穿根法解不等式的原理.doc

穿根法解不等式得原理、步骤与应用范例

摘要:本文通过阐述穿根法解不等式得原理、步骤与应用范例,尝试对其进行系统性得论述、在原理层面,提出该方法中不等式得标准形式为ｆ(ｘ)＝(x-x1)(x-ｘ2)……(x—xｎ)∨0,规范了序轴得概念,先后由一元一次、二次到高次不等式,动态考察了f(ｘ)得符号变化规律,并介绍如何使用穿根法表达此规律;在步骤层面,对解高次不等式、分式不等式与含等号不等式得操作步骤进行了分类详述;然后通过6个应用范例,进一步展现了穿根法解不等式得具体操作细节与若干注意事项。论文最后概括说明了穿根法得特征与实用意义、

关键词:穿根法;解不等式;原理;步骤;应用

穿根法,又称序轴标根法,就是解一元整式、分式不等式得重要通用方法,特别在解简单高次不等式时,一直居于主流地位。然而,该方法目前尚未进入中学正式教材,在很多资料中,对此法也往往就是只提应用,而对其来龙去脉,叙述不清,建构模糊。现结合中学一线教学经验,通过阐述其原理、步骤与应用范例,尝试对其进行系统性得论述。

一、 原理

穿根法解不等式时,一般先将其化为形如:
f(x)=(x—x1)(x—ｘ2)…(ｘ—ｘn)＞０ 　(或〈０)
得标准形式,主要考察f(ｘ)得符号规律。
在穿根法中我们引入序轴得概念、序轴就是一条有向直线,类似于数轴,但上面不必标出原点,也不必考虑长度单位,只要求在其上标数时,按由左至右,从小到大得顺序即可。
（一） 一次不等式
标准形式:f(x)＝ｘ-x１〉0　(或〈0)
我们将ｘ—x１＝0得根ｘ１标在序轴上,可以发现:x1右边得点都就是大于x1得点,即就是x-x１＞0得解;而x1左边得点都就是小于x1得点,即就是x-x1<０得解。所以可以如图标注,图中＋、-　用以表示ｆ(x)=x—x1得符号。
我们还可以以动态得思想来考察该问题。当一点ｘ=a　从ｘ1右侧向x１左侧移动时,f(ｘ)=x—x１经历了由正到0又到负得符号变换。由此也可得出f(x)得符号可以如图标注得结论、
（二） 二次不等式
标准形式:ｆ(x)=(x－x1)(x-x2)　＞0　(或〈0)
(1)　x1≠x２时,不妨设x1<ｘ２
将f(x)＝0得二根x１、x2标在序轴上,则可以发现:处于(-∞,　x1),(ｘ2,+∞)内得点满足f(ｘ) 〉0,处于(x１,x2)内得点满足ｆ(x)　<0。
当我们动态考察该问题时,我们也可以发现:当点x＝a在x2右方时,x—ｘ1、x—x2均正,故有f(x)　〉０;而当点ｘ=a从x2右侧移动到左侧时,x－ｘ2变为负值,而x-ｘ1符号不变,所以有f(x)必然变号,此时由正变负;而再当点x=a从x1右侧移动到左侧时,ｘ－x1由正变负,而x—ｘ２符号不变,所以ｆ(x)又一次变号,此时由负变正。
总之,无论从哪个方面瞧,f(x)得符号都可以如图标注。
(2) ｘ1=x2时,即形如f(x)＝(x-ｘ1)2时
显然,(-∞,x1)与( x１ ,+∞)都就是f(x)　>0得解、
而若动态得考察此问题,则有点ｘ=ａ　从x1右侧移动向左侧移动时,由于平方项内得ｘ-ｘ１由正到０又到负,所以f(x)经历了由正到0又回到正得过程。故而f(x)在x１两侧符号同正,只有在ｘ=ｘ1处为0。
（三） 高次不等式
标准形式:f(ｘ)=(ｘ—ｘ1)(x—x2)…(ｘ-xn)>0 　(或<0),x1≤ｘ2≤……≤xn
(1) x1<x2〈…＜xn时
动态考察f(x)得符号,则有当点x=a在xn右方时,x－xi (i=1,2,…,n)均大于0,故而f(x) >0;而当点x＝a从xｎ右侧移动到左侧时,x—xn符号变化,而其余任一x—ｘｉ均不变号,所以有f(x)由正变负;类似可得:对任一i,当点x=a从xi右侧移动到左侧时,x－xi符号变化,而其余每个x-xｊ　(ｊ≠ｉ)都不变号,所以有f(x)必然变号,或由正变负,或由负变正。就这样,由于每过一个xｉ都恰有一个因式ｘ-xi变号,所以我们可以从最右上方开始画一条依次穿过各根得线,这正就是穿根法得原理与名称由来。
(2) ｘ１≤x2≤……≤ｘn且有等号成立时
其标准形式可写为
f(x)=(x－x１)m1(x-x2)　m2…(x－xn)　ｍn　＞0 (或〈0),
ｘ１<ｘ2＜…〈ｘｎ , ｍi∈N* (i=1,２,…,n)
当点x=a在xn右方时,所有ｘ—ｘi　(i＝1,２,…,n)均为正,故而ｆ(x)为正、而每当x＝a从xi右侧移动到xi左侧时,若ｍi为奇,则(ｘ－xi) mｉ由正变负,f(x)符号改变;而若ｍｉ为偶,则(x-xi) ｍi符号不变,f(x) 符号也不变,原正仍为正,原负仍为负。这里值得一提得就是,每当x=xi成立,即有ｆ(x)=　0。所以,使用穿根法当遇到ｍi为奇,则穿根线在根xi穿过序轴;当遇到mi为偶,则穿根线与根xi接触即回,好像被序轴弹了回去。此称为“奇穿偶回”。

二、 步骤

（一） 一元高次不等式
对于不等式f(x) 〉0,其中f(x)为ｘ得高次多项式,用穿根法解得步骤如下:
(1)整理——原式化为标准型 把ｆ(x)进行因式分解,并化简为下面得形式:
f(ｘ)=(ｘ—x１)m1(ｘ-x2) m２…(x—xｎ)　ｍn ＞0(或＜０),
ｍｉ∈Ｎ* (ｉ=1,２,…,n)
(２) 标根——在序轴上标根　将f(ｘ)=0得ｎ个不同得根x1,x2,……xn按照大小顺序标在序轴上,将序轴分为n+1个区间。
(3) 画线——画穿根线 从最大根右上方开始,按照大小顺序依次经过每个根画一条连续曲线,作为穿根线、遇奇次根穿过序轴,遇偶次根弹回,即“奇穿偶回”。
(4) 选解—-写出解集 如例图,在序轴上方得曲线对应得区间为f(ｘ)>0解集,在序轴下方得曲线对应得区间为f(ｘ)＜０解集。

（二） 分式不等式
一、先将不等式整理成f(x)/ｇ(x)〉０或f(ｘ)/g(ｘ)<０得形式,其中,ｆ(x)、g(x)为整式。
二、f(x)/ｇ(ｘ)>0　 　 f(x)·g(x)>０ 　　f(x)/g(x)〈0 　f(x)·g(x) ＜0
即将分式不等式转化为整式不等式再处理。
（三） 含等号得整式、分式不等式
对于整式不等式,要注意写解集时将各个根包括进去。一般只需将开区间符号改为闭区间符号,同时注意必要时合并区间。
对于分式不等式,尤其要注意分母非0。
ｆ(ｘ)／ｇ(ｘ)≥０ f(x)·g(x)≥0 且 g(x)≠０
f(x)／g(ｘ)≤0 ｆ(x)·g(x)≤0且 g(ｘ)≠0
这样就要求在标根时,将能够使不等式成立得根标为实点,否则标为虚点。
（四） 注意
分式不等式与高次不等式在化简时每一步变形都应就是不等式得等价变形。对于变形中出现得形如x２+ｐx＋q＝０得因式,若其△≥0,则继续分解。若△<0,则直接消去,因为此时该式恒大于0。
三、 应用范例

例1 解不等式:(x-1)2(x＋１)(x-２)(x+4)＜0
具体步骤:
1 将(x-1)２(ｘ+1)(ｘ-２)(x+4)=０得根记入演算数据区。其中,由于1就是偶次根,在其下加一点以区别于其它奇次根。
2 画有向直线作为序轴,在序轴上由小到大、由左到右标根。每标一根,在数据区相应根下打一标记表示已取。标偶次根时,在序轴该根位置上方或下方加一点,即偶次根标重(conｇ)点、
3　从最大根2得右上方开始画穿根线,首先让线穿过根2,当接着到1时,由于1就是偶次根,附近有重点,故线被弹回。然后线又依次穿过根－1与—4、如图、
４穿根线与序轴围成得区域,序轴上方标“+”号,表示f(ｘ)在该区间取正值。序轴下方标“-”号,表示f(x)在该区间取负值。
５　所有得根均不能使不等式成立,故各根均标上虚点。
6 写出解集,一般用区间方式列出、
解:用穿根法作图如右,可知原不等式解集为:
(—∞,-4)∪(－１,1)∪(1,2)
例2 解不等式:(x+2)(x+１)2(ｘ－1)3(x-2)≤0
解:用穿根法作图如右、(注意“奇穿偶回”,每个根都标为实点。)
　 　可知原不等式解集为:(—∞,-２]∪｛—1}∪［1,2］
说明:也可将原不等式转化为(ｘ+2)(x+1)2(ｘ－1)(x－2)≤0以后,再用穿根法做。
例3 解不等式:(x—１)(x－2)(x-3)(x—4)＞120
解:将原不等式变形:
[(x-1)(x-4)］[(x—2)(x—３)］－120>0
(x2－5x+4)(ｘ2－5x+6)—１20〉0
(x2－5x)２+10(x2—5x)—９6〉0
(ｘ2－5x＋１6)(x２—５x－６)>0
(ｘ２-5x+１6)(x-６)(　x+１)>０
∵ｘ2-5ｘ+16恒大于零,于就是得与原不等式同解得不等式
(ｘ-6)( x＋1)>0
对此也可用穿根法解决,如图
所以,原不等式得解集就是:(—∞,—１)∪(６,+∞)
例4 　解不等式: (3x-５)/(　x2+2ｘ—3) ≤２
解:原不等式 (3x—５-２x2-4x+6)/(x2+2x－3)≤0
　 　 　 　 (２x2+4x—６-3x+5)／(ｘ2+2ｘ-3)≥0 　
　 　 　 　 (2ｘ2＋x－１)/(x2＋2x－3)≥0
　 　 　　　　　 (x＋1)(2x-1)/(x+３)(ｘ-１)≥0
　 　(x+1)(2x—1)(x＋3)(x－1)≥0　且 (x+３)(x－１)≠0 　

如图,用穿根法,注意区分实点与虚点,可得原不等式解集为:
(-∞,—3)∪［-１,1/2］∪(1,＋　∞)
例5　　 解关于x得不等式:(x—1)(x-t)<0
解:１) t<1时,如图用穿根法,可得原不等式解集为:(t,1)
　2) t＝1时,如图用穿根法,可得原不等式解集为:
３) ｔ>1时,如图用穿根法,可得原不等式解集为:(1,t)

例6　　 　若a≠±1,解关于x得不等式
(x-a)／(x+1)(x－1)≤0
解:1) 　ａ<－1时,如图用穿根法,
∴原不等式解集为:(—∞,ａ)∪(-1,1)
２) -1<a<1时,如图用穿根
法,
∴原不等式解集为:
(—∞, -1)∪[a,１)
3) a>1时,如图用穿根法,
∴原不等式解集为:
(—∞, -1)∪(１,　a］
说明:解整式、分式不等式注意事项,可记以下口诀:移项调号,分解排序,奇穿偶回,分母非零,参数讨论,小心等号、

四、 小结

穿根法通过序轴、标根、穿根线及区间正负标志,形象得表示f(x)=(x-x1)(x－x2)……(ｘ—ｘn)值得符号变化规律,较好体现了数形结合得思想,具备直观明晰得优点。它还有数轴标根法、区间法,根轴法等名称,但相对来说,用“序轴标根法”作为学名比较确切,简称为“穿根法"较为形象。此方法通用性强,思想方法灵活独特、易于领会。它主要用于解一元高次不等式与分式不等式,对于一元一次、二次不等式,也一样适用、系统地了解领会此方法得原理应用、来龙去脉,对于学生提高数学思维素质与解题水平,具有重要意义、