1、
情形一：积分区域关于坐标轴对称
定理4 设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称，则
1)当（即是关于的奇函数）时，有
.
2)当（即是关于的偶函数）时，有
.
其中是由轴分割所得到的一半区域。
例5 计算，其中为由与围成的区域。
解：如图所示，积分区域关于轴对称，且
即是关于的奇函数，由定理1有.
类似地，有：
定理5 设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称，则
其中是由轴分割所得到的一半区域。
例6 计算其中为由所围。
解：如图所示，关于轴对称，并且，即被积分函数是关于轴的偶函数，由对称性定理结
2、论有：
.
定理6 设二元函数在平面区域连续，且关于轴和轴都对称，则
（1）当或时，有
.
（2）当时,有
其中为由轴和轴分割所的到的1/4区域。
9例7 计算二重积分，其中： .
解：如图所示，关于轴和轴均对称，且被积分函数关于和是偶函数，即有
，由定理2，得
其中是的第一象限部分，由对称性知,，
故.
情形二、积分区域关于原点对称
定理7 设平面区域,且关于原点对称,则当上连续函数满足
1)时,有
2)时,有.
例8 计算二重积分,为与所围区域.
解:如图所示,区域关于原点对称,对于被积函数,有
,有定理7,得
.
3、
情形三、积分区域关于直线对称
定理8 设二元函数在平面区域连续,且,关于直线对称,则
1);
.
2)当时,有.
3)当时,有.
例9 求,为所围.
解:积分区域关于直线对称,由定理8,得
,
故
.
类似地，可得：
定理9 设二元函数在平面区域连续,且,关于直线对称,则 （1）当,则有；
(2)当,则有.
例10 计算,其中为区域:, .
解:如图所示,积分区域关于直线对称,且满足,
由以上性质,得:
.
注：在进行二重积分计算时,善于观察被积函数的积分区域的特点,注意兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性,恰当地利用对称方法解题,可
4、以避免繁琐计算,使二重积分的解答大大简化。
钟子期听懂了俞伯牙的琴音——“巍巍乎若高山，荡荡乎若流水”,俞伯牙视其为知音。钟子期死后，面对江边一抔黄土，俞伯牙发出“此曲终兮不复弹，三尺瑶琴为君死”的感慨，摔琴而去，从此，高山流水，知音难觅。
红楼里，宝钗与黛玉皆爱宝玉，宝钗看重功名，常拿一些伦理纲常来压制他的不羁与顽劣，黛玉却从未提及这些，因她懂得他的心性，她说“ 你既为我之知己，自然我亦是你之知己”,造化弄人，木石前缘虽是虚空一场，却怀金悼玉，梦萦千古，今日读来依然荡气回肠！
不是所有的相遇都可以相知，不是所有的相知都可以永恒。生命里，我
5、们只愿结交那些心性相宜的人，统一的语言，相同的志趣，将彼此的心灵拉近，一份懂得，不言不语，却在默契里滋生。
懂得，是两颗心的对望，潜生一种心灵感应，不发一言，便可知会。一声懂得，没有千言万语，却可以令人眸中含泪，心中蕴暖。
这世间太多人情薄凉，你是否觉得，有一个真正懂你的人，是一种幸福与慰藉呢？茫茫人海，你不孤单，有人愿与你同运命，共风雨，如此，多好！
风懂云的情怀，它，轻轻的吹送，云姿更加漫妙；雪懂梅的寒傲，它，悄悄的绽放，梅骨愈加清奇；泉懂山的伟岸，它，静静的流淌，山林更为葱茂；雨懂花的心思，它，无声的洒落，花香尤为清绝……
杏花疏影小楼边，一腔笛韵委婉悠扬；山亭古寺四月间，深涧桃花兀自娇娆；暗香疏影黄昏后，东篱素菊暗香盈袖；柴门冬雪夜归人，红泥火炉绿蚁新醅……若懂得，景与物，也相宜。
彷徨失意时，一句懂得，是严冬的一场花开春暖，茫然无助时，一句懂得， 是酷暑的一阵清凉细雨，心与心的贴近，皆因一个“懂得”而欣慰，美好。
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