高中数学选修2-1知识点、考点、附典型例题(2).pdf

高二数学选修高二数学选修 21第一章：命题与逻辑结构第一章：命题与逻辑结构知识点：知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若，则”形式的命题中的称为命题的条件，称为命题的结论.pqpq3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若，则”，它的逆命题为“若，则”.pqqp4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若，则”，则它的否命题为“若，则”.pqpq5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若，则”，则它的否命题为“若，则”.pqqp6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假四种命题的真假性之间的关系：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；1两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 27、若，则是的充分条件，是的必要条件pqpqqp若，则是的充要条件（充分必要条件）pqpq8、用联结词“且”把命题和命题联结起来，得到一个新命题，记作pqpq当、都是真命题时，是真命题；当、两个命题中有一个命题是假命题时，pqpqpq是假命题pq用联结词“或”把命题和命题联结起来，得到一个新命题，记作pqpq当、两个命题中有一个命题是真命题时，是真命题；当、两个命题都是假pqpqpq命题时，是假命题pq对一个命题全盘否定，得到一个新命题，记作pp若是真命题，则必是假命题；若是假命题，则必是真命题pppp9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示含有全称量词的命题称为全称命题全称命题“对中任意一个，有成立”，记作“，”x p xx p x短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示含有存在量词的命题称为特称命题特称命题“存在中的一个，使成立”，记作“，”x p xx p x10、全称命题：，它的否定：，全称命题的否定px p xpx p x是特称命题考点：考点：1、充要条件的判定 2、命题之间的关系典型例题：典型例题：1下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是abAB1ab1abCD22ab33ab2已知命题 P：nN，2n1000，则P 为AnN，2n1000 BnN，2n1000CnN，2n1000 DnN，2n10001|1xx是的A充分不必要条件必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分又不必要条件第二章：圆锥曲线第二章：圆锥曲线知识点：知识点：1、平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭1F2F12F F圆这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在轴上x焦点在轴上y图形标准方程222210 xyabab222210yxabab范围且axa byb 且bxb aya 顶点、1,0aA2,0aA、10,b20,b、10,aA20,aA、1,0b2,0b轴长短轴的长 长轴的长2b2a焦点、1,0Fc2,0Fc、10,Fc20,Fc焦距222122FFc cab对称性关于轴、轴、原点对称xy离心率22101cbeeaa4、平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹1F2F12F F称为双曲线这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距5、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在轴上x焦点在轴上y图形标准方程222210,0 xyabab222210,0yxabab范围或，xa xayR或，ya yaxR顶点、1,0aA2,0aA、10,aA20,aA轴长虚轴的长 实轴的长2b2a焦点、1,0Fc2,0Fc、10,Fc20,Fc焦距222122FFc cab对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称xy离心率2211cbeeaa渐近线方程byxa ayxb 8、平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线定点称为FlF抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线l9、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的AA“通径”，即2pA 10、抛物线的几何性质：标准方程22ypx0p 22ypx 0p 22xpy0p 22xpy 0p 图形顶点0,0对称轴轴x轴y焦点,02pF,02pF0,2pF0,2pF准线方程2px 2px 2py 2py 离心率1e 范围0 x 0 x 0y 0y 考点：考点：1、圆锥曲线方程的求解 2、直线与圆锥曲线综合性问题 3、圆锥曲线的离心率问题典型例题：典型例题：1设双曲线的左准线与两条渐近线交于,A B 两点，左焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为A(0,2)B(1,2)C 2(,1)2 D，(2)2设椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2。点满足22221(0)xyabab(,)P a b （）求椭圆的离心率；212|.PFF Fe （）设直线 PF2与椭圆相交于 A，B 两点，若直线 PF2与圆相交于 M，N 两点，且，求椭圆的方程。22(1)(3)16xy5|8MNAB第三章：空间向量第三章：空间向量知识点：知识点：1、空间向量的概念：在空间，具有大小和方向的量称为空间向量 1向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表 2示向量的方向向量的大小称为向量的模（或长度），记作 3A A 模（或长度）为的向量称为零向量；模为 的向量称为单位向量 401与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作 5aaa方向相同且模相等的向量称为相等向量 62、空间向量的加法和减法：求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平 1行四边形法则即：在空间以同一点为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形，则abCA 以起点的对角线就是与的和，这种求向Cab量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角 2形法则即：在空间任取一点，作，aA，则b abA 3、实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算当时，aa0与方向相同；当时，与方向相反；当时，为零向量，记为aa0aa0a0的长度是的长度的倍aa4、设，为实数，是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律ab分配律：；结合律：abab aa 5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在a0b b /ab实数，使ab7、平行于同一个平面的向量称为共面向量8、向量共面定理：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使CAxy；或对空间任一定点，有；或若四点，xy CA A A xy C A A A ，共面，则AC1xyz C xyz A 9、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，则称abaA b A为向量，的夹角，记作两个向量夹角的取值范围是：ab,a b,0,a b10、对于两个非零向量和，若，则向量，互相垂直，记作ab,2a b abab11、已知两个非零向量和，则称为，的数量积，记作即abcos,a ba baba b零向量与任何向量的数量积为cos,a ba ba b012、等于的长度与在的方向上的投影的乘积a baabacos,ba b13 若，为非零向量，为单位向量，则有；abe 1cos,e aa eaa e ；，；20aba b 3a b aba ba b ab与同向与反向2a aa aa a；4 cos,a ba ba b 5a ba b14 量数乘积的运算律：；1a bb a 2 aba bab 3abca cb c 15、空间向量基本定理：若三个向量，不共面，则对空间任一向量，存在实数abcp组，使得,x y zpxaybzc16、三个向量，不共面，则所有空间向量组成的集合是abc这个集合可看作是由向量，生成的，,p pxaybzc x y zR abc称为空间的一个基底，称为基向量空间任意三个不共面的向量都可,a b cabc以构成空间的一个基底17、设，为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），1e2e 3e以，的公共起点为原点，分别以，的方向为轴，轴，轴的正1e2e 3e1e2e 3exyz方向建立空间直角坐标系则对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它xyzp的起点与原点重合，得到向量存在有序实数组，使得p ,x y z把，称作向量在单位正交基底，下的坐标，记123pxeyeze xyzp1e2e 3e作此时，向量的坐标是点在空间直角坐标系中的坐标,px y zpxyz,x y z18、设，则111,ax y z222,bxyz 1121212,abxxyyzz 2121212,abxxyyzz 3111,axyz 412121 2a bx xy yz z若、为非零向量，则 5ab12121 200aba bx xy yz z若，则 60b 121212/,ababxxyyzz 7222111aa axyz 812121 2222222111222cos,x xy yz za ba ba bxyzxyz，9111,x y zA222,xyz 则222212121dxxyyzzA A 19、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表 示向量称为点的位置向量 20、空间中任意一条直线 的位置可以由 上一个定点以及一个定方向确定点是直llAA线 上一点，向量表示直线 的方向向量，则对于直线 上的任意一点，有，lalltaA 这样点和向量不仅可以确定直线 的位置，还可以具体表示出直线 上的任意一点Aall21、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为，为平面上任意一点，存在有序实数对，使ab,x y得，这样点与向量，就确定了平面的位置xayb ab22、直线 垂直，取直线 的方向向量，则向量称为平面的法向量llaa23、若空间不重合两条直线，的方向向量分别为，则abab/abab，abR0ababa b24、若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则aana/aa，0ana n/aaanan25、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为，则ab/ab，ab0aba b26、设异面直线，的夹角为，方向向量为，其夹角为，则有ababcoscosa ba b27、设直线 的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角llnlln为，则有sincosl nl n28、设，是二面角的两个面，的法向量，则向量，的夹角（或1n2n l 1n2n 其补角）就是二面角的平面角的大小若二面角的平面角为，则l 1212cosn nn n 29、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算AA A 30、在直线 上找一点，过定点且垂直于直线 的向量为，则定点到直线 的距离lAlnAl为cos,ndnnA AA 31、点是平面外一点，是平面内的一定点，为平面的一个法向量，则点到An平面的距离为cos,ndnnA AA 考点：考点：1、利用空间向量证明线线平行、线线垂直 2、利用空间向量证明线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直 3、利用空间向量证明线线角、线面角、面面角问题典型例题：典型例题：1已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 C1D1的中点，则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为 。2在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形，ACB=90，平面，EF，.=.（）若是线段的中点，求证：平面;（）若=,求二面角-的大小3.如图，在五棱锥 PABCDE 中，平面PAABCDE，AB/CD，AC/ED，AE/BC，42,22,45AEBCABABC三角形 PAB 是等腰三角形。（）求证：平面 PCD 平面 PAC；（）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小；（）求四棱锥 PACDE 的体积。