混凝土开裂过程扩展有限元数值模拟.pdf

公路 交通技术 2 0 1 0年 6月 第 3 期T e c h n o l o g y o f Hi g h w a y a n d T r a n s p o r t J u n ． 2 0 1 0 No ． 3 混凝土开裂过程扩展有限元数值模拟 张晓东 ，任旭春 ( 1 ．招商 局重 庆交通科研设计院有限公司 ，重庆4 0 0 0 6 7 ；2 ． 北卡 大学夏洛特分校机械工程与科学系 ， 美 国北 卡罗来纳州夏洛特 ，2 8 2 2 3 — 0 0 0 1 ) 摘要：介绍用扩展有限元法结合虚拟裂缝模型对混凝土结构进行开裂过程数值模拟的实现方法。对单向拉伸混凝 土板和三点弯曲混凝土梁进行开裂过程模拟，重点考察初始裂纹长度、混凝土断裂能对混凝土板和梁开裂特性的影 响。计算结果显示，以上参数对混凝土板和梁的开裂特性都有明显影响。 关键词 ：扩展有 限元法( x F E M) ；虚拟裂缝模型 ；混凝土开裂过程 文章 编号 ：1 0 0 9 — 6 4 7 7 (2 0 1 0 ) 0 3 — 0 0 8 1 — 0 5 中图分类号 ：U 4 4 8 ． 3 3 文献标识码 ：A Fin i t e Ele me n t Nu me r i c a l Si mu l a t i o n f o r Pr o p a g a t i o n o f Co n c r e t e Cr a c k Pr o c e s s ZHANG Xi a o do ng ，REN Xu e h un Ab s t r a c t ：Th i s pa pe r i n t r o d uc e s a n i mp l e me nt a t i o n me t h od f o r nu me ric a l s i mul ~i o n o f c r a c k p r o c e s s o f c o n c r e t e s t r u c t u r e b y me a n s o f e x t e n d e d fi n i t e e l e me n t me t h o d ( X F E M) i n c o mb i n a t i o n wi t h F i c t i t i o u s C r a c k Mo d e l( F C M) ． T h e p a p e r s i mu l a t e s t h e c r a c k p r o c e s s o f u n i l a t e r a l s t r e t c h i n g c o n c r e t e s l a b s a n d t h r e e — p o i n t b e n d i n g c o n c r e t e b e a ms ， e mp h a s i z i n g o n i n s p e c t i o n f o r i n fl u e n c e s o f i n i t i a l c r a c k l e n g t h a n d c o n c r e t e c r a c k i n g e n e r g y o n c r a c k c h a r a c t e ris t i c s o f c o n c r e t e s l a b s a n d b e a ms ．T h e c a l c u l a t i o n r e s u l t s h o ws t h a t t h e p a r a me t e r s me n t i o n e d a b o v e h a v e o b v i o u s i n fl u e n c e s o n c r a c k c h a r a c t e r i s t i c s o f c o n c r e t e s l a b s a ndbe a m s ． Ke y w o r d s ： e x t e n d e d fi n i t e e l e me n t me t h o d( XF E M) ； F i c t i t i o u s C r a c k Mo d e l ( F C M) ； c r a c k p r o c e s s 混凝土开裂过程有限元数值模拟的关键在于选 用合适的裂缝模型。传统混凝土有限元分析裂缝模 型主要有 3种[ 】 ] ：1 )利用单元边界模拟裂缝的分离 裂缝模型 ；2 )对开裂单元 的材料参数进行折减模 拟裂缝的弥散裂缝模型 ；3 )在单元近似位移场 中 构造 内嵌裂缝的特殊单元模型。弥散裂缝模型裂纹 扩展方向存在网格依赖性，且单元位移模式不能反 映裂缝存在导致的变形不连续 。与弥散裂缝模型相 比，分离裂缝模型和特殊单元模型能更真实地模拟 裂缝， 但也有其各 自的局限。特殊单元模型由于其 复杂性很少应用于实际工程 ，离散裂缝模型需随裂 缝 的扩展不断进行 网格重分，以使单元边界适应裂 缝的形状 ，这需耗费大量的计算机时。 近 1 O年来 ，裂纹扩展有限元数值模拟技术有 了新 的发展 ，主要源于扩展有 限元法( E x t e n d e d F i — n i t e E l e me n t Me t h o d ，XF E M) ／ 2 - 3 1 的应用 。扩展有 限 元法的基本思路是基于单位分解法『4 l ，在有限元位 移场近似插值表达中引入非连续位移 ，从而可以准 确描述裂纹两边非连续 的变形模态。与传统有限元 法相 比，扩展有限元法用于裂纹模拟的优势在于裂 纹是独立于有限元网格的 ，因而无需随着裂纹的扩 展不断进行 网格重新剖分 ，避免 了由此导致的额外 计算量 。 1 XFEM 在 X F E M 中 ，经常引入 He a v i s i d e函数来表征 裂纹导致 的不连续位移场 。He a v i s i d e函数定义为： 胁 ： 。 为了使 He a v i s i d e函数用于表征于裂纹的两边 ， X F E M可配合水平集 法使用【 5 】 。一个 常用 的水平集 函数为符号距离函数，其定义为： ) = [ I — r【I 。 ( 2 ) 如图 1 所示 ，式( 2 ) 中X 为计算点x 在裂纹上 的投影点 ，当计算 点在裂纹上方时 ， ) 值取正 ， 当计算点在裂纹下方时， ．， ( ) 取负值。 收稿 日期：2 0 0 9 — 1 2 — 1 1 作者简介：张晓东( 1 9 7 7 ～ ) ，男 ，山东省乎度市人，博士，助理研究员 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 8 2 公路交通技术 2 0 1 0年 图 1 符号距离函数定义 至此 ，考虑图 2所示的含裂纹 的二维有限元模 型，X F E M 中单元的近似位移场可表示为 ： ： i SM Vi + i + 【 V J E 【 J ∈ 【 D J ， ) ( 3 ) 式 中， 为单元所有节点的集合 ； 为包含裂纹尖 端 的单元 ( 图 2中的裂尖单元 ) 所有节点集合 ；S e s 为被裂纹完全贯穿的单元( 图2中的裂纹贯穿单元) 所有节点集合但不包括 中的节点 ；M 为标准有 限元形函数 ； Hf ( x ) ) 前面已有定义 ；‘ p ( ) 为裂尖单 元的位移改进函数( 裂尖函数) ， 其形式应能反映真 实裂尖位移场的形态 ；U 、V i 为标准有限元 的节点 自由度 ；a 、b 、C 、 为改进节点 自由度。 由式( 3 ) 可知 ，XF E M中，对于标准单元 ，其位 移场仅包含式( 3 ) 右端第 1 项 ；对于裂纹贯穿单元 ， 其位移场包含式( 3 ) 右端的前 2 项 ，其中第 2 项为 不连续的位移场部分 ；对于裂尖单元 ，其位移场包 含式( 3 ) 右端的第 1 、3项。此外 ，还有部分节点为 标准节点，部分为改进节点的混合单元 ，相关讨论 可参考文献[ 3 ] 。 2 本文有限元列式 本文将 X F E M应用于平面四节点等参单元来 模拟混凝土开裂 ，裂纹贯穿单元的位移场为( 仅取 式 ( 3 ) 的前 2项 ) ： ： ： ∑ Ⅳ =f u+ ∑ a i 『 _ 【V J i = 1 【 V J i= 1 【 Oi J [ I q =Ⅳq 。 ( 4 ) 式中 ，对 He a v i s i d e函数进行了移位处理 ，即 日 = 曩 目 裂 纹 贯 穿 单 元 囹 裂 尖 单 元 口 标 准 单 元 O H e a v i s i d e 函数改进节点 ● 裂尖 函数改进节点 图2 含裂纹二维有限元模型及 X F E M改进节点选取 ) ) 一 ( 厂 ( x i ) ) ，x i 为节点 i 的坐标，这样得到 的位移场保证 了在单元节点上 ，位移场恢复为节点 位移 U 、V i 。N和 Ⅳ 棚为形 函数矩阵 ，q为扩展后的 节点 自由度向量 ^ 一f N1 0 Ⅳ 2 0 N 4 0 1 一 【 0 Ⅳ l 0 Ⅳ 2 ⋯ 0 N 4 J ’ = 0 0 ⋯ 0 ] ， (5 ) ” ～ 【 Ⅳ IH 1 Ⅳ ， ⋯M I ， V 矿=( U t v l⋯ U 4 V 4 a l b l⋯ a 4 b 4 l 。 将式( 4 ) 代入应变 一位移关系 ，有 ： = B o ,] q： B q 。 ( 6 ) 式 中，s= 为应变列阵 ， 、 为应变 矩阵，由式( 4 ) 一( 6 ) 可以很容易求得其表达式。 对裂尖单元 ，本文采用的裂尖函数为 ‘ p ( ， ． ， ) = r s i n 网 ，其 中 ， 一 、0为裂纹尖端局部极坐标系的坐 标，如图 3所示。 3 材料模型 混凝 土材料是一种准脆性材料 ，其断裂特性 不同于脆性材料和一般的金属材料 ，线弹性断裂 力学 和针对金 属材料 的非线性断裂力学都不完全 适用于混凝土【 ” 。本文采用 H i l l e r b o r g提 出的虚拟 裂缝模型 来分析混凝土 的非线性断裂 。虚拟裂缝 模型有如下假定 ： 1 )材料是线弹性 的，当最大拉应力达到混凝 土材料的拉伸强度． 时 ，裂纹开始产生 ，裂纹方向 f 删 Ⅱ + L f 。／ r 丁 厂— — l I I l 真实裂纹 区 l 虚拟裂 纹区 h 仃 图 3 虚拟裂缝模型 W c l w c b W 图4 虚拟裂缝软化律曲线 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 2 0 1 0年 第 3期 张晓东，等 ：混凝土开裂过程扩展有限元数值模拟 8 3 垂直于最大拉应力方向。 2 )混凝土达到拉伸强度产生新裂纹后，裂尖 后方存在～虚拟裂缝区， 这一区域裂纹表面应力不 为零 ，而为裂纹张开位移的单调递减 函数 ( 图 3 ) 。 裂缝表面应力随裂纹张开位移递减的关系称为软化 律 ，对 于 I 型裂纹 ，常用软化律曲线如 图 4所示 。 不论何种软化律，其断裂区单位面积吸收的能量都 等于混凝土的断裂能 G， ，即 ， G ， =J 。 o d w 。 ( 7 ) 3 ) 当裂纹张开位移 达到一临界值 时 ，裂 纹表面的面力降为零，该点成为真实裂纹尖端，其 后方 的裂纹表面为 自由表面 。 4 有限元方程及求解步骤 n 假定 外荷载按 比例 因子 入进行加载 ，即外力 向量， 可表示为， = 入 ， ， 0ex t 代表加载模式。则 系统的平衡方程可表示为 ： f =入 ， 0+ ， 。 ( 8 ) 式中 ， 为 系统 内力 ； 为虚拟裂缝作用 面力 的 等效节点力 。 广 ‘ =i B r D B d l ~ q = K q ， = I ． ~ ( w ) N rn d F 。 ( 9 ) 式 中，n为裂缝表面法向量 ，如图( 3 ) 所示 ：w为裂 缝张开位 移 ；fl( w) n为裂缝 表面面力 ， ( ) 为反 映裂缝表面面力与裂缝张开位移关系的软化律。虚 拟裂缝张开位移可由式 ( 4 ) 求得 ： w = ( 旷 一 一 ) ： ∑ 1a i } ( 一 ) ： i= 1 l oi 4 ， 2 ∑ { O ( 1 0 ) i 1 LOi 此外 ，虚拟裂缝扩展还要求裂尖处 的最大拉应 力达到材料的拉伸强度 ．．7 ； ，对 I 型裂纹有 n ‘ ‘ = 。 ( 1 1 ) 由式 ( 1 1 )得裂尖处需满足的方程 ： n 2 ’ C‘ B q ： 。 ( 1 2 ) 式中， n 2 = [ 2 2 2 n ．d ty ] ， 其中 、 分 另 0 为 法 向量 n在裂尖局部坐标系 ( 图 3 ) x 、Y方向的分量 ； C为材料刚度矩阵。 式( 8 ) 和式 ( 1 2 ) 构成 了系统求解方程 ，其求解 步骤可参见 G o a n g s e u p Z i 和 T e d B e l y t s c h k o的文 献[ 8 ] 。需指 出的是 ，虚拟裂缝 作用面力 对刚度 阵 也有贡献，但其贡献仅限于与改进节点 自由度相 关 的刚度项 ，具体表达式为 ： 旦 ： 一 4』 ! w d F 。 ( 1 3 ) Oq r 。 h Ow 事实上 ，式( 1 3 ) 表达的刚度项及裂纹扩展导致 的刚度变化是非线性产生的原因。 在以上理论推导的基础上 ，编制 了二维混凝土 裂纹扩展有限元分析程序，并展开数值试验，对程 序的可靠性进行考察。 5 数值算列 算 例 1 ：带初 始边 缘裂纹 的单 向拉 伸混凝 土 板。 考虑图 5 所示高度 h =1 5 0 m m，长度 f - 6 0 0 1 T I 1T I ，厚度 t =b的混凝土板 ，板 的下部边缘 中间有 一 条长度 a 。 =1 5 ． 1 m m的初始裂纹，板的左侧边缘 约束 Y 方 向的位移 ，为防止刚体位移 ，左下角点同 时约束 X方向位移 。板 的右侧受均布拉伸荷载 q 0 作 用。与 Q ． Z ． X i a o 等[9 1的算例相同，本文采用了双线 性 软化律 ( 图 4 ) ，材 料参数 为 E：3 6 ． 91 0 MP a ， "=0 ． 2， =3． 1 4 MPa， o r 1 =0． 4 5 5 MPa， W1 =0． 0 3 7 3 mm，W c o =0 ． 2 7 9 m m，G ， =0 ． 1 2 2 N ／ m m。 图 6显示 了本 文计 算采用 的有 限元 网格 ，为 3 9 5 9的均匀网格。计算过程中，裂纹每一步扩 展长度取为 6 m m。 图7给出了右端拉伸载荷随右边缘中点 A点 处 Y方 向位移的变化 曲线 。实际计算 中，有限元网 图5 单向拉伸混凝土板 图 6 有限元 网格 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 公路交通技术 2 0 1 0卑 格在 A点处并无节点存在 ，因此 A点位移取为右 边缘处上下相邻节点的平均位移。由图 7 可见，本 文计算结果与 Q ． z ． X i a o 等的结果吻合非常好。计 算结果显示 ，带边缘裂纹的单向拉伸混凝土板存在 峰值载荷，过峰值点之后板的承拉能力迅速下降， 直到基本稳定在一个较低的水平 。 为了考查 断裂能 G， 对裂纹扩 展特性 的影响 ， 图 8给 出了线性软化律情况下不 同断裂能 G r 对应 的拉力与A点位移关系曲线。由图可见，混凝土 板的拉力 一位移关系曲线与采用双线性软化律时 表现出类似的规律。拉伸曲线存在峰值载荷，峰值 载荷随断裂能的下降略有降低，当断裂能较低时， 曲线表现出 “ 跳回”的特性 ，此时的混凝土板处于 不稳定的平衡状态。 算例 2 ：三点弯曲混凝土梁 。 图 9所示的三点弯曲混凝土梁 ，其几何尺寸与 算例 1 相同。采用虚拟裂缝线性软化律 ，材料性质 v ／ l 1 0 4 图7 混凝土板拉力与位移关系 v } t x 1 0 4 图 8 不同断裂能对应的混凝土板拉力与位移关系 图 9 三点弯曲混凝土梁 为 E：3 6 ． 9 1 0 MP a ，u =0 ． 2 ， =3 ． 1 4 M P a 。 计算采用的有限元网格为 3 9 7 9的均匀网格， 实际计算时 ，梁 的下边缘 2个端点约束 方 向位 移 ，加载点约束 Y方向位移 ，裂纹每次扩展 的长度 取为 4 m m。C a r p i n t e r i和 C o l o m b 0 ㈣进行过相 同算 例的计算 ，他们采用 了传统有限元法结合离散裂缝 模型模拟裂缝扩展。 图 l 0 、图 1 1 分别给出了 G f = 0 ．0 5 N ／ mm及 6 s ： 0 ． 0 1 N ／ m m时不同初始裂缝长度对应的加载点载荷 挠度 曲线 ，初始裂纹长度 由 0变化到 0 ． 5 h 。本文 计算结果与 A ． C a r p i n t e r i 和 G ． C o l o m b o的计算结果 基本吻合。由图还可见 ，混凝土梁最大承载能力随 初始裂缝长度的增加而减小 ，峰值载荷点过后 ，梁 承载能力明显下降，其下降速度随裂纹长度的增加 而减小 ，这说 明初始裂纹长度越大 ，梁延性越 大。 在断裂能降低的情况下 ，图 1 1还显示 了与算例 1 类似的 “ 跳 回”不稳定特性 。 6 结论 本文用扩展有限元法结合虚拟裂缝模型对带初 始裂缝的单向混凝土板和三点弯曲混凝土梁进行了 开裂过程数值模拟 ，与文献结果的比较证明了本文 程序 的正确性 。同时得出如下结论 ： O 5 l 0 1 5 2 0 W| 1 0 - c m 图 l O 三点弯曲混凝土梁载荷挠度曲线( c s --O ． 0 5 N ／ mm) w／ 1 0 - 3 c m 图 l 1 三点弯曲混凝土梁载荷挠度曲线( C S =0 ．0 1 N ／ ra m) m 8 6 4 2 O z琶 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 2 0 1 0 年 第3 期 张晓东，等：混凝土开裂过程扩展有限元数值模拟 8 5 ( 1 )混凝土板和梁能承受的峰值荷载随初始裂 缝长度 的增加而减小 ，随断裂能的增加略有增加 ； 结构的延性随初始裂缝长度 的增加而增加 。 ( 2 )混凝土板和梁的承载能力在峰值荷载点过 后出现明显下降，当断裂能的值较低时，载荷位移 曲线表现出 “ 跳 回”的非稳定特性。 参 考 文 献 [ 1 】 江见鲸， 陆新征， 叶列平．混凝土结构有限元分析【 M] ．北 京 ： 清华大学出版社 ， 2 0 0 5 ． [ 2 J Mo s N，D o l b o w J ，B e l y t s c h k o T ．A fi n i t e e l e me n t me t h o d f o r c r a c k g r o wt h w i t h o u t r e me s h i n g[ J ] ． Int e rna t i o n a l J o u r n a l f o r Nu me ri c a l Me t h o d s i n E n g i n e e r i n g ，1 9 9 9 ， 4 6 ( 1 ) ： 1 3 1 - 1 5 0 ． 『 3 】 T e d B e l y t s c h k o ， R o b e ~G r a c i e ， Gi u l i o V e n t u re A r e v i e w o f e x t e n d e d ／ g e n e r a l i z e d fi n i t e e l e m e n t me t h o d s f o r ma - t e r i a l mo d e l i n g [ J ] ．Mo d e l l i n g a n d S i m u l a t i o n i n Ma t e r i a l s S c i e n c e and E n g ine e ri n g ， 2 0 0 9 ， 1 7 ( 4 ) ： 0 4 3 0 0 1 1 - 2 4 ． I 4 】 Me l e n k J M，B a b u - s k a I ．T h e p a r t i t i o n o f u n i t y fi n i t e e l e me n t me t h o d ： b a s i c t h e o r y a n d a p p l i c a t i o n [ J ] ． C o rn— p u t e r M e t h o d s i n Ap p l i e d M e c h a n i c s a n d E n g i n e e ri n g ， 1 9 9 6 ，1 3 9 ( 1 ) ： 2 8 9 — 3 1 4 ． 【 5 】 J A S e t h i a n吡 a 1．L e v e l s e t me t h o d s a n d f a s t ma r c h i n g me tho d s [ M] ． C a mb ri d g e ：C a mb ri d g e Un i v e r s i ty P r e s s ， 1 9 9 9 ． [ 6 】 Mo s N，B e l y t s c h k o T ． E x t e n d e d fi n i t e e l e me n t me t h o d for c o h e s i v e c rac k gro w t h [ J ] ． E n g i n e e ri n g F rac t u r e Me — c h a n i c s ，2 0 0 2 ，6 9 ( 7 ) ： 8 1 3 — 8 3 3 ． [ 7 ] Hi l l e r b o r g A ，Mo d 6 e r M，P e t e r s o n P E ．An a l y s i s o f c r a c k f o r ma t i o n a n d c r a c k g r o wt h i n c o n c r e t e b y me a n s o f tin c t u r e me c h ani c s a n d fi n i t e e l e me n t s 【 J 】 ． C e me n t a n d C o n c r e t e R e s e arc h ，1 9 7 6 ，6 ( 6 ) ： 7 7 3 — 7 8 1 ． 【 8 】 Go a n g s e u p Z i ， T e d B e l y t s c h k o ．Ne w c r a c k - ti p e l e me n ts f o r X F E M a n d a p p l i c a ti o n s t o c o h e s i v e c rac k s [ J ] ．I n — ter n a t i o n a l J o u r n a l F o r Nu me ri c a l M e t h o d s In E n g i — n e e ri n g ，2 0 0 3 ，5 7 ( 1 5 ) ： 2 2 2 1 - 2 2 4 0 [ 9 】 Q Z X i a o ， B L K a r i h a l o o ， X Y L i u ． I n c r e me n t a l — s e c a n t mo d u l u s i t e r a ti o n s c h e me a n d s t r e s s r e c o v e r y f o r s i mu — l a t i n g c r a c k i n g p r o c e s s in q u a s i - b rit t l e ma t e ri a l s u s i n g XF E M[ J ] ． I n t e r n a ti o n a l J o u r n a l F o r Nu me ri c a l Me t h o d s In E n g l n e e r i n g ， 2 0 0 7 ，6 9 ( 1 2 ) ： 2 6 0 6 — 2 6 3 5 ． 【 1 0 】C a r p i n t e ri A，C o l o m b o G ． Num e ri c a l ana l y s i s o f c a tas - t r o p h i c s o f t e n i n g b e h a v i o u r ( s n a p - b a c k i n s t a b i l i ty ) [ J ] ． C o mp u t e r s a n d S t r u c t u r e s ，1 9 8 9 ，3 1 ( 4 ) ： 6 0 7 - 6 3 6 ． ( 上 接 第 8 O页) 结合简化棱镜追踪法可有效解决风、温度对钢锚箱 线形的影响，保证塔柱测量精度和塔柱控制精度 。 鄂东长江公路大桥南塔采用的逐段修正法和相对测 量结合简化棱镜追踪法 的方案原理清楚 ，实施 方 便，精度可靠，效果良好，值得在同类型桥梁索塔 施工控制 中推广。 参考 文 献 ⋯ 1 西南交通大学土木学院．湖北鄂东长江公路大桥索塔施 工控制手册[ R 】 ． 成都 ： 西南交通大学 ， 2 0 0 8 ． [ 2 】 湖北省交通规划设计院，中交公路规划设计院联合体． 湖北鄂东长江公路大桥施工图设计 ． 湖北 ： 湖北省交 通规划设计院， 2 0 0 7 ． 【 3 】 胡明义， 唐守峰．鄂东长江公路大桥关键技术及特点[ C 】 ， ， 中国公路学会桥梁与结构分会 2 0 0 8年全国桥梁学术 会议论文集． 北京： 人民交通出版社 ， 2 0 0 8 ． 【 4 ] 胡斯彦．鄂东长江公路大桥南塔基础设计方案的优化 [ J 】 ． 桥梁建设 ， 2 0 0 8 ( 2 ) ： 4 9 — 5 2 ． 【 5 ] 彭晓彬 ， 陈杏枝．鄂东长江公路大桥桥塔设计『 J 1 ． 桥梁 建设 ， 2 0 0 9 ( 5 ) ： 4 o - 4 3 ． 【 6 】 李乔，b 一之 ， 张清华．大跨度斜拉桥施工全过程几何 控制概论与应用【 M 】 ．成都 ： 西南交通大学出版 社 ， 2 0 0 9 ． 『 7 】 张永涛，田唯，游新鹏． 3 0 0 i n钢筋混凝土索塔施工 控制方法研究【 J 】 ．中外公路， 2 0 0 8 ( 6 ) ： 1 0 4 — 1 0 7 ． [ 8 J8 张永涛， 罗承斌， 吴启和．苏通长江大桥钢锚箱安装控制 方法研究 中外公路， 2 0 0 8 ( 6 ) ： 1 0 1 — 1 0 3 ． [ 9 ] 刘玉兰， 钱敬， 龚汉甫 ， 崔冰等． 铜陵大桥索塔施工控 制【 J 1 ．桥梁建设， 1 9 9 5 ( 2 ) ： 2 l 一 2 4 ． [ 1 0 1 杜兵 ，刘志德．武汉白沙洲长江大桥索塔挠度变形观 测【 J 】 ．勘察科学技术， 2 0 0 1 ( 5 ) ： 4 8 — 5 2 ． [ 1 1 】孙立功， 杨蕾 ， 张碧． 苏通大桥主5号墩超高索塔施 工测量控制技术[ J 】 ． 铁道标准设计， 2 0 0 8 ( 8 ) ： 7 2 _ 7 4 ． 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m