经济数学23微分.pptx

ESC一一.微分的定义微分的定义 一一.微分的定义微分的定义 先看一个具体例子先看一个具体例子.给定函数给定函数 ，当，当 取得取得改变量改变量 时，相应的因变量的改变量为时，相应的因变量的改变量为其中其中 是是 的线性函数，而对于的线性函数，而对于 ，当，当 时，有时，有 和和 后者这一性质也称为当后者这一性质也称为当 时，时，是是 高高阶无穷小，记作阶无穷小，记作.当当 很小时，很小时，虽然也很小，但是虽然也很小，但是 是是 的高阶无穷小，在求的高阶无穷小，在求 时仍可忽略不计，故有时仍可忽略不计，故有.这时把这时把叫做函数叫做函数 在点在点 处的微分，记作处的微分，记作 定定理理1 设设函函数数 在在 处处可可导导，对于自变量在对于自变量在 处的改变量处的改变量 ，函数，函数 相应的改变量相应的改变量 可表示为可表示为其其中中 为为主主要要部部分分（线线性性主主部部），而而 为次要部为次要部分。分。一一.微分的定义微分的定义 ESCESC 一一.微分定义微分定义 一一.微分定义微分定义 函数的微分函数的微分 函数的导数函数的导数密切相关密切相关定义定义2.5 设函数设函数 在点在点 可导可导,自变量自变量在点在点 的改变量为的改变量为 ,乘积乘积 称为函数在点称为函数在点 的微分的微分.这时这时,也称函数也称函数 在点在点 可微可微.函数的微分记作函数的微分记作 ,即即 通常把自变量通常把自变量 的改变量的改变量 称为自变量的微分称为自变量的微分,记作记作 ,即即 于是函数于是函数 的微分的微分,一般记作一般记作 即即函函数数的的微微分分等等于于函函数数的的导导数数与与自自变变量量的微分的乘积的微分的乘积.ESC因变量因变量 的微分的微分 自变量自变量 的微分的微分 可写作可写作即函数的导数即函数的导数 若函数若函数 在区间在区间 上的每一点都可微上的每一点都可微,则称则称 在在区间区间 上可微上可微,或称或称 为区间为区间 上可微函数上可微函数.等于函数的微分与等于函数的微分与自变量的微分之商自变量的微分之商.即即 若若 ,则函数则函数 在点在点 的微分的微分,记作记作 一一.微分定义微分定义 ESC 对函数对函数 只要能求出只要能求出 再乘以再乘以 便可得函数便可得函数的微分的微分例例1 1据微分定义据微分定义 知知 求函数求函数 的微分的微分 解解先求导数先求导数.由幂函数的导数公式由幂函数的导数公式 于是于是,函数函数 的微分的微分 一一.微分定义微分定义 ESC 一一.微分定义微分定义 例例2 2求函数在，时求函数在，时的改变总量及微分的改变总量及微分解解；.可见可见.ESC例例3 3解解由导数与微分的关系由导数与微分的关系,先求导数先求导数.由乘积的导数公式由乘积的导数公式 于是于是,所求函数的微分所求函数的微分 一一.微分定义微分定义 已知已知 求求 。ESC例例4 4解解由导数与微分的关系由导数与微分的关系,先求导数先求导数.于是于是,所求函数的微分所求函数的微分 设设 求求 一一.微分定义微分定义 ESC 一一.微分定义微分定义 例例5 5 求下列函数的微分：求下列函数的微分：(1)(1)；(2)(2)解解(1)(1)所以所以 (2)(2)，ESC一一.微分定义微分定义TNMy=f(x)xyP二、微分的几何意义：二、微分的几何意义：Q函数微分的函数微分的几何意义几何意义就是：在曲线就是：在曲线上某一点上某一点 处当自变量取得改变量处当自变量取得改变量时，曲线在该点处切线纵坐标的改变量时，曲线在该点处切线纵坐标的改变量ESC一一.微分定义微分定义 三、可导与可微的关系三、可导与可微的关系函数函数 在点在点 处可微处可微 在在 处处可导。且可导。且 ESC 2.2 导数运算导数运算 一定一定要熟要熟记记!二二.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式 一、微分一、微分公式公式ESC 2.2 导数运算导数运算 二二.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式 练习：选取适当的函数填入括号内，使下列等式成立练习：选取适当的函数填入括号内，使下列等式成立ESC 2.2 导数运算导数运算 二二.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式 二、微分的四则运算法则二、微分的四则运算法则设函数设函数 ，可微，可微 ，则，则（c为常数）为常数）ESC 2.2 导数运算导数运算 二二.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式 以为中间变量的复合函数以为中间变量的复合函数 的微分的微分无论是自变量还是中间变量，无论是自变量还是中间变量，的微分总可以用与的乘积来表示的微分总可以用与的乘积来表示函数微分的这个性质叫做函数微分的这个性质叫做微分形式的不变性微分形式的不变性三、微分形式的不变性三、微分形式的不变性，ESC 2.2 导数运算导数运算 二二.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式 例例6 6 设 ，求 解：由微分形式不变性得：解：由微分形式不变性得：ESC 2.2 导数运算导数运算 二二.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式 例例7 7 求下列函数的微分求下列函数的微分解解 用微分运算法则计算用微分运算法则计算ESC 2.2 导数运算导数运算 二二.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式 ESC 2.2 导数运算导数运算 三三.微分在商务计算中的应用微分在商务计算中的应用利用微分可以进行近似计算利用微分可以进行近似计算.由微分的定义知，在点由微分的定义知，在点 ，当很，当很小时，有近似公式小时，有近似公式这个公式可以直接用来计算函数增量的这个公式可以直接用来计算函数增量的近似值近似值，即即这个公式则可以用来计算函数在某一点附这个公式则可以用来计算函数在某一点附近的函数值的近似值近的函数值的近似值ESC 2.2 导数运算导数运算 三三.微分在商务计算中的应用微分在商务计算中的应用令令则则若取若取 当当 很小时，又有近似公式：很小时，又有近似公式：常用的近似公式常用的近似公式：（很小时）很小时）例如例如ESC 2.2 导数运算导数运算 三三.微分在商务计算中的应用微分在商务计算中的应用例例8 8设某国的国民经济消费模型为设某国的国民经济消费模型为其中：为总消费其中：为总消费(单位：十亿元单位：十亿元)；为可支；为可支配收入单位：十亿元配收入单位：十亿元).).当时，问总当时，问总消费是多少？消费是多少？解解令，因为相对令，因为相对于较小，可用上面的近似公式来求值于较小，可用上面的近似公式来求值ESC 2.2 导数运算导数运算 三三.微分在商务计算中的应用微分在商务计算中的应用(十亿元十亿元)ESC 2.2 导数运算导数运算 三三.微分在商务计算中的应用微分在商务计算中的应用例例9 9 某商店每周销售商品某商店每周销售商品 件，所获得利润件，所获得利润依下式计算依下式计算 当每周销售量由当每周销售量由1010件增加到件增加到1111件时，件时，试用微分计算利润增加的近似值试用微分计算利润增加的近似值.解 依题意有依题意有，故故 故故所以所以ESC 2.2 导数运算导数运算 三三.微分在商务计算中的应用微分在商务计算中的应用有有当该商店每周销售量由当该商店每周销售量由10件增至件增至11件时，件时，其增加的利润约为其增加的利润约为8元元.例例1010 设某商品的需求函数为，设某商品的需求函数为，其中其中 为单位商品的价格（元），为单位商品的价格（元），为某商为某商品的月需求量（千件）品的月需求量（千件）.试用微分方法求当试用微分方法求当该商品的价格从该商品的价格从8元增加到元增加到8.5元时，元时，月需求量变化的情况月需求量变化的情况.ESC 2.2 导数运算导数运算 三三.微分在商务计算中的应用微分在商务计算中的应用解解 依题意依题意，（千件）（千件）（件）（件）故该商品当价格从故该商品当价格从8元增加到元增加到8.5元时，元时，月需求量减少约月需求量减少约165件件.ESC 2.2 导数运算导数运算 内容小结内容小结1.微分概念微分概念 微分的定义及几何意义微分的定义及几何意义 可导可导可微可微2.微分运算公式及运算法则微分运算公式及运算法则计算函数计算函数 的微分有两种方法：的微分有两种方法：（1）先求导数）先求导数 ，再乘上，再乘上 。便得到。便得到（2）直接用基本初等函数的微分公式和微分运）直接用基本初等函数的微分公式和微分运算法则。算法则。3.微分的应用微分的应用近似计算近似计算ESC课堂练习课堂练习一、求下列函数的微分一、求下列函数的微分（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）二、求下列函数的近似值二、求下列函数的近似值ESC课堂练习课堂练习三、应用题三、应用题 18301830年代后期，法国生理学家普瓦泽伊年代后期，法国生理学家普瓦泽伊（Jean Poiseuille）发现了今天我们仍在用来预测）发现了今天我们仍在用来预测必须扩张部分受阻塞的动脉半径多少才能恢复正必须扩张部分受阻塞的动脉半径多少才能恢复正常的血液流动他的公式为常的血液流动他的公式为 即流体以固定的压力在单位时间内流过的细管即流体以固定的压力在单位时间内流过的细管的体积的体积V等于一个常数乘以管半径的四次幂等于一个常数乘以管半径的四次幂问问：半径半径r增加增加10%10%对对V的影响有多大？的影响有多大？ESC课堂练习课堂练习解解 因为因为 所以，所以，r 的微分和的微分和V的微分之间的关系为的微分之间的关系为V 的相对变化为的相对变化为即即V的相对变化为的相对变化为4 4倍的倍的r 的相对变化，故的相对变化，故10%10%的的r 增加将产生增加将产生40%40%的流量增长的流量增长ESC布置作业布置作业P41习题习题2.4 1、3