人教版高中数学必修2、选修2-1知识点.pdf

必 修 2 知识点第一章空间几何体1.1 柱、锥、台、球的结构特征1.2 空间几何体的三视图和直观图1 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等2 直观图：斜二测画法.步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于 y 轴的线长度变半，平行于x，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。1.3 空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积1 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和2 圆柱的表面积3 圆锥的表面积2rrlS4 圆台的表面积22RRlrrlS5 球的表面积24 RS（二）空间几何体的体积1 柱体的体积hSV底2 锥体的体积hSV底313 台体的体积hSSSSV)31下下上上（4 球体的体积334RV第二章直线与平面的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系（1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.符号表示为 A L BL =L AB公理 1 作用：判断直线是否在平面内.（2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C三点不共线 =有且只有一个平面，使 A、B、C。公理 2 作用：确定一个平面的依据。（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P=L，且 PL 公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据.2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交 直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行 直线：同一平面内，没有公共点；异面 直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4 注意点：a 与 b 所成的角的大小只由a、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上；两条异面直线所成的角(0，；当两条异面直线所成的角是直角时，就说这两条异面直线互相垂直，记作ab；两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。LA C B A P L共面直线2222rrlS2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内有无数个公共点（2）直线与平面相交有且只有一个公共点（3）直线在平面平行没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a 来表示a a=A a2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a b =a ab 2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：a b ab=P ab2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：a a ab =b 2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：=a ab =b 2.3.1 直线与平面垂直的判定1、定义：直线 L 与平面 内的任意一条直线垂直，就说直线L 与平面 垂直，记作L.2、线面垂直判定定理：一条直线与平面内的两条相交 直线都垂直，则该直线与此平面垂直。2.3.2 平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A 梭 l B 2、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2、两个平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。说明：1.证线面平行、面面平行关键是证明线线平行，证明线线平行常用方法有：三角形中位线定理、平行四边形的性质定理、梯形中位线定理、平行线分线段成比例定理的推论。.直线与直线平行判定性质直线与平面平行判定性质平面与平面平2.证明线面垂直、面面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法有：等腰三角形三线合一的性质、勾股定理的逆定理等.直线与直线垂直判定性质直线与平面垂直判定性质平面与平面垂直第三章直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴 正向 与直线 向上方向 之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0 度。因此，倾斜角的取值范围是0 180（2）直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。即tank。当直线 l 与 x 轴平行或重合时,=0,k=tan0=0;当直线 l 与 x 轴垂直时,=90 ,k 不存在.注意：一条直线l 的倾斜角 一定存在,但是斜率k 不一定存在.当90,0时，0k；当180,90时，0k；当90时，k不存在。过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2的直线斜率公式：)(211212xxxxyyk注意：当21xx时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90；（3）直线方程点斜式：)(11xxkyy直线斜率k，且过点11,yx斜截式：bkxy，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b两点式：112121yyxxyyxx（1212,xxyy）直线两点11,yx，22,yx截矩式：1xyab，其中直线l与x轴交于点(,0)a,与y轴交于点(0,)b,即l与x轴、y轴的截距 分别为,a b。（其中0,0 ba）一般式：0CByAx（A，B 不全为 0）注意：1 各式的适用范围 2 特殊的方程如：倾斜角 0，k=0，此时为平行于x 轴的直线：by（b 为常数）；倾斜角90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示 此时为平行于y 轴的直线：ax（a 为常数）；（4）两直线平行与垂直：当111:bxkyl，222:bxkyl时，212121,/bbkkll；12121kkll斜率互为负倒数注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（5）两条直线的交点0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl相交交点坐标即方程组00222111CyBxACyBxA的一组解。方程组无解21/ll；方程组有无数解1l与2l重合（6）两点间距离公式：设1122(,),A x yB xy，（），则222121|()()ABxxyy（7）点到直线距离公式：点00,yxP到直线0:1CByAxl的距离2200BACByAxd（8）两平行直线距离公式两平行线为1l：01CByAx，2l：02CByAx，则1l与2l的距离2221BACCd注意点：x，y 对应项系数应相等。（9）平行直线与垂直直线设法：1、圆定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆半径。2、圆的方程（1）标准方程222rbyax，圆心ba,，半径为r；特殊地，当0ba时，圆心在原点的圆的方程为：222ryx。点00(,)M xy与圆222()()xaybr的位置关系如何判断？（2）一般方程022FEyDxyx当0422FED时，方程表示圆，此时圆心为2,2ED，半径为FEDr42122当0422FED时，表示一个点；当0422FED时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。需三个独立条件，若用圆的标准方程，需求出a，b，r；若用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系(用圆心到直线的距离来判断)：直线0:CByAxl，圆222:rbyaxC，圆心baC,到 l 的距离22BACBbAad，0dr相离；0dr相切；0dr相交。还可利用直线方程与圆的方程联立方程组2200AxByCxyDxEyF求解，通过解的个数来判断。注:(1)过圆外一点的切线：k 不存在，验证是否成立k 存在，设点斜式方程，用圆心到直线距离=半径，求 k，得方程(2)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r24、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆221211:rbyaxC，222222:RbyaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当rRd时两圆外离，此时有公切线四条；当rRd时两圆外切，连心线过切点，公切线三条；当rRdrR时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条公切线；当rRd时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当rRd时，两圆内含，无公切线；当0d时，为同心圆。判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决。注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线；圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点。5、中点坐标公式6、两圆相交则连心线垂直平分相交弦7、线圆相交，计算弦长，常用勾股定理：弦长一半、半径、弦心距。8、光线反射问题：入射点的“像”在反射光线的反向延长线上，反射点的“像”在入反射光线的反向延长线上4.3.1 空间直角坐标系OyxMMRPQ1、点 M 对应有序实数组),(zyx，x、y、z分别是 P、Q、R 在x、y、z轴上的坐标2、有序实数组),(zyx，对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组),(zyx来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M),(zyx，x叫做点 M 的横坐标，y叫做点 M 的纵坐标，z叫做点 M 的竖坐标。4.3.2 空间两点间的距离公式1、空间中任意一点),(1111zyxP到点),(2222zyxP之间的距离公式选修 21 第一章：命题与逻辑结构1、2真假性之间的关系：1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系3、若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件若pq，则p是q的充要条件（充分必要条件）4、（1）当p、q都是真命题时，pq是真命题；有一个是假命题时，pq是假命题（2）当p、q有一个是真命题时，pq是真命题；两个都是假命题时，pq是假命题（3）对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题5、（1）全称命题“对中任意一个x，有p x成立”，记作“x，p x”全称命题p：x，p x，它的否定p：x，p x。是特称命题。（2）特称命题“存在中的一个x，使p x成立”，记作“x，p x”特称命题p：x，p x，它的否定p：x，p x。是全称命题。第二章：圆锥曲线1、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化建立 适当的 直角坐标系；设动点,Mx y及其他的点；找出满足限制条件的等式；将点的坐标代入等式；化简方程，并验证（查漏除杂）。2、平面内与两个定点1F，2F的距离之 和等于常数（大于12F F）的点的轨迹称为椭圆。12222MFMFaac3、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程222210 xyabab222210yxabab范围axa且bybbxb且aya顶点1,0a、2,0a10,b、20,b10,a、20,a1,0b、2,0b轴长短轴的长2b长轴的长2a焦点1,0Fc、2,0Fc10,Fc、20,Fc焦距222122F Fc cab，a 最大对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称离心率22101cbeeaa4、平面内与两个定点1F，2F的距离之 差的绝对值 等于常数（小于12F F）的点的轨迹称为双曲线。12222MFMFaac5、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程222210,0 xyabab222210,0yxabab范围xa或xa，yRya或ya，xR顶点1,0a、2,0a10,a、20,a轴长虚轴的长2b实轴的长2a焦点1,0Fc、2,0Fc10,Fc、20,Fc焦距222122F Fc cab，c 最大对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称离心率2211cbeeaa渐近线方程byxaayxb6、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。离心率？渐近线？7、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线8、过焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为“通径”，即2p9、抛物线的几何性质：标准方程22ypx0p22ypx0p22xpy0p22xpy0p图形顶点0,0对称轴x轴y轴焦点,02pF,02pF0,2pF0,2pF准线方程2px2px2py2py离心率1e范围0 x0 x0y0y焦半径02pFx02pFx02pFy02pFy第三章：空间向量1、空间向量的概念：2、空间向量的加法和减法：1向量的加法，它遵循三角形法和平行四边形法则2向量的减法，它遵循三角形法则3、向量的数乘运算当0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，a为零向量，记为0a的长度是a的长度的倍4、，为实数，a，b是向量，则分配律：abab；结合律：aa5、有向线段所在直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量。零向量与任何向量都共线6、向量共线充要条件：对向量a，0b b，/ab的充要条件是存在实数，使ab7、平行于同一个平面的向量称为共面向量8、向量共面定理：点在平面C内的充要条件是存在实数x，y，使xy C；或对空间任一定点，有xyC；或若四点，C共面，则1xyz Cxyz9、向量a，b的夹角（起点相同），记作,a b两个向量夹角的取值范围是：,0,a b10、a，b的数量积，cos,a ba ba b零向量与任何向量的数量积为011、a b等于a的长度a与b在a的方向上的投影cos,ba b的乘积12、若a，b为非零向量，e为单位向量，则有1cos,e aa eaa e；20aba b；3a baba ba bab与 同向与 反向，2a aa，aa a；4cos,a ba ba b；5a ba b13 运算律1 a bb a；2aba bab；3abca cb c14、空间向量基本定理：若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在实数组,x y z，使得pxaybzc,a b c称为空间的一个基底，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底15、设111,ax y z，222,bxyz，则1121212,abxxyyzz2121212,abxxyyzz3111,axyz4121212a bx xy yz z5若a、b为非零向量，则12121200aba bx xy yz z6若0b，则121212/,ababxxyyzz7222111aa axyz8121212222222111222cos,x xy yz za ba ba bxyzxyz9111,xy z，222,xy z，则222212121dxxyyzz16、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则/abababR，0ababa b17、若直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，且a，则/aa0ana n，/aaanan18、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为a，b，则/abab，0aba b19、用向量法求线线角、线面角、面面角公式；点面距离公式。（略）