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情形一:积分区域关于坐标轴对称
定理4 设二元函数在平面区域连续,且关于轴对称,则
1)当(即是关于的奇函数)时,有
.
2)当(即是关于的偶函数)时,有
.
其中是由轴分割所得到的一半区域。
例5 计算,其中为由与围成的区域。
解:如图所示,积分区域关于轴对称,且
即是关于的奇函数,由定理1有.
类似地,有:
定理5 设二元函数在平面区域连续,且关于轴对称,则
其中是由轴分割所得到的一半区域。
例6 计算其中为由所围。
解:如图所示,关于轴对称,并且,即被积分函数是关于轴的偶函数,由对称性定理结论有:
.
定理6 设二元函数在平面区域连续,且关于轴和轴都对称,则
(1)当或时,有
.
(2)当时,有
其中为由轴和轴分割所的到的1/4区域。
9例7 计算二重积分,其中: .
解:如图所示,关于轴和轴均对称,且被积分函数关于和是偶函数,即有
,由定理2,得
其中是的第一象限部分,由对称性知,,
故.
情形二、积分区域关于原点对称
定理7 设平面区域,且关于原点对称,则当上连续函数满足
1)时,有
2)时,有.
例8 计算二重积分,为与所围区域.
解:如图所示,区域关于原点对称,对于被积函数,有
,有定理7,得
.
情形三、积分区域关于直线对称
定理8 设二元函数在平面区域连续,且,关于直线对称,则
1);
.
2)当时,有.
3)当时,有.
例9 求,为所围.
解:积分区域关于直线对称,由定理8,得
,
故
.
类似地,可得:
定理9 设二元函数在平面区域连续,且,关于直线对称,则 (1)当,则有;
(2)当,则有.
例10 计算,其中为区域:, .
解:如图所示,积分区域关于直线对称,且满足,
由以上性质,得:
.
注:在进行二重积分计算时,善于观察被积函数的积分区域的特点,注意兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性,恰当地利用对称方法解题,可以避免繁琐计算,使二重积分的解答大大简化。
钟子期听懂了俞伯牙的琴音——“巍巍乎若高山,荡荡乎若流水”,俞伯牙视其为知音。钟子期死后,面对江边一抔黄土,俞伯牙发出“此曲终兮不复弹,三尺瑶琴为君死”的感慨,摔琴而去,从此,高山流水,知音难觅。
红楼里,宝钗与黛玉皆爱宝玉,宝钗看重功名,常拿一些伦理纲常来压制他的不羁与顽劣,黛玉却从未提及这些,因她懂得他的心性,她说“ 你既为我之知己,自然我亦是你之知己”,造化弄人,木石前缘虽是虚空一场,却怀金悼玉,梦萦千古,今日读来依然荡气回肠!
不是所有的相遇都可以相知,不是所有的相知都可以永恒。生命里,我们只愿结交那些心性相宜的人,统一的语言,相同的志趣,将彼此的心灵拉近,一份懂得,不言不语,却在默契里滋生。
懂得,是两颗心的对望,潜生一种心灵感应,不发一言,便可知会。一声懂得,没有千言万语,却可以令人眸中含泪,心中蕴暖。
这世间太多人情薄凉,你是否觉得,有一个真正懂你的人,是一种幸福与慰藉呢?茫茫人海,你不孤单,有人愿与你同运命,共风雨,如此,多好!
风懂云的情怀,它,轻轻的吹送,云姿更加漫妙;雪懂梅的寒傲,它,悄悄的绽放,梅骨愈加清奇;泉懂山的伟岸,它,静静的流淌,山林更为葱茂;雨懂花的心思,它,无声的洒落,花香尤为清绝……
杏花疏影小楼边,一腔笛韵委婉悠扬;山亭古寺四月间,深涧桃花兀自娇娆;暗香疏影黄昏后,东篱素菊暗香盈袖;柴门冬雪夜归人,红泥火炉绿蚁新醅……若懂得,景与物,也相宜。
彷徨失意时,一句懂得,是严冬的一场花开春暖,茫然无助时,一句懂得, 是酷暑的一阵清凉细雨,心与心的贴近,皆因一个“懂得”而欣慰,美好。
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