正弦定理和余弦定理专题总结.doc

知识点、方法线，知识点联系成方法线。正弦定理和余弦定理 正弦定理和余弦定理是解决三角形问题的主要工具，一、解三角形（一）已知三边例1、在ABC中，则B=_。方法小结：已知三边用余弦定理。（二）已知两边（一角）1、已知边边角例2、在ABC中，分别根据下列条件求解：，A=45，则B=_； ，A=45，则B=_； ，A=45，则B=_； ，A=45，则B=_； ，A=45，则B=_。方法小结：已知对象和所求对象为“两角两边”，且都是“对角对边”时，用正弦定理。规律总结：，即时，B不存在；，即时，有唯一解B=90； ，即时， 若，则，有两解； 若，则，有一解； 若，则，有一解。综上：无解：；两解：；一解：或。例3、在ABC中，B=45，若这个三角形有两解，则x的取值范围是_。ABCa=245例3例4、在ABC中，A=45，求B。方法小结：已知对象和所求对象为“两角两边”，但不是“对角对边”时，不能直接用正弦定理求，需先用正弦定理求得另一角或用余弦定理求得另一边。2、已知边角边例5、在ABC中，C=15，求A。思路分析：要求角A，法（一）用正弦定理，需要先求得c，而c可由余弦定理求得；ABCb=a=2例5法（二）用余弦定理，需要先求得c，同上由求得。方法小结：已知“边角边”，只能用余弦定理，先求得另一边，然后可求另二角。（三）已知一边（两角）例6、在ABC中，A=45，C=30，解三角形。方法小结：已知一边（两角），先用内角和定理求得最后一角，再用正弦定理求得另两边。ABCD题1（四）综合1、如图，在ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，则的值为（ ）ABCDABDC题22、在ABC中，D为BC边上一点，BC3BD，AD，ADB135，若ACAB，则BD_。方法小结：求角或求边必须先找到一个适当的三角形：包含所求角或边；条件尽可能充足（三个或以上）。练：1、在ABC中，已知，B=45，求A、C和c。2、在ABC中，B=60，且ABC只有一解，则边a的取值范围是_。DABC题33、在ABC中，B=45，D是BC边上一点，AD=10，AC=4，DC=6，求AB的长。结 果一边（两角）三 边正弦定理边角边正弦定理边边角余弦定理正弦定理（+内角和定理）余弦定理解三角形问题方法思路：二、边角转换，只留一类。三角形中有些问题会需要转换边角类型来解决，一般情况下（少数问题除外），转换后的表达式最好只保留边或角的一种类型。例7、在ABC中，若，则ABC的形状一定是（ ）A等腰直角三角形B等腰三角形C直角三角形D等边三角形例8、在ABC中，已知，则ABC的形状为_。例9、在ABC中，则的值为（ ）ABCD方法小结：单边、单角不能转换时，联合转换值得一试！练：1、在ABC中，若，则ABC的形状一定是_。2、在ABC中，若，则角B的值为_。3、锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则的值是_。4、a、b、c分别是ABC中角A、B、C的对边，且，b、c是关于x的方程的两个根。求A的正弦值；求边a、b、c；判断ABC的形状。7把握知识点特征，抓住方法切入点。参考答案：一、解三角形（一）已知三边例1、解：由余弦定理，得：，B=。（二）已知两边（一角）1、已知边边角例2、解：由正弦定理，得：，B=60或120；，B=45或135（舍）；，B=90；a=b，B=A=45，B不存在。例3、解：三角形有两解，。例4、解：法（一）先用正弦定理求得角C，再由内角和定理求得角B。，C=60或120，B=75或15。法（二）先用余弦定理求得边b，再用余弦定理（或正弦定理）求得角B。，或，B=75或15。（或：，B=75或15。）2、已知边角边例5、解： ，ABCb=a=2法（一），A=30或150，A=30。法（二），A=30。（三）已知一边（两角）例6、解：由内角和定理，得：B=75，由正弦定理，得：，。（四）综合1、D2、练：1、解：由正弦定理，得：，A=60或120，当A=60时，C=75，；当A=120时，C=15，；A=60，C=75，或A=120，C=15，。2、解：ABC有一解，或，或。3、二、边角转换，只留一类例7、解：法（一），即：，A=B，ABC是等腰三角形。法（二），ABC是等腰三角形。例8、解：法（一），或，ABC为直角三角形或等腰三角形。法（二），即：，或，或，ABC为直角三角形或等腰三角形。例9、D练：1、直角三角形2、或3、44、解：在两边分别乘以，把角转换为边，得：，化简，得：，；由韦达定理，得：，又，；，B=90，ABC是直角三角形。