第四节格林公式.pptx

第四节第四节 格林公式格林公式一、格林一、格林(Green)公式公式二、曲线积分与路径无关的条件二、曲线积分与路径无关的条件一、格林公式一、格林公式1.区域连通性区域连通性设设 D 为平面区域为平面区域,如果如果 D 内任一闭曲线所围成的内任一闭曲线所围成的部分都属于部分都属于 D,则称则称 D 为平面单连通区域为平面单连通区域,否则否则称为复连通区域称为复连通区域.复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD D由由L1与与L2连成连成2.正向边界曲线正向边界曲线 D+D由由L1与与L2组成组成边界曲线边界曲线 D 的正向的正向:当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区域区域D总总在他的左边在他的左边.D的正向边界曲线记为的正向边界曲线记为:D+.平面单连通区域平面单连通区域:边界曲线的逆时针方向为正向边界曲线的逆时针方向为正向.平面复连通区域平面复连通区域:边界曲线的外圈边界曲线的外圈,逆时针方向为正向逆时针方向为正向,边界曲线的里圈边界曲线的里圈,顺时针方向为正向顺时针方向为正向.3、格林、格林(Green)公式公式定理定理1 1 设设 xoy 面上的有界闭区域面上的有界闭区域 D 的边界曲线的边界曲线 D由有限条光滑或分段光滑的曲线所组成由有限条光滑或分段光滑的曲线所组成,函数函数 P(x,y),Q(x,y)在在 D 上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数,则有则有:公式公式(1)叫做叫做格林公式格林公式.格格林林公公式式的的实实质质:沟沟通通了了沿沿闭闭曲曲线线的的积积分分与与二二重重积积分之间的联系分之间的联系.证明证明(1)(1)若区域若区域D既是既是x型又是型又是y型型,yxoDabAB证明证明(1)(1)若区域若区域D既是既是x型又是型又是y型型,yxoDcdCEAB同理可证同理可证两式相加得两式相加得证明证明(2)(2)D若区域若区域D由按段光滑的由按段光滑的闭曲线围成闭曲线围成.如图如图,将将D分成三个既是分成三个既是 x 型又是型又是 y 型的型的区域区域D1,D2,D3.GDFCEAB证明证明(3)(3)由由(2)知知 若若D是复连通区域是复连通区域,添加直线段添加直线段AB,CE.则则 D由由AB,BA,AFC,CE,EC及及CGA构成构成.对复连通区域对复连通区域D,格林公式右端应包括沿格林公式右端应包括沿D的全部边界的的全部边界的曲线积分曲线积分,且每条闭曲线的走向对且每条闭曲线的走向对D来说都是正向来说都是正向 应注意的问题应注意的问题：4、格林公式的格林公式的简单应用简单应用情形情形1：L是封闭曲线且在是封闭曲线且在L所围区域所围区域D内内P、Q无奇点无奇点,1)简化第二类曲线积分简化第二类曲线积分 的计算的计算.(奇点：奇点：P 或或Q无定义或偏导不存在或偏导不连续的点无定义或偏导不存在或偏导不连续的点)xyo则可直接应用格林公式则可直接应用格林公式.xyo解解记记L所围区域为所围区域为 D,情形情形2：L 是非封闭曲线是非封闭曲线,解解D作定向线段作定向线段它与它与L所围闭区域记为所围闭区域记为 D,可添加辅助线化为情形可添加辅助线化为情形1.2)简化二重积分的计算简化二重积分的计算xyo解解3)利用第二类曲线积分可求闭曲线所围区域的面积利用第二类曲线积分可求闭曲线所围区域的面积.格林公式格林公式:闭区域闭区域 D 的面积的面积A 解解5.应用格林公式时一定要注意条件应用格林公式时一定要注意条件1)公式中有向曲线应为区域公式中有向曲线应为区域 D 的的正向正向边界边界.解解 记记 L 所围闭区域为所围闭区域为 D,解解2)L 是封闭曲线但在是封闭曲线但在L 所围区域所围区域 D 内内P、Q有奇点有奇点,则则不能直接应用不能直接应用格林公式格林公式.记记 L 围成的闭区域为围成的闭区域为 D,则当则当 x 2+y 2 0 时时,有有:(1)当当(0,0)D 时时,xyoL(2)当当(0,0)D 时时,l 取顺时针方向取顺时针方向.作位于作位于D内圆周内圆周 l:x 2+y 2=r 2,记记 L 和和 l 所围成区域为所围成区域为 D1,则有：则有：yxo格林公式格林公式小结小结:1.格林公式：格林公式：2.格林公式的应用格林公式的应用.应用格林公式计算应用格林公式计算 时应注意两点：时应注意两点：1)L必须是封闭曲线必须是封闭曲线,且二重积分易算出且二重积分易算出.若若L不封闭不封闭,要添加辅助线使之封闭要添加辅助线使之封闭,且添加部分的线积分易算出且添加部分的线积分易算出.2)P(x,y),Q(x,y)在所考虑区域上应有连续偏导在所考虑区域上应有连续偏导.若存在奇点必须用特殊曲线挖掉奇点若存在奇点必须用特殊曲线挖掉奇点.二、二、平面平面曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件 1 1、曲线积分与路径无关的定义、曲线积分与路径无关的定义GyxoBA即即G内恒有内恒有否则与路径有关否则与路径有关.2.定理定理与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题在在单单连连通通区区域域G上上,P(x,y),Q(x,y)具具有有连连续续的一阶偏导数的一阶偏导数,则以下四个命题等价则以下四个命题等价.注注:定理的两个条件缺一不可定理的两个条件缺一不可证明证明(1)(2)设设L1,L2为为D 内内任意任意两条由两条由A 到到B 的有向分段光滑曲线的有向分段光滑曲线,说明说明:积分与路径无关时积分与路径无关时,曲线积分可记为：曲线积分可记为：在在D内取定点内取定点 A(x0,y0)和任一点和任一点B(x,y),则则同理可证同理可证因此有因此有因曲线积分与路径无关因曲线积分与路径无关,故存在函数故存在函数 证明证明(2)(3)设存在函数设存在函数 u(x,y)使得使得则有：则有：由于由于Py,Qx在在 D 内连续内连续,从而在从而在D内每一点都有内每一点都有证明证明(3)(4)设设L为为D中任一分段光滑闭曲线中任一分段光滑闭曲线,所围区域为所围区域为D D(如图如图),证明证明(4)(1)则在则在D D 上有上有利用利用格林公式格林公式,得得证毕证毕例例4 4(1)抛物线抛物线 (2)抛物线抛物线 (3)有向折线有向折线 8.3 中中我们已求得沿三条路线都有我们已求得沿三条路线都有这里这里P=2xy，Q=x2在整个平面内恒有在整个平面内恒有所以曲线积分与路径无关所以曲线积分与路径无关我们前面已求得：我们前面已求得：当当(0,0)D时时,当当(0,0)D时时,这里这里只有当只有当 x 2+y 2 0 时时,才才有有：即在原点处不满足定理条件即在原点处不满足定理条件,所以闭曲线积分是否为零与闭曲线是否绕原点有关所以闭曲线积分是否为零与闭曲线是否绕原点有关应用应用:对某些第二类曲线积分可改变其路径简化计算对某些第二类曲线积分可改变其路径简化计算.L解解故曲线积分与路径无关故曲线积分与路径无关.取取定向直线段定向直线段L1为：为：y=x,x:01,y=x则有：则有：OABLxy解解故曲线积分与路径无关故曲线积分与路径无关.取取定向折线段定向折线段：解解故在上半平面曲线积分与路径无关故在上半平面曲线积分与路径无关.注意注意 本题本题 L1 不能取不能取 x 轴上有向线段轴上有向线段 AB.解解故曲线积分与路径无关故曲线积分与路径无关.取取 L1 为为:x=0,(y:02),取取 L2 为为:y=2,(x:01),三、二元函数的全微分求解三、二元函数的全微分求解1、定义、定义 对式子对式子:P(x,y)dx+Q(x,y)dy,若存在某个函若存在某个函数数u(x,y)使使 du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,则称则称 P(x,y)dx+Q(x,y)dy 是函数是函数u(x,y)的全微分的全微分.若若 P dx+Q dy 在区域在区域 G 内是某个函数的内是某个函数的 的全微分的全微分,这时也称这时也称u(x,y)是是P(x,y)dx+Q(x,y)dy的一个原函数的一个原函数.求求 P dx+Q dy原函数的一个方法：原函数的一个方法：证证 令令故故 Pdx+Qdy是某个函数的全微分是某个函数的全微分.其一个原函数为：其一个原函数为：问：问：u(x,y)是唯一的吗？是唯一的吗？解解故曲线积分与路径无关故曲线积分与路径无关.例例 验证验证在右半平面在右半平面(x 0)内存在原函内存在原函数数,并求出它并求出它.证证 令令则则故当故当x 0时时,原函数存在原函数存在.问：问：为什么为什么(x0,y0)不取不取(0,0)?2、二元函数的全微分方程求解、二元函数的全微分方程求解(1)定义定义 若一阶微分方程可写为若一阶微分方程可写为P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,且满足且满足 Qx=Py,则称之为则称之为全微分方程或恰当方程全微分方程或恰当方程.(2)解法解法:若若 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 是全微分方程是全微分方程,则微分方程通解为：则微分方程通解为：u(x,y)=C.解解故方程是全微分方程故方程是全微分方程,故原方程的通解为故原方程的通解为例例3 3解解曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关,第二类曲线积分常用计算方法小结第二类曲线积分常用计算方法小结:1.直接化为定积分计算直接化为定积分计算.2.用格林公式用格林公式:(1)L 封闭封闭,且且 D 内无奇点内无奇点 (2)L 非封闭：添加辅助线非封闭：添加辅助线 (3)D内有奇点：挖去奇点内有奇点：挖去奇点3.曲线积分与路径无关时曲线积分与路径无关时,改变积分路径简化计算改变积分路径简化计算.思考思考:在单连通区域在单连通区域G内内,若若P(x,y)和和Q(x,y)C(1)(G)(1)如何计算如何计算G内的内的闭闭曲线积分曲线积分(2)如何计算如何计算G内的内的非闭非闭曲线积分曲线积分*三、曲线积分基本定理三、曲线积分基本定理定定理理3 3 设设 =AB是是一一条条光光滑滑或或分分段段光光滑滑的的定定向向曲曲线线,函数函数 f(x,y,z)的偏导数在的偏导数在 上连续上连续,则有则有法二法二故原函数存在故原函数存在.