(0,3,0),3,0,0),(0,0,3),0,3,0),0,2,3),0,)2(2CBACAD,设平面 CAB1的法向量(,)nx y z，1(3,0,3)AB，(1,31)AC,，-15-/21 1330330m ABxzm ACyz，1(1,3,1)xn取，得，设平面11AB D的法向量(a,b,c)n，1113 333 3 3(0,),(3,)2222ADB D，1113 330223 333032n ADbcn B Dabc，取1b，得(3,1,3)n，3105,=3557n mcosn mnm 由图知二面角 CAB1D1的平面角为钝角，二面角 CAB1D1的余弦值为10535 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用 19【考点】离散型随机变量的期望与方差;线性回归方程;离散型随机变量及其分布列【分析】（1）根据表中数据计算、，求出回归系数、，写出回归方程，利用回归方程计算 x=80 时的值即可;（2）抽取的五位学生中成绩高于 100 分的有 3 人，X 的可以取 1，2，3，计算对应的概率值，写出 X 的分布列，计算数学期望值【解答】解：解：（1）根据表中数据计算1(9085746863)765x，1130 125 11095901105y（），52522222908574686329394iix，5190 13085 12574 11068 9563 9042595iiix y，-16-/21 12221425955 76 1107951.5293945 76514niiiniix ynxybxnx ，1101.5 764aybx;x、y 的线性回归方程是1.54yx;当 x=80 时，1.5 804116y，即某位同学的物理成绩为 80 分，预测他的数学成绩是 116;（2）抽取的五位学生中成绩高于 100 分的有 3 人，X 表示选中的同学中高于 100 分的人数，可以取 1，2，3，12133335533(1),(2)105CCP XP X，303351(3)10CP X;故 X 的分布列为：X 1 2 3 p X 的数学期望值为331()1231.810510E X 【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列和期望问题，是基础题 20【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】（1）由题意可知 b2=3c2，根据点到直线的距离公式，即可求得 c 的值，求得 a 和 b 的值，求得椭圆方程;（2）设直线 PQ 方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，求得 M 和 N 点的纵坐标，利用斜率公式求得 k1，k2，利用韦达定理即可求得 k1k2【解答】解：（1）由题意可知(0,)Ab，F1是线段 QF1的中点，设12,0),03,0)()(FcF cQc，则(，90QAF，223bc，由题意1RtQAF外接圆圆心为斜边的 QF1中点1(,0)Fc-，半径等于 2c，由 A，Q，F2，三点恰好与直线3470 xy 相切，-17-/21 1,(0)Fc到直线的距离等于半径 2c，即3725cc，解得：c=1，b2=3，a2=4，椭圆的标准方程：22143xy;（2）设1122(,),(,)E x yF xy，直线 PQ 的方程为32xmy，代入椭圆方程22143,32xyxmy 22)4(4336210mymy，12122236214(3m4)4(3m4)myyy y ，由 B，E，M，三点共线，可知：111114=,823223MMyyyyxx即，同理可得：22143(4)Nyyx，12121236648383494(2)(2)3232NMNMyy yyy yk kxx，由2121212124(2)(2)(27)(27)41(9)44xxmymym y ym yy，2122222-2164124(3m4)-2114 36744(3m4)4(3m4)k kmm，k1k2是否为定值【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，属于中档题 21【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数 f（x）的导数，计算 f（1），f（1）的值，求出切线方程即可;（2）令 g（x）=f（x）（a3）x2（2a13）x+2，求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，根据函数的单调性求出 a 的最小值即可;-18-/21 (3)得到+（x1+x2）=2x1x22ln（x1x2）+4，令 t=x1x2，令（t）=2t2lnt+4，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（1）2()611,(1)15,(1)14,fxxffx 切线方程是：y+14=15（x1），即 y=15x+1;（2）令222()()(3)(213)2(3)(213)22ln(22)2g xf xaxaxaxaxxaxa x，222(22)2()2(22)axa xg xaxaxx 00()0()(0,)axg xg x 时，在递增(1)2 22340gaaa ，关于 x 的不等式2()(3)(213)2f xaxax不能恒成立，a0 时，12()(1)()a xxag xx，令()0g x，得1xa，1(0 xa，）时，1()0(,)()0g xxg xa，时，故函数1()(0,)g xa在递增，在1()a，递减，故函数()g x的最大值是1111()2ln2ln0gaaaaa，令1()2lnh aaa，则()h a在(0,)递减，11(1)1 0(2)2ln22ln e022hh，2a时，()0h a，故整数 a 的最小值是 2;(3)证明：由22121212(4)()12(4)f xf xxxxx，得121122222ln)(4)x xxxxx，从而1212122212(22ln()4xxxxx xx x，令12txx，则由()2 2ln4ttt，得2(1)()ttt，可知()t在区间(0,1)递减，在(1,)递增，故()(1)6t，-19-/21 21212()xxxx6，又120 xx，故122xx成立【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查不等式的证明，是一道综合题 四、选修题：22【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程【分析】（1）直接消去直线 l 的参数可得普通方程;根据 cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得曲线 C的直角坐标方程（2）将直线 l 的参数方程带入 C 的直角坐标方程;设出 A，B 两点的参数，利用韦达定理建立关系求解最值即可【解答】解：（1）直线 l 的参数方程为sin2cosxtyt消去参数可得：cossin2sin0 xy;即直线 l 的普通方程为cossin2sin0 xy;曲线 C 的极坐标方程为2cos8sin可得：22cos8 sin 那么：28.xy 曲线 C 的直角坐标方程为28.xy（2）直线 l 的参数方程带入 C 的直角坐标方程，可得：22cos8 sin160;tt 设 A，B 两点对应的参数为 t1，t2，则121 2228cos16,.sinsinttt t 212121 228(tt)4sin|.|ABttt t 当2时，|AB|取得最小值为 8【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题利用直角坐标与极坐标间的关系 选修选修 45：不等式选讲不等式选讲 23【考点】绝对值三角不等式【分析】（1）由题意，x24x2，或 x2x24，分别解不等式，即可求不等式 f（x）+x240 的解集;（2）原不等式等价于|x2|+|x+7|3m 的解集非空，求出左边的最小值，即可求实数 m 的取值范围【解答】解：（1）由题意，224xx，或224xx，-20-/21 由224xx得23xx 或-;由224xx x2x24 得21xx 或-，原不等式的解集为2|1x xx 或-;（2）原不等式等价于|273xxm的解集非空，|27279,xxxx 3m9，m3【点评】本题考查不等式的解法，考查绝对值不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 -21-/21