浙大《概率论》试卷.doc

概率论试卷（一）
一、填充题（每空格3分）
1.若,则P(A∪B)_____P(B).
2.设ξ服从参数为λ的普阿松分布,P(ξ=1)=P(ξ=3),则λ=_____.
3.设～N(0,1),i=1,2,…,n; 相互独立.则_____～(n)分布.
4.设ξ,η互不相关,则Var(2ξ-η)=_____.
5.参数λ=1的指数分布的特征函数是__________________________.
二、是非题（每小题3分）（先回答‘对’或‘错’再简述理由）
1.设(ξ,η)为连续型随机向量,如果联合密度等于各自边际密度的乘积,则ξ,η相互独立.
2.随机变量ξ,η相互独立的充分必要条件是E(ξη)=Eξ·Eη.
3.设{}为独立同分布随机变量序列,～N(a,),=,则也服从N(a,).
4.设随机变量与ξ的特征函数分别为与f (t). 若→f (t),(n→∞),则.
三、（16分）设ξ,η相互独立，均服从p(x)=.
（1）求U=ξ+η与V=ξ/(ξ+η)的联合密度；
（2）判断U与V是否独立；
（3）求V的密度函数.它服从怎样的分布？
四、（16分）已知(～N(1,0;.
（1）写出的特征函数与密度；（2）求E,Varη；
（3）求Cov()；（4）与η相互独立吗？为什么？
五、（10分）某商店某种食品一块从上柜到销售出去时间（天）服从参数为λ=1/3的指数分布.若一块这种食品六天内卖不出去，就要另行处理，不能再卖.该店每天新上柜这种食品100块，求（六天后）平均每天另行处理的这种食品的数量.
六、（8分）设{}相互独立，P{, P{,
P{, k=1,2,…. 求证：.
七、（15分）(1)设，求证：.
(2) 设（常数），求证.
八、（8分）设的密度为，n=1,求证：
概率论试卷（二）
一、填充题（每空格3分）
1.古典概型是具有条件________________________________________的随机试验模型.
2.设(ξ,η)～N(0,1;1,4,0.5)，则ξ,η分别服从_________________________________.
3.设的特征函数分别为,相互独立. 则()的特征函数为 ______________.
4.从1,2,3,4,5五个数字中任取三个，所得号码中最大的为ξ, 则ξ的分布列为 ______________.
二、是非题（每小题3分）（先回答‘对’与‘错’，再简述理由）
(1)设随机变量ξ的密度函数为p(x)=，则η=1-2ξ的密度为
q(y)=.
(2)Varξ=1,Varη=4,则Var(2ξ+η)=8.
(3)(t)=sint是某随机变量的特征函数.
(4)设分布函数与F(x)对应的特征函数分别为与f (t)，若则
→f (t).(n→∞).
三、（12分）甲乙两厂独立生产同类产品，生产一级品的概率各为.某店分别有甲乙两厂的该类产品3件与7件.
（1）求它们都是一级品的概率；
（2）在这10件中任取一件，求它是一级品的概率;
（3）在这10件中任取一件，发现是一级品，求它是甲厂生产的概率.
四、（10分）随机变量ξ的分布列为P(ξ=2k)=3 /,k=0,1,2,….
（1）求Eξ；（2）求ξ的特征函数.
五、（17分）()的联合密度为p()=.
求：（1）与的联合密度；（2）的密度；
（3）E()；（4）Var().
六、（12分）设相互独立，都服从正态分布N().
（1）写出其联合分布的密度函数；
（2）求证：服从正态分布N(n);
（3）求证：对任意正交变换U，η=Uξ（其中ξ=(）各分量也相互独立，同方差.
七、（15分）（1）正确叙述并证明林德贝格—勒维中心极限定理.
（2）某种电子元件使用寿命服从λ=0.1（单位（小时）的指数分布.一个元件损坏后第二个接着使用.求100个这类元件总计使用时间超过900小时的概率.
八、（10分）设{}为相互独立的随机变量序列，成立中心极限定理. 则它服从大数定律的充分必要条件是=o(1)，试证明之.
概率论试卷（三）
一、填充题（每空格3分）
(1)若P(A)=0.5, P(A∪B)=0.8, 则当A与B相互独立时，P(B)=____, P(A--B)______.
(2)设Var=4, Var=9, 相关系数=1/4, 则Var(2+5)=_______.
(3)设～B(n,p)，则的特征函数为__________________.
(4)独立同分布，E=a,Var=, 则林德贝格—勒维中心极限定理是说：
________________________________________________________________________.
二、是非题（每小题3分）（先回答“√”或“×”，再简述理由）
(1)设随机变量的分布函数为F(x)，则对任意常数a，P(=a)=0.
(2)若Var(Var+Var，则与不独立.
(3)设随机变量,的特征函数分别为,. 若随机向量(,)的特征函数
f(t,t)=, 则,相互独立.
(4)设随机变量,的分布函数分别为(x)与F(x)，特征函数分别为与f(t).
若→f(t), (n→∞), 则.
三、（10分）随机变量～N(a,). (1)求证+b～N(ka+b,)，(k≠0);
(2)求的密度函数.
四、（17分）()的联合密度为p(x,y)=，
(1)求边际密度；(2) 求E,E及COV().
五、（8分）某人每月收入服从[600,1200]上的均匀分布. 当月收入超过800元时应交个人收入调节税. 问此人平均每年有几个月要交该项税款？
六、（8分）随机变量的分布列为P(=k)=2/,k=0,1,2,….
(1)求E; (2)求的特征函数.
七、（10分）设为两列随机变量，0). 求证
.
八、（20分）设为独立同分布的随机变量序列，都服从U[-1,1]. 求证:
(1)依分布收敛于N(0,1);
(2)依分布收敛于N(0,1).

浙江大学2003 - 2004学年第一学期期末考试
《概率论》课程试卷
开课学院：___________________________ 任课教师：________________________

姓名：____________ 专业：__________ 学号：________________考试时间：_____分钟
题序
一
二
三
四
五
六
七
总分
得分

评卷人签名

一、（15分）给出下列定义
1． 1．  概率的公理化定义
答：为样本空间，为事件域。概率是定义在上的实值集函数：, 并且满足下列条件：
（1）（非负性）对任一；
（2）（规范性）；
（3）（可列可加性）若是中两两互不相容的事件，则
。 ----------------------(5分)

2． 2．  随机变量
答：设是定义在概率空间上的单值实函数，且对于上的任一波雷尔集有

就称为随机变量。-----------------------------------------（5分）
3．（弱）大数定律
大：设是定义在概率空间上的随机变量列，如果存在常数列和使得

则称服从（弱）大数定律。----------------------------------（5分）

二、（14分）投掷次均匀硬币，求出现正反面次数相等的概率。
解若为奇数, 显然, 出现正反面次数不可能相等, 故所求概率为0；若为偶数,“出现正反面次数相等”等价于“出现正反面次数各次”，投掷次均匀硬币，可以看作伯努里概型，故这时概率为：。故所求为：。

三、（15分）设随机变量具有对称的分布密度函数，即，记它的分布函数为。证明对任意的，有
（1）；
（2）；
（3）。
解（1）由于, 故
，，
因而
，
，
即证（1）式；---------------------------------------------------（7分）
（2）由（1）式，，即得（2）式；-------------------------------------------------------（4分）
（3）由（2）式，即得（3）式。
---------------------------------------------------------------（4分）
四、（14分）设为次独立试验中事件出现的次数，若已知第次试验时事件出现的概率为，求。
解记，
则由题意，。------------------------（6分）
显然：，由期望，方差性质：
--------------------（8分）

五、（14分）已知随机变量与的相关系数为，求与的相关系数，其中均为常数，皆不为0。
解由于
--------------（6分）
-----------------（4分）
注意到与的相关系数为，故
----------------------------------------（4分）

六、（14分）设的联合概率密度函数为，记，，求与的联合密度，并证明它们之间相互独立。
解作变换，得，其雅可比行列式为，
--------------------（4分）
则的联合概率密度函数为
----------------（8分）
为可分离变量，故与相互独立。-------------（2分）

七、（14分）设是相互独立的随机变量序列，都服从参数为的指数分布。记

通过计算的特征函数证明服从中心极限定理。
证：由于是相互独立的随机变量序列，都服从参数为的指数分布，故
其特征函数为---------------（4分）
由特征函数性质，的特征函数为：
，
故的特征函数为：。--------------（4分）
根据级数展开，可得

由逆极限定理，证毕。------------------------------------------------------------------（4分）

 概率论试卷（五）
一、填充题（每空格3分）
(1)概率论的公理化定义中，概率是______________________________________.
(2)设()～N(0,1;1,4,1/2)，则COV()=______________.
(3)设营业员在单位时间接待顾客数服从参数为的普阿松分布，则该营业员在接待两位顾客之间的“等待时间”服从_______________分布.
(4)设_________________________, 则t=～t(n)分布.
二、是非题（每小体3分）（先回答“√”或“×”，再简述理由）.
(1)若一次试验中事件A发生的概率为p，则5次重复独立试验中事件A至少发生两次的概率为.
(2)设相互独立，则它们两两不相关.
(3)f(t)=1/(1是某随机变量的特征函数.
(4)设～N(0,1), ～N(1,4)，相关系数=1/2，则()～N(0,1;1,4,1/2).
三、（18分）随机变量的密度函数为p(x)=, .
(1)求的密度；(2)求的密度；
(3)求E； (4)求Var;
(5)求概率P(<).
四、（10分）5张卡片上各写号码1,2,3,4,5. 有放回地抽出3张卡片，求其上号码总和的数学期望和方差
五、（12分）设随机向量()的联合密度为
p(x,y)=)}, .
(1)求证与相互独立；
(2)判断各自服从什么分布（密度，名称）？
六、（8分）某计算机系统有60个终端，每个终端有40%的时间在试用；若各终端使用与否是相互独立的，求同时有多于40个终端在使用的概率. 已知:
x
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.0 2.5 3.0
Φ(x)
0.841 0.864 0.885 0.903 0.919 0.933 0.977 0.994 0.999
七、（8分）设f(t)是特征函数，求证与|f(t)也是特征函数.
八、（8分）设独立同分布，密度为 p(x)=，.
求证:.
九、（12分）设和是一列随机变量，求证：
(1)如果，则；(2)如果，(c为常数)，则.
概率论试卷（六）
一、填充题（每空格3分）
(1)设事件ABC，则P(A)+P(B)______1+P(C).
(2)若Cov()存在，则对任意常数a,b，Cov(a)=______________.
(3)设{}为独立同分布随机变量序列，～N(a, ),.则～________.
(4)关于的方差和数学期望之间的关系式—切贝晓夫不等式是指__________________
_____________________.
(5)在1500件产品中设有100件次品，任取10件，则抽到次品数的数学期望为
_______________________.
二、是非题（每小题3分）（先回答“√”或“×”，再简述理由）
(1)某人射击，每次中标的概率为p. 连续射击，击不中即停，限射5次. 则他射击次数服从参数为p的几何分布.
(2)Var(--)=Var+Var的充分必要条件是与互不相关.
(3)设,的特征函数分别为(t)与(t)，且它们联合分布的特征函数 f(，则,相互独立.
(4)设随机变量,的分布函数分别为与F(x)，若F(x)，则
.
三、（21分）设,相互独立，都服从参数为1的指数分布.
(1)写出(,)的联合密度和联合分布函数；(2)计算P(+<1)；
(3)求η=max(,)的密度； (4) 计算E； (5)计算Var()；
四、（7分）设,…,的数学期望都为0，方差都为1，两两间相关系数都为ρ.
求与的相关系数.
五、（13分）设(ξ,η)的联合密度为p(x,y)=exp{},
--∞<x,y<∞.
(1)求与的联合密度；(2)判断是否相互独立；
(3)各自服从什么分布（密度，名称）？
六、（7分）设ξ为随机变量，f(x)是(0,∞)上非负单调不减函数，求证:
对任意x>0，P(|ξ|>x).
七、（15分）(1)正确叙述并证明林德贝格—勒维中心极限定理；
(2)某校共学生1200名，假定一学生连续不断用水一小时需水1/2吨. 问每天用水高峰时每小时要供应多少吨水才能有95%的把握保证学生用水？（已知Φ(1.65)=0.95）（最后结果保留一位小数）.
八、（10分）随机变量序列,相互独立，都服从N(0,1)分布，为常数列. 求证：的充分必要条件是.
概率论试卷（七）
一、填充题（每空格3分）
(1)同类产品10件，内含3件次品. 从中任取5件，得次品数为2的概率是___________.
(2)设Varξ=Varη=Var(ξ--2η)=1, 则COV(ξ,η)=_____________.
(3) 设f(t)=q+p，(q=1--p,0<p<1). 则f(t)是分布_________________________________ 的特征函数.
(4)对随机变量序列，如果_______________________________________________，就称服从中心极限定理.
二、是非题（每小题3分）（先回答“√”或“×”，再简述理由）
(1)设随机变量ξ的密度函数为p(x)=，则的密度为
q(y)=
(2)若互不相关，则相互独立.
(3)若f(t)是实的特征函数，则f(t)一定是偶函数.
(4)设的特征函数分别为与f(t). 若，则→f(t), (n→∞).
(5)设ξ,η为任意两个随机变量，则E(ξη)=Eξ·Eη.
三、（16分）设(ξ,η)联合密度为p(x,y)=，
(1)求常数A； (2)求边际密度函数；
(3)判断ξ,η是否独立； (4)求P(ξ<η).
四、（8分）随机变量ξ服从[--1/2,1/2]上的均匀分布，η=sin. 求Eη,Varη.
五、（12分）随机向量服从联合正态，E= E=0, E=1,Var=4,
Var= Var=1, =1/2, =--1/2, =0.又设=--,=+，求：
(1) (的分布； (2) (的分布；并问,是否独立？
(3) 的密度函数.
六、（10分）设一部机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时一天全部停止工
作.若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障，只能获利5万元；发生二次故障则获利0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元. 求一周内期望利润是多少？
七、（6分）设ξ,η为两个随机变量，求证：|Eξη|.
八、（12分）(1)正确叙述并证明辛钦大数定律；
(2)随机变量序列相互独立，P(=,k=1,2,…. 求证:; 并求出常数c.
九、（9分）设和是两列常数，F和是分布函数列，如果→a(≠0)，
→b, F,(n→∞), 求证：.

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