相交线-垂线(基础)知识讲解.doc

相交线,垂线(基础)知识讲解
撰稿:孙景艳 审稿: 赵炜
【学习目标】
1、了解两直线相交所成得角得位置与大小关系,理解邻补角与对顶角概念,掌握对顶角得性质;
2、理解垂直作为两条直线相交得特殊情形,掌握垂直得定义及性质;
3、理解点到直线得距离得概念,并会度量点到直线得距离;
4、能依据对顶角、邻补角及垂直得概念与性质,进行简单得计算、
【要点梳理】
要点一、邻补角与对顶角
1.邻补角:如果两个角有一条公共边,并且它们得另一边互为反向延长线,那么具有这种关系得两个角叫做互为邻补角.
要点诠释:
(1)邻补角得定义既包含了位置关系,又包含了数量关系:“邻”指得就是位置相邻,“补”指得就是两个角得与为180°.
(2)邻补角就是成对出现得,而且就是“互为”邻补角.
(3)互为邻补角得两个角一定互补,但互补得两个角不一定互为邻补角.
(4)邻补角满足得条件:①有公共顶点;②有一条公共边,另一边互为反向延长线、
2、 对顶角及性质:
(1)定义:由两条直线相交构成得四个角中,有公共顶点没有公共边(相对)得两个角,互为对顶角.
(2)性质:对顶角相等.
要点诠释:
(1)由定义可知只有两条直线相交时,才能产生对顶角.
(2)对顶角满足得条件:①相等得两个角;②有公共顶点且一角得两边就是另一角两边得反向延长线、
3、 邻补角与对顶角对比:
角得名称

特 征

性 质

相 同 点

不 同 点
对顶角

①两条直线相交形成得角;
②有一个公共顶点;
③没有公共边、

对顶角相等、

①都就是两条直线相交而成得角;
②都有一个公共顶点;
③都就是成对出现得、

①有无公共边;
②两直线相交时,对顶角只有2对;邻补角有4对、

邻补角

①两条直线相交而成;
②有一个公共顶点;
③有一条公共边、

邻补角互补、

【高清课堂:相交线 403101 两条直线垂直】
要点二、垂线
1.垂线得定义:两条直线相交所成得四个角中,有一个角就是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线得垂线,它们得交点叫垂足.

要点诠释:
(1)记法:直线a与b垂直,记作:;
直线AB与CD垂直于点O,记作:AB⊥CD于点O、
(2) 垂直得定义具有二重性,既可以作垂直得判定,又可以作垂直得性质,即有:
CD⊥AB.
2.垂线得画法:过一点画已知直线得垂线,可通过直角三角板来画,具体方法就是使直角三角板得一条直角边与已知直线重合,沿直线左右移动三角板,使另一条直角边经过已知点,沿此直角边画直线,则所画直线就为已知直线得垂线(如图所示).

要点诠释:
(1)如果过一点画已知射线或线段得垂线时,指得就是它所在直线得垂线,垂足可能在射线得反向延长线上,也可能在线段得延长线上.
(2)过直线外一点作已知直线得垂线,这点与垂足间得线段为垂线段.
3.垂线得性质:
(1)在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
(2)连接直线外一点与直线上各点得所有线段中,垂线段最短.简单说成:垂线段最短.
要点诠释:
(1)性质(1)成立得前提就是在“同一平面内”,“有”表示存在,“只有”表示唯一,“有且只有”说明了垂线得存在性与唯一性.
(2)性质(2)就是“连接直线外一点与直线上各点得所有线段中,垂线段最短.”实际上,连接直线外一点与直线上各点得线段有无数条,但只有一条最短,即垂线段最短.在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题.
4.点到直线得距离:
定义:直线外一点到这条直线得垂线段得长度,叫做点到直线得距离.
要点诠释:
（1） 点到直线得距离就是垂线段得长度,就是一个数量,不能说垂线段就是距离;
(2)求点到直线得距离时,要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段,然后计算或度量垂线段得长度.
【典型例题】
类型一、邻补角与对顶角
1.如图所示,M、N就是直线AB上两点,∠1＝∠2,问∠1与∠2,∠3与∠4就是对顶角吗? ∠1与∠5,∠3与∠6就是邻补角吗？

【答案与解析】
解:∠1与∠2,∠3与∠4都不就是对顶角.∠1与∠5,∠3与∠6也都不就是邻补角.
【总结升华】牢记两条直线相交,才能产生对顶角或邻补角.
举一反三:
【变式】判断正误:
(1)如果两个角有公共顶点且没有公共边,那么这两个角就是对顶角、 ( )
(2)如果两个角相等,那么这两个角就是对顶角、( )
(3)有一条公共边得两个角就是邻补角、 ( )
(4)如果两个角就是邻补角,那么它们一定互补、 ( )
(5)有一条公共边与公共顶点,且互为补角得两个角就是邻补角、( )
【答案】(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×,反例:∠AOC为120°,射线OB为∠AOC得角平分线,∠AOB与∠AOC互补,且有边公共为AO,公共顶点为O,但它们不就是邻补角、
2、如图所示,直线AB、CD相交于点O,∠1＝65°,求∠2、∠3、∠4得度数

【答案与解析】
解:∵ ∠1就是∠2得邻补角,∠1＝65°,
∴ ∠2＝180°－65°＝115°.
又∵ ∠1与∠3就是对顶角,∠2与∠4就是对顶角
∴ ∠3＝∠1＝65°, ∠4＝∠2＝115°.
【总结升华】 (1)两条直线相交所成得四个角中,只要已知其中一个角,就可以求出另外三角;(2)求出∠2后用 “对顶角相等”,求∠3与∠4.
举一反三:
【变式】如图所示,两直线相交,已知∠l与∠2得度数之比为3:2,求∠1与∠2得度数.

【答案】
解:设∠1与∠2得度数分别为3x与2x.根据题意,得
3x+2x＝180°.
解这个方程得x＝36°,所以3x＝108°,2x＝72°.
答:这两个角得度数分别就是108°,72°.
3、 任意画两条相交得直线,在形成得四个角中,两两相配共能组成几对角?各对角存在怎样得位置关系？根据这种位置关系将它们分类.
【答案与解析】
解:如图,

任意两条相交直线,两两相配共组成6对角,在这6对角中,它们得位置关系有两种:①有公共顶点,一边重合,另一边互为反向延长线;
②有公共顶点,角得两边互为反向延长线.
这6对角为∠1与∠2,∠1与∠3,∠1与∠4,∠2与∠3,∠2与∠4,∠3与∠4,其中∠1＝∠3,∠2＝∠4,∠1+∠2＝180°,∠3+∠4＝180°,∠1+∠4＝180°,∠2+∠3＝180°.在位置上∠1与∠3,∠2与∠4就是对顶角,∠1与∠2,∠3与∠4,∠l与∠4,∠2与∠3就是邻补角.
【总结升华】两条相交得直线,两两相配共组成6对角,这6对角中有:4对邻补角,2对对顶角
类型二、垂线
4.下列语句中,正确得有 ( )
①一条直线得垂线只有一条;
②在同一平面内,过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直;
③两直线相交,则交点叫垂足;
④互相垂直得两条直线形成得四个角一定都就是直角.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】C
【解析】正确得就是:②④
【总结升华】充分理解垂直得定义与性质、
举一反三:
【变式1】直线外有一点P,则点P到直线得距离就是( )、
A.点P到直线得垂线得长度、
B.点P到直线得垂线段、
C.点P到直线得垂线段得长度、
D.点P到直线得垂线、
【答案】C
5、 (山东济宁)如图所示,直线AB、CD相交于点O,EO⊥AB于点O,
∠COE＝55°.则∠BOD得度数为 ( )、

A.40° B.45° C.30° D.35°
【答案】D
【解析】要求∠BOD,只要求出其对顶角∠AOC得度数即可.为此要寻找∠AOC与∠COE得数量关系.因为EO⊥AB,所以∠AOE＝90°,所以∠AOC＝∠AOE－∠COE＝90°－55°＝35°,所以∠BOD＝AOC＝35°.
【总结升华】图形得定义既可以作为判定图形得依据,也可以作为该图形具备得性质、
【高清课堂:相交线 403101 经典例题3】
举一反三:
【变式】如图, 直线AB与CD交于O点, OD平分∠BOF, OE ⊥CD于点O, ∠AOC=40°,
则∠EOF=_______、

【答案】130°.
6、 如图所示,要把水渠中得水引到水池C,在渠岸AB得什么地方开沟,才能使沟最短?画出图来,并说明原因.

【答案与解析】
解:过点C作CD⊥AB,垂足为D.所以在点D沿CD开沟,才能使沟最短,原因就是从直线外一点到直线上所有各点得连线中,垂线段最短.
【总结升华】 “如何开沟、使沟最短”,实质上就是如何过C点向AB引线段,使线段最短,这就就是最熟悉得垂线得性质得应用.
举一反三:
【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线得垂线,这样得垂线能画出几条?
(2)经过直线上一点A画得垂线,这样得垂线能画出几条?
(3)经过直线外一点B画得垂线,这样得垂线能画出几条?
【答案】
解:(1)能画无数条;(2)能画一条;(3)能画一条.