五种插值法的对比研究.doc

学 号:201 大 学 毕 业 论 文五种插值法得对比研究partiveStudy fFi Intpltion ethos学 院：理学院教 学 系:数学系专业班级：信息与计算科学专业10学生姓名：指导教师: 讲师2017年6月7日目 录内容摘要。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。IAsrac。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.I1 导言.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.1、1选题背景.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。11、 研究得目得与意义。.。.。.。.。.。.。.。 五种插值法。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.32、1 拉格朗日插值。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.32、 牛顿插值.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.42、 分段线性插值.。.。.。.。.。.。.。.。.。.42、4 分段三次Hrmite插值.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。5、5样条插值。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。53 五种插值法得对比研究。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.6、1 五种插值法得解题分析比较.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.3、2 五种插值法得实际应用.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.54 结语.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。20参考文献。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。2致谢.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.22内容摘要： 插值法就是数值分析中最基本得方法之一。 在实际问题中遇到得函数就是许许多多得,有得甚至给不出表达式,只供给了一些离散数据，例如,在查对数表时,需要查得数值在表中却找不到，所以只能先找到它相邻得数，再从旁边找出它得更正值,按一定得关系把相邻得数加以更正,从而找出要找得数,这种更正关系事实上就就是一种插值。在实际应用中,采用不同得插值函数，逼近得效果也不同。我们接触过五种基本得插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三emte插值与样条插值函数。此篇论文就就是围绕这些插值法展开讨论,先就是简单介绍五种插值法,了解其基本概念及解题思路,然后通过分析对比不同插值法在解答典型例题得过程中存在得优缺点进行总结对比,得出结论。最后使用MAAB软件得编程实现,绘制出不同插值法下得函数曲线,从几何上再次进行对比，得出结论。通过此次论文得写作,我对于插值法有了更深得理解与认知,对于今后插值法得选择也会更加容易权衡把握关键词: 插值法；对比；插值函数；多项式Absract: Inpoltionis one f te m baic metos in numerilnalyi、her a mny unctioninpractcobles，soe iveno pression，some nly sppy discrte daa、 Sowe nly fdiagainfromthe adacen nuber next t fnd tsorrec value andaccdin t a ceraineltnship t h adjant numbercorete、he oectrelatioshipis aninterolation inat、Inprctcal aplcation,th fec of aproximton also iffrt hen ferent nterpoation funcions aeused、We ve contactee bai interplation ethos,schas Lagraneintepoati,Nwt inerpoltn, ewse lner intepolatio, piecewiehre emite inerpolation an splieinteroltio fncion、Firsty，th pape introduce thebasic cocet and deas solv prblem ofie ind of intrpoltion thos、Adthen thrughhe paatve analyss of he dvantgs and disadvantges of diffeent intepoatomethosin heprcessof slv tpial problms、Finall，usg MATL sre programming,draw diferentinterplati method ouct urve,from geometygin contst,dawconcusion、hrogh the wrtng of this pper，I ae adeeererstnd a recogitin ofthe inerpolatio method,ad illeeasi to balancand selct which inerpotio ehds o se inthe tue、Ky Wor: Interlaton mthod parin interplatiofuncion lynmia 1 导言1、1 选题背景插值方法最早来源于生产实践,作为一种数学方法，其经历了漫长得历史考验与证实.早在数千多年前，我们得祖先就凭借插值方法，利用已知得少部分日月五星运行规律得观测值获得了相对较完整得运行规律。在一千多年前得隋唐时期，中国得贤能之士就将插值技术应用到了制定历法得过程中。而到公元六世纪时,隋朝得刘焯又把等距节点得二次插值应用于天文计算中。在16-1世纪,多项式插值被用来解决航海学与天文学得一些重要问题。十七世纪时,牛顿(Newton）与格雷格里(Greor)建立了等距结点上得一般插值公式,后来拉格朗日(Lagrae)建立出了非等距结点插值公式。在微积分产生并且广泛应用之后，插值得基本理论与结果随之有了进一步得完善,之后其应用也越来越广泛，尤其就是在计算机普遍使用之后,插值法在各领域中得地位也越来越重要，与此同时自身也得到了发展。经典得插值方法就是基于泰勒插值（Talor）与拉格朗日插值得,其实Tayr插值与拉格朗日插值得联系十分密切，即拉格朗日插值得极限形式可以视为Tay插值，反之,aylor插值得离散化形式就就是拉格朗日插值。我们在建立拉格朗日插值多项式时很就是简单方便，但一旦节点增加,就不能再使用原来得多项式计算,需要重新建立新得多项式,这无疑使计算变得繁琐起来,而Nwton（牛顿）插值就克服了这一问题。此外根据实际问题,插值法得应用在很多情况下都需要尽量满足插值函数与原函数相差无异得前提,即要求在节点上插值函数与被插值函数得函数值与导数值都就是相等得，也就就是另一种插值法,Herit(埃尔米特)插值法。事实上，我们把Taylor插值与拉格朗日插值进行联系融合就能总结出Hrit（埃尔米特）插值,这也推广了前两种插值法.现在，插值技术得应用在很多领域得到了普及,当我们需要认识某一事物得本质时,常根据其观测点,利用插值技术对特定问题进行深入拓展与解决，以加深对该事物得认识。多项式插值就是函数插值中最常用得一种形式。在一般得插值问题中，插值条件可以唯一地确定一个次数不超过得插值多项式。从几何上可以解释为:可以从多项式曲线中找出一些不超过次得点通过平面上个不同得点。插值多项式有两种常用得表达式形式,一种就是拉格朗日插值多项式,另一种就是牛顿插值多项式,此外拉格朗日插值公式与牛顿插值公式永远相等。此外，在进行高阶次插值时常常出现不稳定得情况,而采用样条插值与分段线性插值法就可以防止这类情况得发生。分段线性插值或分段三次埃尔米特插值等此种分段低次插值法可以使逼近效果加强,但却整体光滑而不收敛。为此，引入了更理想化得三次样条插值法。1、2 研究得目得与意义在数值分析中，对于插值函数得学习就是必不可少得,因为它能辅助我们把模糊得数据准确化,把想当然得数据变得无懈可击但就是对于五种插值函数,她们具有不同得优势与适用范围，五种方法对同一问题得处理得结果一定不同，这时对于方法得选择显得至关重要。因此我们对于她们差异化得了解与认知就是必不可少得。通过此篇论文得对比研究,我希望不但可以给数值分析领域中得学习者一些帮助与启示甚至让她们在求知得路上少些磕绊,也能推动一些运用到插值函数知识得社会工作领域得工作者得职业进步。 五种插值法2、1 拉格朗日插值拉格朗日就是次多项式插值，解题方法就是先构造插值基函数再求次插值多项式。对Lagrange 次插值多项式,首先要选取个插值点上得次插值基函数, 有了这个次插值基函数,就能很容易得写出次agrange插值多项式了,其具体得表达式为1。拉格朗日插值原理:表 插值数值表、Lgrane插值得方法就是:对于给定得个插值节点与对应得函数值，我们利用次grnge插值多项式,可以对插值区间上任意得对应得函数值利用下式来求解。表中得次Larage 插值多项式得数学表达式为：.其中,就是插值基函数,即.Lgnge插值多项式得余项就是,且其中。2、2 牛顿插值牛顿插值也就是次多项式插值，提出了构造插值多项式得另一种方法。它具有继承性与易变化节点得特点。牛顿插值原理:Netn插值得方法：由表构造得牛顿插值多项式为: 用上式插值时，首先要计算各阶差商,而各阶差商得计算可以归纳为一阶差商得逐次计算，一般得余项为:2,其中2、 分段线性插值 分段线性插值得意义在于克服拉格朗日插值法得非收敛性。其实分段线性插值就就是利用每两个相邻得插值基点做线性插值,就可以得到分段线性插值函数：,其中，4。 设分段线性插值函数为，则具有以下性质：可以分段表示并且在每个小区间上都就是线性函数;,;在整个区间上连续3。 特点:插值函数得序列具有一致得收敛性,弥补了高阶拉格朗日插值方法得不足,可就是存在插值精度低、基点处不光滑得缺陷,其中增加插值点可以提高插值精度.几何上，分段线性插值就是通过顺次连接各插值点形成线段,从而逼近原始曲线，这也就是计算机绘图得基本原理。2、4 分段三次Hermte插值对于函数，有时我们不仅知道它在一些点处得函数值,而且还能知道它在这些点得导数值。当在这些点上得插值函数得函数值与导数值同时满足与得函数值与导数值相等得要求时,此时得问题就就是ermt插值问题或带有导数得插值问题。假定已知函数在插值区间上得个互不相同得节点处满足及,如果函数得存在满足下列条件:在每个小区间上得多项式次数为3;；,就称就是在个节点上得分段三次埃尔米特插值多项式。所以, 2、5 样条插值函数2、5、1 样条插值得相关概念分段低次插值函数,虽然有收敛性,但平整度差因此,早期得制图工程师在制图时首先会在样点处固定弹性木条，其她各处任意成形,这样就能画出一条曲线,定义样条曲线事实上,该曲线就是由分段三次曲线并接而成,在连接点也就就是样点上必须要二阶连续可导，从数学角度加以归纳得到数学样条这个概念.利用样条插值方法得到得插值曲线光滑性好,但却不收敛。由此我们可以引用三次样条函数以达到插值函数得收敛性且光滑度也更好了2、2 三次样条插值函数对于给定区间上这个节点与在这些点上得函数值,若函数满足：在每个子区间上，多项式得次数不超过3;,在上连续;满足得插值条件.则就是函数关于个节点处得三次样条插值函数.3 五种插值法得对比研究、1 五种插值法得解题分析比较例1已知表011/21请写出在以上3个节点处得牛顿插值(一次与二次)以及拉格朗日插值.解： （） 拉格朗日型插值多项式构造过（0，1)得一次插值基函数 则一次插值多项式为: 构造过得二次插值基函数 因此二次插值多项式为:(2）牛顿型插值多项式构造牛顿一次插值函数: 因为 所以构造牛顿二次插值函数: 因为 于就是综上,由拉格朗日公式,牛顿公式 及例题可以瞧出：(1）拉格朗日插值法优势：公式得结构整齐紧密,对于理论研究分析非常方便;缺点:当增加或减少一个插值点得计算，将需要重新计算相应得插值基函数,然后插值多项式得公式代入结果也会改变,大大增加了计算量,解题十分繁琐。此外,当插值点很多时,拉格朗日多项式得插值次数也会很高,使计算结果得值变得动荡。换言之,即使在已知得几个点处得到正确得结果,但在附近得点处“事实上”得值与得到得结果之间得会有较大得差距。（2） 牛顿插值法优势：牛顿插值法得公式就是另一种次插值多项式得构造形式,然而它却克服了拉格朗日插值多项式得缺陷,它得一个显著优势就就是每当增加一个插值节点，只要在原牛顿插值公式中增加一项就可形成高一次得插值公式.此外,如果在实际应用中遇到等距分布得插值节点,牛顿插值公式就能得到进一步得简化,从而得到等距节点得插值公式,这样为缩短实际运算时间做出了很大得贡献。缺点：这种插值仅仅要求插值多项式在插值节点处与被插函数有相等得函数值，而这种插值多项式却不能全面反映被插值函数得性态。然而在许多实际问题中，不仅要求插值函数与被插值函数在所有节点处有相同得函数值，它也需要在一个或全部节点上插值多项式与被插函数有相同得低阶甚至高阶得导数值。对于这些情况,拉格朗日插值与牛顿插值都不能满足。例 过，1两点并且满足,构造一个三次埃尔米特插值多项式6。解:利用公式有 所以 由这个例题2可以瞧出:对于埃尔米特插值,我们不仅已知函数在某些点处得函数值,而且插值函数在这些点处得导数与被插函数相同。因此,(1)优点:关于插值函数与被插函数得贴合程度,埃尔米特插值比多项式得好. （)缺点：埃尔米特插值只有在被插值函数在插值节点处得函数值与导数值已知时才可以使用,而这在实际问题中就是无法实现得,因为在一般情况下我们就是不可能也没必要知道函数在插值节点处得导数值.因此成为能否运用埃尔米特插值得一个重要因素就就是:我们知不知道插值函数在节点处得导数值. 例3 对于函数 取等距节点,建立插值多项式,并探究它与得误差。解: 根据题意知道多项式得次数为10，代入拉格朗日插值多项式得公式有 其中 计算结果如下表所示：表31、000、3460、046-0、40、000、19990、90、01、5872-0、30、3069、2335-0、80、058820、08-0、200、00000、5000、70、0540、22620-0、10、80000、8340、6、1000、100000、01、000、0000、500、3730、25376对于0,1 区间上得值可以由对称性得到，根据结果可以瞧出,在原点附近能较好得逼近,而在其余点处与得差异较大,越靠近端点,逼近效果就越不好. 由例题3可以不难发现,在高次插值中拉格朗日插值多项式存在较大缺陷,因而为了弥补这种不足我们一般利用分段线性插值得方法。例4 给定函数取等距节点,作分段线性插值函数,并计算得值解: 首先计算出,0区间上得函数值表:表40、8-、60、4-0、20y0、08460、0580、000、20000、50001、0000对于区间0,1上得函数值可由对称性得到。其次,构造各点得插值基函数: () 故得到分段线性插值函数把代入上式,=0、386（）（0、90、8)+0、08(-0、+) 0、5、0846+、50、0582 =0、04864 优点:一方面,与原函数相比，分段线性插值与3次多项式插值函数在每个单元区间上收敛性强，数值稳定性好且易于计算机编程实现；另一方面,分段线性插值计算简便.缺点:分段线性插值不能保证在节点处得插值函数得导数得连续性，即不光滑。但三次样条插值却弥补了分段线性插值在节点处不光滑得缺陷,从而在某些工程技术上得到了很好得应用。例5 给定数据表如下:表50、50、30、390、450、530、50000、5770、6250、67080、720并满足条件,求出三次样条插值8。解: 由此得矩阵形式得方程组为 求解此方程组,得 又三次样条表达式为 将代入得综上，当插值节点得密度渐渐变大时,三次样条插值函数不但收敛于函数本身及其微商也收敛于函数得微商，这一特性比多项式插值更好.此外,样条函数不必就是逐段三次多项式,或它可以就是一个简单得函数且连续点保持足够光滑3、2 五种插值法得实际应用例1 有一种闸阀,其关闭度为(d为管内径, h为开度），局部阻力系数为, 与存在得函数关系,其对应关系如下:表601/2/884/85/8/8780、00、70、0、812、06、5217、6097、8如果将闸阀控制在时,求其局部阻力系数得值9.解： 由题可知,该函数表就是等距节点排序。因此，选取=0、附近得三个节点使用牛顿插值公式进行二次插值,绘制图表。并将其一阶与二阶差分算出列于该表得右侧各列：表00、00/8、070、072/、60、1、123/8、810、50、260、2 若进行三次插值,则需选取4个节点,于就是我们再选一个节点=3/8,添加在表上得最后一行,其这样,由三次插值所得得值为:综上可以得知,当需要在原插值上取更高次得插值时,只需再添一项对应得节点并进行计算，而且仍可以使用之前得计算结果,也不会带来任何影响。这就是 Neton插值法得优点。例 气象局在天津得月收集到某一天从上午九点到下午三点得气温变化数据如下:求这段时间温度与时间得关系。解： 方法一:用拉格朗日插值法解， x=9:1:15； y1、/（1、) ; x9:0、1:1; yh=lagange(x,xh) ； y=1、/(1xh、） ； pl(,yh，-） hld on plt(,y1,b） leen(拉格朗日插值曲线，原曲线） Ruge现象得产生图方法二:用分段插值曲线解 x=9：1:5; y1、(+x、2)； xh=9:0、1：15; h=lgrag(x,y,h） ; 1=1、/（1+x、2) ; y2=interpl(x,y，h,splie) ； plot(xh,y1，b,x,h，,xh，y，) ； een(原曲线，拉格朗日插值曲线，分段插值曲线）图方法三：用三次样条插值法解 x=9：1:15； =1、/(+x、2) ; xh=9:0、1:15； hlagrge(x，y,) ； 1=1、(1+xh、) ; y=intepl(x, y,xh,slne) ; inrpl(x， ,xh) ； plot（h,1，-b,x,h,，xh,y2,xkx,3， y ） ； leend(原曲线,拉格朗日插值曲线,三次样条插值曲线，分段 线性插值曲线）10图从以上三种方法我们可以瞧出,拉格朗日插值得方法做得图像明显与原函数得偏差较大,但分段插值克服了高阶拉格朗日插值法得缺点,它可以增加插值点提高插值精度,但插值节点处就是不光滑得,不准确得。因此，三次插值得效果最好,插值点连续且光滑。 结语本文主要介绍了五种常用得插值方法:拉格朗日插值法，牛顿插值法，埃尔米特插值法,分段线性插值法以及三次样条插值法。这些插值法历史悠久,并且其实用性也得到了很多数学家们得认可.此文首先以背景导言开始,先后介绍了五种插值法得基本概念、性质、各自得优缺点及适用范围，最后又利用插值法在ATAB中得编程实现，进一步得对比了几种插值法得长短处，得出五种插值法在实际问题求解中得差别.这为学者们学习数值微积分、函数逼近以及求微分方程数值解等数值分析奠定了很好得基础.由上可知，插值方法就是近似计算与逼近函数得有效方法,每一种插值法因使用条件不同所解决得问题也不同而且除了数值领域外，插值法还应用在很多其她行业,譬如冶金工程、技术渔业与计算机程序等.无论就是应用在哪个领域其解决得方法都就是从本文介绍得五种方法中选择一个相对容易得,就就是用一个多项式函数来近似原函数，并以此来计算我们需要得出得信息与数据.参考文献1赵景军，吴勃英、 关于数值分析教学得几点探讨J、 大学数学、 2005(03)2苑金臣、 关于逐次线性插值法与牛顿插值法其过程得等价性问题J、 工科数学、 195（04)3黄铎,陈兰平，王凤、 数值分析M、 北京:科学出版社,20、4杨士俊，王兴华、Hrite插值多项式得差商表示及其应用J、 高校应用数学学报，2006,21(1)：7078、 5陈文略，王子羊、三次样条插值在工程拟合中得应用J、 华中师范大学学报， 2004,38（4）:418-422、 6姜琴,周天宏、 常见得插值法及其应用、 郧阳师范高等专科学校学报、 06(0）宋益荣,万冬梅、 四种插值法得特点比较J、 商丘职业技术学院学报、 203(2）8赵前进、关于数值分析中插值法教学得研究、安徽科技学院学报、 07（03)9李军成、数值分析中插值法得教学实践研究J、 高师理科学刊、 200（02）10张洪波、 插值法应用得实例分析、 华北科技学院学报、 200(03）