平方差与完全平方知识点及练习题.doc

2024-09-04 数学
北师大版七年级数学（下）
---整式的乘除（3）---
【知识点一】平方差公式
平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2，即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。
注：①平方差公式中的a、b可以是单项式，也可以是多项式。
②平方差公式可以逆用，即：a2-b2=（a+b）(a-b)。
③平方差公式还能简化两数之积的运算，解这类题，首先看两个数能否转化成（a+b）•(a-b)的形式，然后看a2与b2是否容易计算。
例1 计算 ① ②（a+b）（a－b）（a2+b2） ③

例2 计算 ①20132-2012×2014 ② 99×101×10001 ③

例3 计算 ① ②

例4 ① 计算 （2y-x-3z）（-x-2y-3z） ②化简求值 2（3x+1）（1-3x）+（x-2）（2+x），其中x=2

③若|x+y-3|+（x-y+5）2=0，求3x2-3y2

例5 如图一，在边长为的正方形中，挖掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪成一个矩形（如图二），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A． B．
C． D．
巩固练习
1．若M(3x-y2)＝y4-9 x2，则代数式M应是 ( )
A．-(3 x+y2) B．y2-3x C．3x+ y2 D．3 x- y2
2．下列运用平方差公式计算，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若16﹣xn=（2+x）（2﹣x）（4+x2），则n的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
4.下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A. B． C． D．
5．如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正形（a＞b），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是 （ ）

A．a2＋b2＝（a＋b）（a－b） B．a2－b2＝（a＋b）（a－b）
C.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 D．（a－b）2＝a2－2ab＋b2
6．( )(1-2x)＝1—4 x2． (-3x+6 y2)(-6 y2-3 x)＝ ．
(x-y+z)( )＝z2-( x-y)2． (4 xm-5 y2) (4 xm+5y2)＝ ．
(x+y-z) (x-y-z)＝( ) 2-( ) 2．[,科(m+n+p+q) (m-n-p-q)＝( ) 2-( ) 2．
7.计算：12-22+32-42+52-62+．．．- 1002+1012= ．
8.如果，那么 。
9. 计算
(1)( x- y)( x+ y) ( x2+ y2) ( x4+ y4)·…·(x16+ y16) (2)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
（3）(x-2 y)(-2y- x)-(3x+4 y)(-3 x +4 y) (4)
10.先化简，再求值．(a2 b-2 ab2- b3)÷b-( a+b)(a-b)，其中a＝，b＝-1．

【知识点二】完全平方公式
1.完全平方公式：（a+b）2 =a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2 即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
注：①公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式。
②完全平方式：我们把形如:的二次三项式称作完全平方式。
③当计算较大数的平方时，利用完全平方公式可以简化数的运算。
④完全平方公式可以逆用，即：
2.掌握理解完全平方公式的变形公式：
（1）
（2）
（3）
例1 计算① (2x−3)2 ② (4x+5y)2 ③

④ ⑤ ⑥

⑦ ⑧20142﹣4030×2014+20152 ⑨

例2 （1） 已知。①求 ②求 ③求a4+b4

（2）若，求的值。 （3）已知(a+b)2=13，(a—b)2=11，则ab值

例3 ，其中.

例4 若二项式加上一个单项式后构成的三项式是一个完全平方式，则这样的单项式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

巩固练习
1.利用乘法公式计算正确的是（ 　）
A.(2x-3)2=4x2+12x-9　　 　B.(4x+1)2=16x2+8x+1 　C.(a+b)(a+b)=a2+b2　　　　D.(2m+3)(2m-3)=4m2-3
2.已知是完全平方式，则的值是（ ）
A. B. C.6 D.
3.若，则的值为( )
A. -5 B. 5 C. -2 D. 2
4.已知，则的值是( )
A. 9 B. 49 C. 47 D.1
5.已知（m-n）2=32，（m+n）2=4000，则m2+n2的值为（ ）
A．2014 B．2015 C．2016 D．4032
6.若M的值使得成立，则M的值为
7.(x-3)2-(x+2)(x-2)=_______ ．
8.若，则
9.若，，则 .
10.（1）已知x2-4＝0，求代数式x (x+1)2- x(x2+ x)- x-7的值．

（2）当x=，y＝2时，求代数式的值．
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