全国通用版高中数学选修一典型例题.docx

(名师选题)全国通用版高中数学选修一典型例题

单选题
1、“a=1”是“直线x+ay-1=0与直线ax-y+1=0相互垂直”的（    ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
分析：直线x+ay-1=0与直线ax-y+1=0相互垂直得到a∈R，再利用充分必要条件的定义判断得解.
因为直线x+ay-1=0与直线ax-y+1=0相互垂直，
所以1×(a)+a×(-1)=0，
所以a∈R.
所以a=1时，直线x+ay-1=0与直线ax-y+1=0相互垂直，所以“a=1”是“直线x+ay-1=0与直线ax-y+1=0相互垂直”的充分条件；
当直线x+ay-1=0与直线ax-y+1=0相互垂直时，a=1不一定成立，所以“a=1”是“直线x+ay-1=0与直线ax-y+1=0相互垂直”的非必要条件.
所以“a=1”是“直线x+ay-1=0与直线ax-y+1=0相互垂直”的充分非必要条件.
故选：A
小提示：方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
2、平面α的一个法向量是n=(12,-1,13)，平面β的一个法向量是m=(-3,6,-2)，则平面α与平面β的关系是（    ）
A．平行B．重合C．平行或重合D．垂直
答案：C
分析：由题设知m=-6n，根据空间向量共线定理，即可判断平面α与平面β的位置关系.
∵平面α的一个法向量是n=(12,-1,13)，平面β的一个法向量是m=(-3,6,-2)，
∴ m=-6n，
∴平面α与平面β的关系是平行或重合．
故选：C．
3、抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为2，则p=（    ）
A．1B．2C．22D．4
答案：B
分析：首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p的值.
抛物线的焦点坐标为p2,0，
其到直线x-y+1=0的距离：d=p2-0+11+1=2，
解得：p=2(p=-6舍去).
故选：B.
4、已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左､右焦点分别是F1，F2，直线y=kx与椭圆C交于A，B两点，AF1=3BF1，且∠F1AF2=60°，则椭圆C的离心率是（    ）
A．716B．74C．916D．34
答案：B
分析：根据椭圆的对称性可知，AF2=BF1，设AF2=m，由AF1=3BF1以及椭圆定义可得AF1=3a2，AF2=a2，在△AF1F2中再根据余弦定理即可得到4c2=7a24，从而可求出椭圆C的离心率．

由椭圆的对称性，得AF2=BF1.设AF2=m，则AF1=3m.由椭圆的定义，知AF1+AF2=2a，即m+3m=2a，解得m=a2，故AF1=3a2，AF2=a2.
在△AF1F2中，由余弦定理，得F1F22=AF12+AF22-2AF1AF2cos∠F1AF2，即4c2=9a24+a24-2×3a2×a2×12=7a24，则e2=c2a2=716，故e=74.
故选：B.
5、已知动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1(不含端点)上.设D1PD1B=λ，若∠APC为钝角，则实数λ的取值范围为（    ）

A．0,13B．0,12C．13,1D．12,1
答案：C
分析：建立空间直角坐标系，
由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，用坐标法计算，利用∠APC不是平角，可得∠APC为钝角等价于cos∠APC<0，即PA⋅PC<0，即可求出实数λ的取值范围.

设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，
则有A1,0,0,B1,1,0,C0,1,0,D0,0,1
∴D1B=(1,1,-1)，∴设D1P=λ,λ,-λ，
∴PA=PD1+D1A=-λ,-λ,λ+1,0,-1=1-λ,-λ,λ-1，
PC=PD1+D1C=-λ,-λ,λ+0,1,-1=-λ,1-λ,λ-1，
由图知∠APC不是平角，∴∠APC为钝角等价于cos∠APC<0，
∴PA⋅PC<0，
∴1-λ-λ+-λ1-λ+λ-12=λ-13λ-1<0，
解得13<λ<1
∴λ的取值范围是13,1
故选：C.
6、经过点(－2，2)，倾斜角是30°的直线的方程是（    ）
A．y＋2 =33(x－2)B．y＋2＝3(x－2)
C．y－2=33(x＋2)D．y－2＝3(x＋2)
答案：C
分析：根据k=tan30°求出直线斜率，再利用点斜式即可求解.
直线的斜率k=tan30°=33，
由直线的点斜式方程可得y－2＝33 (x＋2)，
故选：C．
7、已知圆C1:x2+y2+4x-2y-4=0，C2:x+322+y-322=112，则这两圆的公共弦长为（    ）
A．4B．22C．2D．1
答案：C
分析：先求出两圆的公共弦所在直线的方程，用垂径定理求弦长.
由题意知C1:x2+y2+4x-2y-4=0，C2:x2+y2+3x-3y-1=0，将两圆的方程相减，得x+y-3=0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为x+y-3=0.
又因为圆C1的圆心为(-2,1)，半径r=3，所以圆C1的圆心到直线x+y-3=0的距离d=-2+1-32=22.所以这两圆的公共弦的弦长为2r2-d2=232-222=2.
故选：C.
8、如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB+AD-CC1=（    ）

A．AC1B．A1CC．D1BD．DB1
答案：B
分析：由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则，可得所求向量．

连接AC、A1C，可得AB+AD=AC，又CC1=AA1，
所以AB+AD-CC1=AC-AA1=A1C．
故选：B.
9、已知空间三点A-2,0,8，Pm,m,m，B4,-4,6，若向量PA与PB的夹角为60°，则实数m=（    ）
A．1B．2C．-1D．-2
答案：B
分析：直接由空间向量的夹角公式计算即可
∵A-2,0,8，Pm,m,m，B4,-4,6，
∴PA=-2-m,-m,8-m，PB=4-m,-4-m,6-m
由题意有cos60°=PA⋅PBPAPB=3m2-12m+403m2-12m+683m2-12m+68
即3m2-12m+682=3m2-12m+40，
整理得m2-4m+4=0，
解得m=2
故选：B
10、已知点A（1，2）在圆C：x2+y2+mx-2y+2=0外，则实数m的取值范围为（    ）
A．-3,-2∪2,+∞B．-3,-2∪3,+∞
C．-2,+∞D．-3,+∞
答案：A
分析：由x2+y2+mx-2y+2=0表示圆可得m2+(-2)2-4×2>0，点A（1，2）在圆C外可得12+22+m-2×2+2>0，求解即可
由题意，x2+y2+mx-2y+2=0表示圆
故m2+(-2)2-4×2>0，即m>2或m<-2
点A（1，2）在圆C：x2+y2+mx-2y+2=0外
故12+22+m-2×2+2>0，即m>-3
故实数m的取值范围为m>2或-3<m<-2
即m∈-3,-2∪2,+∞
故选：A
11、已知椭圆C1:x2a12+y2b12=1（a1>b1>0）与双曲线C2:x2a22-y2b22=1（a2>0，b2>0）有公共焦点F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P．若△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，曲线C1，C2的离心率分别为e1和e2，则1e1-1e2=（    ）
A．1B．2C．3D．4
答案：B
分析：设曲线C1，C2的焦距为2c，则可得PF2=F1F2=2c，然后结合椭圆和双曲线的定义可求出a1,a2,c的关系，变形后可得结果.
设曲线C1，C2的焦距为2c．△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，
则PF2=F1F2=2c．
由点P在第一象限，知PF1=2a1-PF2=2a2+PF2，
即2a1-2c=2a2+2c，即a1-a2=2c，
即1e1-1e2=2．
故选：B
12、直线y=kx-1+2恒过定点（    ）
A．-1,2B．1,2
C．2,-1D．2,1
答案：B
分析：由x=1时，y=2可得到定点坐标.
当x-1=0，即x=1时，y=2，∴直线y=kx-1+2恒过定点1,2.
故选：B.
填空题
13、双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的离心率为102，则其渐近线的斜率是__________．
答案：±62
分析：由e=ca=102，结合c2=a2+b2，可得4b2=6a2，即得解
∵e=102，又e=ca
∴4c2=10a2，4a2+4b2=10a2，即4b2=6a2
∴k=±ba=±62．
所以答案是：±62
14、已知两条直线l1:y=x、l2:y=ax，其中a∈R，当这两条直线的夹角在0,π12内变化时，a的取值范围为______．
答案：33,1∪1,3
分析：首先求得直线l1的倾斜角，进而判断出两条直线的夹角在(0,π12)内变动时l2的倾斜角的取值范围，进而即可求得a的取值范围．
直线l1:y=x的倾斜角为π4，令直线l2:ax-y=0的倾斜角为θ，则有a=tanθ
∴过原点的直线l1:y=x，l2:ax-y=0的夹角在(0,π12)内变动时，可得直线l2的倾斜角的范围是(π6，π4)∪(π4，π3)．
∴l2的斜率的取值范围是(33，1)∪(1，3)，即a∈(33，1)∪(1，3)，
所以答案是：33,1∪1,3．
15、与双曲线x29-y216=1有共同渐近线，且经过点A-3,23的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为___________.
答案：2
分析：由题意首先求得双曲线方程，据此可确定焦点坐标，然后利用点到直线距离公式可得双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离.
解：根据题意，设双曲线方程为x29-y216=λ，
将点(-3,23)代入双曲线方程，解得λ=14.
所以，经过点A-3,23的双曲线方程为：4x29-y24=1，
故4x29-y24=1的一个焦点坐标为52,0,一条渐近线方程为y=43x，即4x-3y=0，
所以，焦点到一条渐近线的距离是109+16=2，
所以答案是：2
16、从圆x2+y2-2x-2y+1=0外一点P2,3向圆引切线，则此切线的长为______．
答案：2
分析：作图，利用圆心到定点的距离、半径、切线长满足勾股定理可得.
将圆化为标准方程：(x-1)2+(y-1)2=1，则圆心C1,1，半径1，
如图，设P2,3，PC=5，切线长PA=5-1=2．
所以答案是：2

17、已知圆C1的方程为C1：x2+y2-2x-4y+3=0，直线l：y=x-aa>0．若直线l与圆C1和圆C2均相切于同一点，且圆C2经过点4,-1，则圆C2的标准方程为____________．
答案：x-32+y2=2
分析：由圆C1与直线l相切得a，直线l与圆C1的方程联立求得切点坐标，设C2m,n，由两点间的距离公式可得C2的圆心坐标和半径，从而得到答案.
方程为C1：x-12+y-22=2，圆心C11,2，半径为2，
因为圆C1与直线l：y=x-aa>0相切，
所以1-2-a2=2，解得a=1，所以直线l：y=x-1，
由x-12+y-22=2y=x-1得x=2y=1，得切点为2,1，
设C2m,n，所以m-22+n-12=m-42+n+12①，
且n-1m-2=-1②，由①②得m=3,n=0，所以C23,0，
所以圆C2的半径为3-22+0-12=2，
所以圆C2的标准方程为x-32+y2=2.
所以答案是：x-32+y2=2.
解答题
18、在△ABC中，已知A(0,1)，B(5,-2)，C(3,5).
（1）求边BC所在的直线方程；
（2）求△ABC的面积.
答案：（1）7x+2y-31=0；（2）292.
分析：（1）由直线方程的两点式可得；
（2）先求直线AC方程，再求B到AC的距离，最后用面积公式计算即可.
（1）∵B(5,-2)，C(3,5)，
∴边BC所在的直线方程为y-(-2)5-(-2)=x-53-5，即7x+2y-31=0；
（2）设B到AC的距离为d，
则S△ABC=12|AC|·d，
|AC|=(3-0)2+(5-1)2=5，
AC方程为：y-15-1=x-03-0即：4x-3y+3=0
∴d=|5×4-3×(-2)+3|42+(-3)2=295.
∴S△ABC=12×5×295=292.
19、已知复数z=x+yix,y∈R在复平面内对应的点为Mx,y，且z满足z+2-z-2=2，点M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程；
（2）设A-1,0，B1,0，若过F2,0的直线与C交于P，Q两点，且直线AP与BQ交于点R.证明：
（i）点R在定直线上；
（ii）若直线AQ与BP交于点S，则RF⊥SF.
答案：（1）x2-y23=1(x>0)；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
分析：（1）根据复数模的计算公式，由题中条件，得到(x+2)2+y2-(x-2)2+y2=2，再由双曲线的定义，即可得出结果；
（2）（i）设直线PQ的方程为x=ty+2，Px1,y1，Qx2,y2，其中x1>0，x2>0，联立直线与双曲线方程，根据韦达定理，得到y1+y2，y1y2，表示出直线AP与BQ的方程，两直线方程联立，求出交点横坐标为定值，即可证明结论成立；
（ii）先同理得到点S也在定直线x=12上，设R12,r，S12,s， 代入（i）中直线AP与BQ的方程，得出r,s，再计算FR⋅FS，即证结论成立.
（1）由题意可知：(x+2)2+y2-(x-2)2+y2=2，
所以点M到点F1-2,0与到点F22,0的距离之差为2，且2<F1F2=4，
所以动点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支，
设其方程为x2a2-y2b2=1x>0,a>0,b>0，其中2a=2，2c=4，
所以a=1，c=2，
所以b2=c2-a2=3，所以曲线C的方程为x2-y23=1(x>0).
（2）（i）设直线PQ的方程为x=ty+2，Px1,y1，Qx2,y2，其中x1>0，x2>0.
联立x=ty+2x2-y23=1，消去x，可得3t2-1y2+12ty+9=0，
由题意知3t2-1≠0且Δ=144t2-363t2-1=36t2+1>0，
所以y1+y2=-12t3t2-1，y1y2=93t2-1.
直线AP：y=y1x1+1(x+1)，直线BQ：y=y2x2-1(x-1)①，
由于点Px1,y1在曲线C上，可知y12=3x12-1，所以y1x1+1=3x1-1y1，
所以直线AP：y=3x1-1y1(x+1)②.
联立①②，消去y可得3x1-1y1(x+1)=y2x2-1(x-1)，
即3(x+1)x-1=y1y2x1-1x2-1，
所以3(x+1)x-1=y1y2ty1+1ty2+1=y1y2t2y1y2+ty1+y2+1，
所以3(x+1)x-1=99t2-12t2+3t2-1=-9，所以x=12，
所以点R在定直线x=12上.
（ii）由题意，与（i）同理可证点S也在定直线x=12上.
设R12,r，S12,s， 
由于R在直线AP：y=y1x1+1(x+1)上，S在直线AQ：y=y2x2+1(x+1)上，
所以r=32⋅y1x1+1，s=32⋅y2x2+1，
所以rs=94⋅y1y2x1+1x2+1=94⋅y1y2ty1+3ty2+3
=94⋅y1y2t2y1y2+3ty1+y2+9=94⋅99t2-36t2+93t2-1=-94，
又因为FR=-32,r，FS=-32,s，
所以FR⋅FS=94+rs=0，所以RF⊥SF.
小提示：思路点睛：
求解圆锥曲线中动点在定直线上的问题时，一般需要根据题中条件，设出所需直线方程，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及题中条件，求出动点的坐标满足的关系时，从而可确定结果（一般得到动点横坐标或纵坐标为定值）.
20、已知椭圆C:x2a2+y2=1a>1的焦点与双曲线D:x22-y2t=1t>0的焦点相同，且D的离心率为62.
（1）求C与D的方程；
（2）若P0,1，直线l:y=-x+m与C交于A，B两点，且直线PA，PB的斜率都存在.
①求m的取值范围.
②试问这直线PA，PB的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
答案：（1）C：x24+y2=1；D：x22-y2=1；（2）①-5<m<5且m≠±1；
②见解析.
分析：（1）根据D的离心率为62，求出t从而求出双曲线D:x22-y2t=1t>0的焦点，再由椭圆C:x2a2+y2=1a>1的焦点与双曲线D:x22-y2t=1t>0的焦点相同，即可求出a2，即可求出C与D的方程；
（2）①根据题意容易得出m≠±1，然后联立方程，消元，利用Δ>0即可求出m的取值范围；
②设Ax1,y1,Bx2,y2，由①得：y1+y2=2m5,y1y2=m2-45，计算出kPA⋅kPB，判断其是否为定值即可.
解：（1）因为D的离心率为62，即1+t2=62，
解得：t=1，
所以D的方程为：x22-y2=1；焦点坐标为±3,0，
又因椭圆C:x2a2+y2=1a>1的焦点与双曲线D:x22-y2t=1t>0的焦点相同，
所以a2-1=3，所以a2=4，
所以C的方程为：x24+y2=1；
（2）①如图：

因为直线l:y=-x+m与C交于A，B两点，且直线PA，PB的斜率都存在，
所以m≠±1，
联立x24+y2=1y=-x+m，消x化简得：5y2-2my+m2-4=0，
所以Δ=4m2-20m2-4>0，解得-5<m<5，
所以-5<m<5且m≠±1；
②设Ax1,y1,Bx2,y2，
由①得：y1+y2=2m5,y1y2=m2-45，
kPA=y1-1x1,kPB=y2-1x2，
所以kPA⋅kPB=y1-1y2-1x1x2=y1y2-y1+y2+1-y1+m-y2+m=m-14m+1，
故直线PA，PB的斜率之积不是是定值.
小提示：本题考查了求椭圆与双曲线的方程、直线与椭圆的位置关系及椭圆中跟定直有关的问题，难度较大.