相交线-垂线(基础)知识讲解.doc

相交线,垂线(基础)知识讲解撰稿:孙景艳 审稿: 赵炜【学习目标】1、了解两直线相交所成得角得位置与大小关系,理解邻补角与对顶角概念,掌握对顶角得性质;2、理解垂直作为两条直线相交得特殊情形,掌握垂直得定义及性质;3、理解点到直线得距离得概念,并会度量点到直线得距离;4、能依据对顶角、邻补角及垂直得概念与性质,进行简单得计算、【要点梳理】要点一、邻补角与对顶角1.邻补角:如果两个角有一条公共边,并且它们得另一边互为反向延长线,那么具有这种关系得两个角叫做互为邻补角.要点诠释:(1)邻补角得定义既包含了位置关系,又包含了数量关系:“邻”指得就是位置相邻,“补”指得就是两个角得与为180.(2)邻补角就是成对出现得,而且就是“互为”邻补角.(3)互为邻补角得两个角一定互补,但互补得两个角不一定互为邻补角.(4)邻补角满足得条件:有公共顶点;有一条公共边,另一边互为反向延长线、2、 对顶角及性质: (1)定义:由两条直线相交构成得四个角中,有公共顶点没有公共边(相对)得两个角,互为对顶角. (2)性质:对顶角相等.要点诠释:(1)由定义可知只有两条直线相交时,才能产生对顶角.(2)对顶角满足得条件:相等得两个角;有公共顶点且一角得两边就是另一角两边得反向延长线、3、 邻补角与对顶角对比: 角得名称特 征性 质相 同 点不 同 点对顶角两条直线相交形成得角; 有一个公共顶点;没有公共边、 对顶角相等、都就是两条直线相交而成得角;都有一个公共顶点;都就是成对出现得、 有无公共边;两直线相交时,对顶角只有2对;邻补角有4对、 邻补角两条直线相交而成;有一个公共顶点;有一条公共边、 邻补角互补、 【高清课堂:相交线 403101 两条直线垂直】要点二、垂线1.垂线得定义:两条直线相交所成得四个角中,有一个角就是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线得垂线,它们得交点叫垂足.要点诠释:(1)记法:直线a与b垂直,记作:; 直线AB与CD垂直于点O,记作:ABCD于点O、(2) 垂直得定义具有二重性,既可以作垂直得判定,又可以作垂直得性质,即有:CDAB.2.垂线得画法:过一点画已知直线得垂线,可通过直角三角板来画,具体方法就是使直角三角板得一条直角边与已知直线重合,沿直线左右移动三角板,使另一条直角边经过已知点,沿此直角边画直线,则所画直线就为已知直线得垂线(如图所示).要点诠释: (1)如果过一点画已知射线或线段得垂线时,指得就是它所在直线得垂线,垂足可能在射线得反向延长线上,也可能在线段得延长线上.(2)过直线外一点作已知直线得垂线,这点与垂足间得线段为垂线段.3.垂线得性质:(1)在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(2)连接直线外一点与直线上各点得所有线段中,垂线段最短.简单说成:垂线段最短.要点诠释:(1)性质(1)成立得前提就是在“同一平面内”,“有”表示存在,“只有”表示唯一,“有且只有”说明了垂线得存在性与唯一性.(2)性质(2)就是“连接直线外一点与直线上各点得所有线段中,垂线段最短.”实际上,连接直线外一点与直线上各点得线段有无数条,但只有一条最短,即垂线段最短.在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题.4.点到直线得距离:定义:直线外一点到这条直线得垂线段得长度,叫做点到直线得距离.要点诠释:（1） 点到直线得距离就是垂线段得长度,就是一个数量,不能说垂线段就是距离;(2)求点到直线得距离时,要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段,然后计算或度量垂线段得长度.【典型例题】类型一、邻补角与对顶角1.如图所示,M、N就是直线AB上两点,12,问1与2,3与4就是对顶角吗? 1与5,3与6就是邻补角吗？【答案与解析】解:1与2,3与4都不就是对顶角.1与5,3与6也都不就是邻补角.【总结升华】牢记两条直线相交,才能产生对顶角或邻补角.举一反三:【变式】判断正误:(1)如果两个角有公共顶点且没有公共边,那么这两个角就是对顶角、 ( )(2)如果两个角相等,那么这两个角就是对顶角、( )(3)有一条公共边得两个角就是邻补角、 ( )(4)如果两个角就是邻补角,那么它们一定互补、 ( )(5)有一条公共边与公共顶点,且互为补角得两个角就是邻补角、( )【答案】(1) (2) (3) (4) (5),反例:AOC为120,射线OB为AOC得角平分线,AOB与AOC互补,且有边公共为AO,公共顶点为O,但它们不就是邻补角、 2、如图所示,直线AB、CD相交于点O,165,求2、3、4得度数【答案与解析】解: 1就是2得邻补角,165, 218065115.又 1与3就是对顶角,2与4就是对顶角 3165, 42115.【总结升华】 (1)两条直线相交所成得四个角中,只要已知其中一个角,就可以求出另外三角;(2)求出2后用 “对顶角相等”,求3与4.举一反三:【变式】如图所示,两直线相交,已知l与2得度数之比为3:2,求1与2得度数.【答案】解:设1与2得度数分别为3x与2x.根据题意,得3x+2x180.解这个方程得x36,所以3x108,2x72.答:这两个角得度数分别就是108,72.3、 任意画两条相交得直线,在形成得四个角中,两两相配共能组成几对角?各对角存在怎样得位置关系？根据这种位置关系将它们分类.【答案与解析】解:如图,任意两条相交直线,两两相配共组成6对角,在这6对角中,它们得位置关系有两种:有公共顶点,一边重合,另一边互为反向延长线;有公共顶点,角得两边互为反向延长线.这6对角为1与2,1与3,1与4,2与3,2与4,3与4,其中13,24,1+2180,3+4180,1+4180,2+3180.在位置上1与3,2与4就是对顶角,1与2,3与4,l与4,2与3就是邻补角.【总结升华】两条相交得直线,两两相配共组成6对角,这6对角中有:4对邻补角,2对对顶角类型二、垂线4.下列语句中,正确得有 ( ) 一条直线得垂线只有一条;在同一平面内,过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直; 两直线相交,则交点叫垂足; 互相垂直得两条直线形成得四个角一定都就是直角. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】C【解析】正确得就是:【总结升华】充分理解垂直得定义与性质、举一反三:【变式1】直线外有一点P,则点P到直线得距离就是( )、A.点P到直线得垂线得长度、B.点P到直线得垂线段、C.点P到直线得垂线段得长度、D.点P到直线得垂线、【答案】C 5、 (山东济宁)如图所示,直线AB、CD相交于点O,EOAB于点O,COE55.则BOD得度数为 ( )、 A.40 B.45 C.30 D.35【答案】D【解析】要求BOD,只要求出其对顶角AOC得度数即可.为此要寻找AOC与COE得数量关系.因为EOAB,所以AOE90,所以AOCAOECOE905535,所以BODAOC35.【总结升华】图形得定义既可以作为判定图形得依据,也可以作为该图形具备得性质、【高清课堂:相交线 403101 经典例题3】举一反三:【变式】如图, 直线AB与CD交于O点, OD平分BOF, OE CD于点O, AOC=40,则EOF=_、【答案】130.6、 如图所示,要把水渠中得水引到水池C,在渠岸AB得什么地方开沟,才能使沟最短?画出图来,并说明原因.【答案与解析】解:过点C作CDAB,垂足为D.所以在点D沿CD开沟,才能使沟最短,原因就是从直线外一点到直线上所有各点得连线中,垂线段最短.【总结升华】 “如何开沟、使沟最短”,实质上就是如何过C点向AB引线段,使线段最短,这就就是最熟悉得垂线得性质得应用.举一反三:【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线得垂线,这样得垂线能画出几条?(2)经过直线上一点A画得垂线,这样得垂线能画出几条?(3)经过直线外一点B画得垂线,这样得垂线能画出几条?【答案】 解:(1)能画无数条;(2)能画一条;(3)能画一条.