二次函数基本知识点梳理及训练.doc

二次函数

一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．
1．结构特征：①等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式；②x的最高次数是2；③二次项系数a≠0.
2．二次函数的三种基本形式
一般形式：y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，且a≠0)；
顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)；
交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2是图象与x轴交点的横坐标．
考 点二 二次函数的图象和性质

考点三

任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：

1．设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
若已知条件是图象上三个点的坐标．则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a、b、c的值．
2．设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．
3．设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式

二次函数的应用包括两个方法
①用二次函数表示实际问题变量之间关系．
②用二次函数解决最大化问题(即最值问题)，用二次函数的性质求解，同时注意自变量的取值范围．
(1)二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是(　　)
A．(－1,8) 　　　　　B．(1,8) C．(－1,2)　　 D．(1，－4)
(2)将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为(　　)
A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x－1)2＋4 C．y＝(x＋1)2＋2 D．y＝(x－1)2＋2

(3)函数y＝x2－2x－2的图象如下图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是(　　)

A．－1≤x≤3 B．－1<x<3 C．x<－1或x>3 D．x≤－1或x≥3
(4)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：
①b2－4ac>0；②abc>0；③8a＋c>0；④9a＋3b＋c<0.
其中，正确结论的个数是(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
(5)为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y(台)与补贴款额x(元)之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益z(元)会相应降低且z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．

(1)在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？
(2)在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益z与政府补贴款额x之间的函数关系式；
(3)要使该商场销售彩电的总收益w(元)最大，政府应将每台补贴款额x定为多少元？并求出总收益w的最大值．

【举一反三】
1．二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值是(　 　)
A．2　　　　　　　　　　B．1　　　 C．－1　　　 D．－2
2．抛物线y＝(x－2)2＋3的顶点坐标是(　 　)
A．(2,3)　　 B．(－2,3) C．(2，－3)　　 D．(－2，－3)
3．抛物线y＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)的对称轴是直线( 　)
A．x＝1　　 B．x＝－1　　C．x＝－3　　 D．x＝3
4．二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象如何平移就得到y＝－2x2的图象( )
A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
5．把二次函数y＝－x2－x＋3用配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式( )
A．y＝－(x－2)2＋2 B．y＝(x－2)2＋4
C．y＝－(x＋2)2＋4 D．y＝2＋3
6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列关系式不正确的是( 　)

A．a＜0　B．abc＞0　C．a＋b＋c＞0　D．b2－4ac＞0
7．若A(－，y1)、B(－，y2)、C(，y3)为二次函数y＝x2＋4x－5的图象上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是(　 　)
A．y1<y2<y3 B．y2<y1<y3 C．y3<y1<y2 D．y1<y3<y2

8．已知二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D.
(1)求点A、B、C、D的坐标，并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象．
(2)说出抛物线y＝x2－2x－3可由抛物线y＝x2如何平移得到？
(3)求四边形OCDB的面积．

一、选择题(每小题3分，共36分)
1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，顶点坐标为(2，－3)，那么该抛物线有(　　)
A．最小值－3　　　　B．最大值－3 C．最小值2 D．最大值2
2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－1与x轴的交点的个数是(　　)
A．3　　 　　B．2　　　 　C．1　　 　　D．0
3．若二次函数y＝x2＋bx＋5配方后为y＝(x－2)2＋k，则b、k的值分别为(　　)
A．0,5 B．0,1 C．－4,5 D．－4,1
4．抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y＝x2－2x－3，则b、c的值为(　　)
A．b＝2，c＝2 B．b＝2，c＝0 C．b＝－2，c＝－1 D．b＝－3，c＝2

5．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为x＝2，点A、B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0,3)，则点B的坐标为(　　)
A．(2,3) 　　　 B．(3,2) C．(3,3) 　　 　D．(4,3)
6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，反比例函数y＝与正比例函数y＝(b＋c)x在同一坐标系中的大致图象可能是(　　)

7．在抛物线y＝x2－4上的一个点是(　　)
A．(4,4) B．(1，－4) C．(2,0) D．(0,4)
8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A．a>0 　　 B．c<0 C．b2－4ac<0 　　D．a＋b＋c>0

9．对于反比例函数y＝，当x>0时，y随x的增大而增大，则二次函数y＝kx2＋kx的大致图象是(　　)

10．二次函数y＝－(x－4)2＋5的图象的开口方向、顶点坐标分别是(　　)
A．向上、(4,5) B．向上、(－4,5) C．向下、(4,5) D．向下、(－4,5)

11．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是(　　)

A．y＝x2－x－2 B．y＝－x2＋x＋1 C．y＝－x2－x＋1 D．y＝－x2＋x＋2
12.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝6 cm，动点P从点C沿CA以1 cm/s的速度向点A运动，同时动点Q从点C沿CB以2 cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动．则运动过程中所构成的△CPQ的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数图象大致是(　　)

二、填空题(每小题4分，共20分)

13．若二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解x1＝3，另一个解x2＝________.

14．函数y＝(x－2)(3－x)取得最大值时，x＝________.
15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a、b、c满足a＋b＋c＝0和9a－3b＋c＝0，则该二次函数图象的对称轴是直线________．

16．如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A(3,0)，则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c<0的解集是________．

17．如右上图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为________米．

三、解答题(共44分)
18．(15分)已知抛物线y＝－x2＋2x＋2.
(1)该抛物线的对称轴是________，顶点坐标________．
(2)选取适当的数据填入下表，并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
(3)若该抛物线上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)的横坐标满足x1>x2>1，试比较y1与y2的大小．

19．(14分)如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(2,0)、B(0，－6)两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积．

⑦