数值分析课后部分习题答案.docx

1. 下列各近似值均有4个有效数字,,试指出它们的绝对误差和相对误差限.
解有4个有效数，即，
由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为
，
由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为
；
有4个有效数，即，
由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为
，
由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为
；
有4个有效数，即，
由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为
，
由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为
.
2．下列各近似值的绝对误差限都是,试指出它们各有几位有效数字.

解，即
由有效数字与绝对误差的关系得，
即 ，所以，；
，即
由有效数字与绝对误差的关系得 ，
即 ，所以，；
，即
由有效数字与绝对误差的关系得 ，
即 ，所以，.
4.设有近似数且都有3位有效数字，试计算，问有几位有效数字.
解 方法一
因都有3位有效数字，即，，则
，，，
，
，
又 ，此时，，从而得.
方法二
因都有3位有效数字，即，，则
，，
，，
，
，

，
由有效数字与绝对误差的关系得.
5.序列有递推公式

若（三位有效数字），问计算的误差有多大，这个计算公式稳定吗？
解 用表示的误差，由，得，由递推公式 ，知计算的误差为，因为初始误差在计算的过程中被逐渐的放大，这个计算公式不稳定.
习题2 ( P.84)
3.证明 ，对所有的
其中为Lagrange插值基函数.
证明 令，则，
从而 ，
又 ，
可得 ，从而 .
4. 求出在和3处函数的插值多项式.
解方法一 因为给出的节点个数为4，而从而余项
，
于是
（n次插值多项式对次数小于或等于n的多项式精确成立）.
方法二 因为
而 ，
，
，
，
从而 .
5. 设且，求证
.
证明 因，则，
从而 ，
由极值知识得
6. 证明 .
证明 由差分的定义

或着

7. 证明 n阶差商有下列性质
(a) 如果，则.
(b) 如果，则
.
证明归纳法：由差商的定义
(a) 如果，则

.
(b) 如果，则

8. 设，求，.
解 5定理7的结论(2)，得
7阶差商 (的最高次方项的系数)，
8阶差商 (8阶以上的差商均等与0).
9. 求一个次数不超过4次的多项式，使它满足：
，，.
解 方法一 先求满足插值条件，，的二次插值多项式
(L-插值基函数或待定系数法)，
设

从而，
再由插值条件，，得
所以 ，
即 .
方法二 设，
则
由插值条件，，，得

解得 ，
从而 .
方法三 利用埃尔米特插值基函数方法构造.
10. 下述函数在上是3次样条函数吗？

解 因为 ，

而 ，，，
又是三次函数，所以函数在上是3次样条函数.
补 设f(x)=x4，试利用L-余项定理写出以-1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式.
解 因为 ，
从而
习题3( P.159)
1．设为上具有权函数的正交多项式组且为首项系数为1的次的多项式，则于线性无关.
解 方法一 因为为上具有权函数的正交多项式组,则其Gram行列式不等于零，采用反证法：若于线性相关，于是，存在不全为零使

上式两边与作内积得到

由于不全为零，说明以上的齐次方程组有非零解故系数矩阵的行列式为零，即与假设矛盾.
方法二 因为为上具有权函数的正交多项式组,则其Gram行列式不等于零，由( P.95)定理2得于线性无关.
2．选择，使下述积分取得最小值

解
，
令 ，得.

令 ，得.
3．设试用求一次最佳平方逼近多项式.
解 取权函数为(为了计算简便)，则
,,
,
，，
得法方程 ，解得，
所以的一次最佳平方逼近多项式.
8．什么常数C能使得以下表达式最小？

解，
令 ，得.
14．用最小二乘法求解矛盾方程组
.
解 方法一 方程组可变形为 ，其中
,
求解法方程,
得到矛盾方程组的解为.
方法二令

，

令 ， 得 ，
解之得矛盾方程组的解为.
习题4(P. 207)
7. 对列表函数

求
解 一阶微商用两点公式(中点公式),得

二阶微商用三点公式(中点公式),首先用插值法求 ,
由得一次插值函数
从而 ,
于是,
8. 导出数值微分公式

并给出余项级数展开的主部.
解 由二阶微商的三点公式(中点公式),得
,

从而

将分别在处展开,得

(1)－(2)×3 +(3)×3－(4), 得
,
即余项主部为
习 题 5 (P. 299)
3. 设为对称矩阵，且，经高斯消去法一步后，A约化为，试证明亦是对称矩阵.
证明 设，其中
，，，
则经高斯消去法一步后，A约化为，
因而，若为对称矩阵，则为对称矩阵，且，易知为对称矩阵.
13. 设
(1)计算；
(2) 计算，及.
解(1) 计算,
，其特征值为，
又为对称矩阵，则的特征值为，因此；
(2) ，，
所以，
为对称矩阵，其特征值为，
则的特征值为，因此

所以
15. 设，求证
（1）；
(2).
证明 (2) 由（1），得， 则 ，
从而 ，
由算子范数的定义
，，
得 .
17. 设为非奇异阵，又设为上一向量范数，定义，求证：是上向量的一种范数（称为向量的W一范数）.
证明 ①正定性，因为一向量，，下证 ，
若即，由向量范数的正定性得
，为非奇异阵，所以；
若，则，由向量范数的正定性得即.
②齐次性，任意实数有，由向量范数的齐次性，得
；
③三角不等式，任意实数，有
，
再由向量范数的三角不等式，得
.
习 题 6 (P.347)
1.设有方程组(b)，考查用Jacobi迭代法,G-S迭代法解此方程组的收敛性.
解 系数矩阵分裂如下,

Jacobi迭代矩阵为，
J的特征方程为，
展开得 ，即，
所以用Jacobi迭代法解此方程组是收敛的.
G-S迭代矩阵为

，
G的特征方程为 ，
展开得 ，即或，
由迭代基本定理得用G-S迭代法解此方程组是不收敛的.
4.设有方程组，其中为对称正定阵，且有迭代公式
()，
试证明当时，上述迭代法收敛(其中的特征值满足).
证明为对称正定阵， 的特征值满足
，
且，则
又迭代公式可变形为
()，
从而迭代矩阵，
迭代矩阵的特征值为，且满足
，
即 ，
由迭代基本定理得该迭代法是收敛的.
5.设，其中为实数，试确定满足什么条件时，解的Jacobi迭代法收敛.
解 系数矩阵分裂如下,

Jacobi迭代矩阵为，
J的特征方程为 ，
展开得 ，即或，

当且仅当，所以当时，解的Jacobi迭代法收敛.