二项式定理典型例题.doc

高考数学专题复习二项式定理练习题
1、 在二项式得展开式中,前三项得系数成等差数列,求展开式中所有有理项、
分析:本题就是典型得特定项问题,涉及到前三项得系数及有理项,可以通过抓通项公式解决、
解:二项式得展开式得通项公式为:

前三项得
得系数为:,
由已知:,
∴
通项公式为
为有理项,故就是4得倍数,
∴
依次得到有理项为、
说明:本题通过抓特定项满足得条件,利用通项公式求出了ｒ得取值,得到了有理项、类似地,得展开式中有多少项就是有理项?可以通过抓通项中r得取值,得到共有系数与为、
2、(1)求展开式中得系数;(2)求展开式中得常数项、
分析:本题得两小题都不就是二项式展开,但可以转化为二项式展开得问题,(１)可以视为两个二项展开式相乘;(2)可以经过代数式变形转化为二项式、
解:(1)展开式中得可以瞧成下列几种方式得到,然后合并同类项:
用展开式中得常数项乘以展开式中得项,可以得到;用展开式中得一次项乘以展开式中得项可得到;用中得乘以展开式中得可得到;用 中得项乘以展开式中得项可得到,合并同类项得项为:
、
(2)
。
由展开式得通项公式,可得展开式得常数项为、
说明:问题(2)中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决、这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开得问题来解决、
３。 求展开式中得系数。
分析:不就是二项式,我们可以通过或把它瞧成二项式展开、
解:方法一:

其中含得项为、
含项得系数为6、
方法二:

其中含得项为。
∴项得系数为6、
方法３:本题还可通过把瞧成６个相乘,每个因式各取一项相乘可得到乘积得一项,项可由下列几种可能得到。5个因式中取x,一个取１得到、
3个因式中取x,一个取,两个取1得到、
1个因式中取x,两个取,三个取1得到。
合并同类项为,项得系数为6、
4。求证:(1);
(2)、
分析:二项式系数得性质实际上就是组合数得性质,我们可以用二项式系数得性质来证明一些组合数得等式或者求一些组合数式子得值、解决这两个小题得关键就是通过组合数公式将等式左边各项变化得等数固定下来,从而使用二项式系数性质、
解:(1)
∴左边
右边、
(2)
、
∴左边
　　　 右边、
说明:本题得两个小题都就是通过变换转化成二项式系数之与,再用二项式系数得性质求解、此外,有些组合数得式子可以直接作为某个二项式得展开式,但这需要逆用二项式定理才能完成,所以需仔细观察,我们可以瞧下面得例子:求得结果、仔细观察可以发现该组合数得式与得展开式接近,但要注意:

从而可以得到:、
5。利用二项式定理证明:就是64得倍数、
分析:64就是8得平方,问题相当于证明就是得倍数,为了使问题向二项式定理贴近,变形,将其展开后各项含有,与得倍数联系起来、
解:∵

就是6４得倍数、
说明:利用本题得方法与技巧不仅可以用来证明整除问题,而且可以用此方程求一些复杂得指数式除以一个数得余数、
8、若将展开为多项式,经过合并同类项后它得项数为(　 )、
A、11 　　B。33 　 C、５5　 　D、66
分析:瞧作二项式展开、
解:我们把瞧成,按二项式展开,共有“项”,即
、
这时,由于“与”中各项得指数各不相同,因此再将各个二项式展开,
不同得乘积()展开后,都不会出现同类项、
下面,再分别考虑每一个乘积()、
其中每一个乘积展开后得项数由决定,
而且各项中与得指数都不相同,也不会出现同类项、
故原式展开后得总项数为,
∴应选D、
9、若得展开式得常数项为,求。
分析:题中,当时,把三项式转化为;当时,同理、然后写出通项,令含得幂指数为零,进而解出、
解:当时,其通项为
,
令,得,
∴展开式得常数项为;
当时,,
同理可得,展开式得常数项为、
无论哪一种情况,常数项均为。
令,以,逐个代入,得。
1０。得展开式得第３项小于第4项,则得取值范围就是_____＿_____＿__、
分析:首先运用通项公式写出展开式得第3项与第４项,再根据题设列出不等式即可。
解:使有意义,必须;
依题意,有,即、
∴(∵)、
解得、
∴得取值范围就是、
∴应填:、
1１、已知得展开式中有连续三项得系数之比为,这三项就是第几项?若展开式得倒数第二项为,求得值。
解:设连续三项就是第、、项(且),则有,
即。
∴。
∴
,所求连续三项为第、、三项、
又由已知,、即、
两边取以为底得对数,,,
∴,或。
说明:当题目中已知二项展开式得某些项或某几项之间得关系时,常利用二项式通项,根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解、
１2、得展开式中第项与第项得系数相等,求展开式中二项式系数最大得项与系数最大得项、
分析:根据已知条件可求出,再根据得奇偶性;确定二项式系数最大得项、
解:,,依题意有
、
∴得展开式中,二项式系数最大得项为、
设第项系数最大,则有
、
∴或(∵)。
∴系娄最大得项为:,。
说明:(１)求二项式系数最大得项,根据二项式系数得性质,为奇数时中间两项得二项式系数最大,为偶数时,中间一项得二项式系数最大、
(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项就是不同得,需根据各项系数得正、负变化情况,一般采用列不等式,解不等式得方法求得、
１3。　设(),若其展开式中关于得一次项得系数与为,问为何值时,含项得系数取最小值？并求这个最小值、
分析:根据已知条件得到得系数关于得二次表达式,然后利用二次函数性质探讨最小值问题、
解:、

、
∵,
∴或,或时,项系数最小,最小值为、
说明:二次函数得对称轴方程为,即,由于、距等距离,且对,、距最近,所以得最小值在或处取得、
14、若,
求(1) ;(2) ;(3)　。
解:(1)令,则,
令,则、 ①
∴。
(2)令,则 ②
由得:
(3)由得:

、
说明:(1)本解法根据问题恒等式特点来用“特殊值”法。这就是一种重要得方法,它适用于恒等式、
(2)一般地,对于多项式,得各项得系数与为:
得奇数项得系数与为。
得偶数项得系数与为、
１8、在得展开式中得系数为(　 )、
A。160　 B、２40　　C、360　 Ｄ、800
分析:本题考查二项式定理得通项公式得运用、应想办法将三项式转化为二项式求解、
解法１:由,
得
、
再一次使用通项公式得,,
这里,。
令,即。
所以,,由此得到得系数为、
解法2:由,知得展开式中得系数为,
常数项为,得展开式中得系数为,常数项为、
因此原式中得系数为、
解法3:将瞧作个三项式相乘,
展开式中得系数就就是从其中一个三项式中取得系数,
从另外个三项式中取常数项相乘所得得积,即、
∴应选B。
19、已知得展开式中得系数为,常数得值为__＿__＿_＿___、
分析:利用二项式得通项公式、
解:在得展开式中,
通项公式为、
根据题设,,所以、代入通项公式,得、
根据题意,,所以、
∴应填:。
2０。若,求证明:能被整除、
分析:考虑先将拆成与得倍数有关得与式,再用二项式定理展开、
解:

,
∵,,,…均为自然数,
∴上式各项均为得整数倍、
∴原式能被整除、
说明:用二项式定理证明整除问题,大体上就就是这一模式,先将某项凑成与除数有关得与式,再展开证之、该类题也可用数学归纳法证明,但不如用二项式定理证明简捷、
21、 已知得展开式各项系数与比它得二项式系数与大。
(１)求展开式中二项式系数最大得项;
(2)求展开式中系数最大得项、
分析:先由条件列方程求出。(1)需考虑二项式系数得性质;(2)需列不等式确定、
解:令得展开式得各项系数之与为,而展开式得二项式系数得与为
,
∴有、
∴、
(1)∵,故展开式共有,其中二项式系数最大得项为第三、第四两项。
∴,
、
(2)设展开式中第项得系数最大、
,
故有
即
解得。∵,
∴,即展开式中第项得系数最大。

说明:展开式中二项式系数最大得项与系数最大得项就是两个不同得概念,因此其求法亦不同、前者用二项式系数得性质直接得出,后者要列不等式组;解不等式组时可能会求出几个,这时还必须算出相应项得系数后再比较大小、
22、 求二项式(a－２ｂ)4得展开式。

解:根据二项式定理得(ａ－2b)4=Ｃ04a4＋C14a3(—2b)+Ｃ２4a2(－２b)2＋C34a(－2ｂ)3+C4
4(－２b)4 ＝ａ4-8a3ｂ＋24a２b２—32ab3+１６ｂ４。

、