浙大《概率论》试卷.doc

概率论试卷（一）一、填充题（每空格3分）1.若,则P(AB)_P(B).2.设服从参数为的普阿松分布,P(=1)=P(=3),则=_.3.设N(0,1),i=1,2,n; 相互独立.则_(n)分布.4.设,互不相关,则Var(2-)=_.5.参数=1的指数分布的特征函数是_.二、是非题（每小题3分）（先回答对或错再简述理由）1.设(,)为连续型随机向量,如果联合密度等于各自边际密度的乘积,则,相互独立.2.随机变量,相互独立的充分必要条件是E()=EE.3.设为独立同分布随机变量序列,N(a,),=,则也服从N(a,).4.设随机变量与的特征函数分别为与f (t). 若f (t),(n),则.三、（16分）设,相互独立，均服从p(x)=.（1）求U=+与V=/(+)的联合密度；（2）判断U与V是否独立；（3）求V的密度函数.它服从怎样的分布？四、（16分）已知(N(1,0;.（1）写出的特征函数与密度；（2）求E,Var；（3）求Cov()；（4）与相互独立吗？为什么？五、（10分）某商店某种食品一块从上柜到销售出去时间（天）服从参数为=1/3的指数分布.若一块这种食品六天内卖不出去，就要另行处理，不能再卖.该店每天新上柜这种食品100块，求（六天后）平均每天另行处理的这种食品的数量.六、（8分）设相互独立，P, P,P, k=1,2,. 求证：.七、（15分）(1)设，求证：. (2) 设（常数），求证.八、（8分）设的密度为，n=1,求证：概率论试卷（二）一、填充题（每空格3分）1.古典概型是具有条件_的随机试验模型.2.设(,)N(0,1;1,4,0.5)，则,分别服从_.3.设的特征函数分别为,相互独立. 则()的特征函数为_.4.从1,2,3,4,5五个数字中任取三个，所得号码中最大的为, 则的分布列为_.二、是非题（每小题3分）（先回答对与错，再简述理由） (1)设随机变量的密度函数为p(x)=，则=1-2的密度为q(y)=. (2)Var=1,Var=4,则Var(2+)=8. (3)(t)=sint是某随机变量的特征函数. (4)设分布函数与F(x)对应的特征函数分别为与f (t)，若则f (t).(n).三、（12分）甲乙两厂独立生产同类产品，生产一级品的概率各为.某店分别有甲乙两厂的该类产品3件与7件.（1）求它们都是一级品的概率；（2）在这10件中任取一件，求它是一级品的概率;（3）在这10件中任取一件，发现是一级品，求它是甲厂生产的概率.四、（10分）随机变量的分布列为P(=2k)=3 /,k=0,1,2,.（1）求E；（2）求的特征函数.五、（17分）()的联合密度为p()=.求：（1）与的联合密度；（2）的密度；（3）E()；（4）Var().六、（12分）设相互独立，都服从正态分布N().（1）写出其联合分布的密度函数；（2）求证：服从正态分布N(n);（3）求证：对任意正交变换U，=U（其中=(）各分量也相互独立，同方差.七、（15分）（1）正确叙述并证明林德贝格勒维中心极限定理.（2）某种电子元件使用寿命服从=0.1（单位（小时）的指数分布.一个元件损坏后第二个接着使用.求100个这类元件总计使用时间超过900小时的概率.八、（10分）设为相互独立的随机变量序列，成立中心极限定理. 则它服从大数定律的充分必要条件是=o(1)，试证明之.概率论试卷（三）一、填充题（每空格3分）(1)若P(A)=0.5, P(AB)=0.8, 则当A与B相互独立时，P(B)=_, P(A-B)_.(2)设Var=4, Var=9, 相关系数=1/4, 则Var(2+5)=_.(3)设B(n,p)，则的特征函数为_.(4)独立同分布，E=a,Var=, 则林德贝格勒维中心极限定理是说：_.二、是非题（每小题3分）（先回答“”或“”，再简述理由）(1)设随机变量的分布函数为F(x)，则对任意常数a，P(=a)=0.(2)若Var(Var+Var，则与不独立.(3)设随机变量,的特征函数分别为,. 若随机向量(,)的特征函数f(t,t)=, 则,相互独立.(4)设随机变量,的分布函数分别为(x)与F(x)，特征函数分别为与f(t). 若f(t), (n), 则.三、（10分）随机变量N(a,). (1)求证+bN(ka+b,)，(k0);(2)求的密度函数.四、（17分）()的联合密度为p(x,y)=，(1)求边际密度；(2) 求E,E及COV().五、（8分）某人每月收入服从600,1200上的均匀分布. 当月收入超过800元时应交个人收入调节税. 问此人平均每年有几个月要交该项税款？六、（8分）随机变量的分布列为P(=k)=2/,k=0,1,2,.(1)求E; (2)求的特征函数.七、（10分）设为两列随机变量，0). 求证.八、（20分）设为独立同分布的随机变量序列，都服从U-1,1. 求证:(1)依分布收敛于N(0,1); (2)依分布收敛于N(0,1).浙江大学2003 - 2004学年第一学期期末考试概率论课程试卷开课学院：_ 任课教师：_姓名：_ 专业：_ 学号：_考试时间：_分钟题序一二三四五六七总分得分评卷人签名一、（15分）给出下列定义1 1 概率的公理化定义答：为样本空间，为事件域。概率是定义在上的实值集函数：, 并且满足下列条件：（1）（非负性）对任一；（2）（规范性）；（3）（可列可加性）若是中两两互不相容的事件，则。 -(5分)2 2 随机变量答：设是定义在概率空间上的单值实函数，且对于上的任一波雷尔集有就称为随机变量。-（5分）3（弱）大数定律大：设是定义在概率空间上的随机变量列，如果存在常数列和使得则称服从（弱）大数定律。-（5分）二、（14分）投掷次均匀硬币，求出现正反面次数相等的概率。解若为奇数, 显然, 出现正反面次数不可能相等, 故所求概率为0；若为偶数,“出现正反面次数相等”等价于“出现正反面次数各次”，投掷次均匀硬币，可以看作伯努里概型，故这时概率为：。故所求为：。三、（15分）设随机变量具有对称的分布密度函数，即，记它的分布函数为。证明对任意的，有（1）；（2）；（3）。解（1）由于, 故，因而，即证（1）式；-（7分）（2）由（1）式，即得（2）式；-（4分）（3）由（2）式，即得（3）式。 -（4分）四、（14分）设为次独立试验中事件出现的次数，若已知第次试验时事件出现的概率为，求。解记，则由题意，。-（6分）显然：，由期望，方差性质：-（8分）五、（14分）已知随机变量与的相关系数为，求与的相关系数，其中均为常数，皆不为0。解由于-（6分）-（4分）注意到与的相关系数为，故-（4分）六、（14分）设的联合概率密度函数为，记，求与的联合密度，并证明它们之间相互独立。解作变换，得，其雅可比行列式为， -（4分）则的联合概率密度函数为-（8分）为可分离变量，故与相互独立。-（2分）七、（14分）设是相互独立的随机变量序列，都服从参数为的指数分布。记通过计算的特征函数证明服从中心极限定理。证：由于是相互独立的随机变量序列，都服从参数为的指数分布，故其特征函数为-（4分）由特征函数性质，的特征函数为：，故的特征函数为：。-（4分）根据级数展开，可得由逆极限定理，证毕。-（4分）概率论试卷（五）一、填充题（每空格3分）(1)概率论的公理化定义中，概率是_.(2)设()N(0,1;1,4,1/2)，则COV()=_.(3)设营业员在单位时间接待顾客数服从参数为的普阿松分布，则该营业员在接待两位顾客之间的“等待时间”服从_分布. (4)设_, 则t=t(n)分布.二、是非题（每小体3分）（先回答“”或“”，再简述理由）.(1)若一次试验中事件A发生的概率为p，则5次重复独立试验中事件A至少发生两次的概率为.(2)设相互独立，则它们两两不相关.(3)f(t)=1/(1是某随机变量的特征函数.(4)设N(0,1), N(1,4)，相关系数=1/2，则()N(0,1;1,4,1/2).三、（18分）随机变量的密度函数为p(x)=, .(1)求的密度；(2)求的密度；(3)求E； (4)求Var;(5)求概率P().四、（10分）5张卡片上各写号码1,2,3,4,5. 有放回地抽出3张卡片，求其上号码总和的数学期望和方差五、（12分）设随机向量()的联合密度为p(x,y)=), .(1)求证与相互独立；(2)判断各自服从什么分布（密度，名称）？六、（8分）某计算机系统有60个终端，每个终端有40%的时间在试用；若各终端使用与否是相互独立的，求同时有多于40个终端在使用的概率. 已知: x 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.0 2.5 3.0(x) 0.841 0.864 0.885 0.903 0.919 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（8分）设f(t)是特征函数，求证与|f(t)也是特征函数.八、（8分）设独立同分布，密度为 p(x)=，.求证:.九、（12分）设和是一列随机变量，求证：(1)如果，则；(2)如果，(c为常数)，则.概率论试卷（六）一、填充题（每空格3分）(1)设事件ABC，则P(A)+P(B)_1+P(C).(2)若Cov()存在，则对任意常数a,b，Cov(a)=_.(3)设为独立同分布随机变量序列，N(a, ),.则_.(4)关于的方差和数学期望之间的关系式切贝晓夫不等式是指_.(5)在1500件产品中设有100件次品，任取10件，则抽到次品数的数学期望为_.二、是非题（每小题3分）（先回答“”或“”，再简述理由）(1)某人射击，每次中标的概率为p. 连续射击，击不中即停，限射5次. 则他射击次数服从参数为p的几何分布.(2)Var(-)=Var+Var的充分必要条件是与互不相关.(3)设,的特征函数分别为(t)与(t)，且它们联合分布的特征函数f(，则,相互独立.(4)设随机变量,的分布函数分别为与F(x)，若F(x)，则.三、（21分）设,相互独立，都服从参数为1的指数分布.(1)写出(,)的联合密度和联合分布函数；(2)计算P(+1)；(3)求=max(,)的密度；(4) 计算E；(5)计算Var()；四、（7分）设,的数学期望都为0，方差都为1，两两间相关系数都为.求与的相关系数.五、（13分）设(,)的联合密度为p(x,y)=exp,-x,y0，P(|x).七、（15分）(1)正确叙述并证明林德贝格勒维中心极限定理；(2)某校共学生1200名，假定一学生连续不断用水一小时需水1/2吨. 问每天用水高峰时每小时要供应多少吨水才能有95%的把握保证学生用水？（已知(1.65)=0.95）（最后结果保留一位小数）.八、（10分）随机变量序列,相互独立，都服从N(0,1)分布，为常数列. 求证：的充分必要条件是.概率论试卷（七）一、填充题（每空格3分）(1)同类产品10件，内含3件次品. 从中任取5件，得次品数为2的概率是_.(2)设Var=Var=Var(-2)=1, 则COV(,)=_.(3) 设f(t)=q+p，(q=1-p,0p1). 则f(t)是分布_的特征函数.(4)对随机变量序列，如果_，就称服从中心极限定理.二、是非题（每小题3分）（先回答“”或“”，再简述理由）(1)设随机变量的密度函数为p(x)=，则的密度为q(y)=(2)若互不相关，则相互独立.(3)若f(t)是实的特征函数，则f(t)一定是偶函数.(4)设的特征函数分别为与f(t). 若，则f(t), (n).(5)设,为任意两个随机变量，则E()=EE.三、（16分）设(,)联合密度为p(x,y)=，(1)求常数A；(2)求边际密度函数；(3)判断,是否独立；(4)求P().四、（8分）随机变量服从-1/2,1/2上的均匀分布，=sin. 求E,Var.五、（12分）随机向量服从联合正态，E= E=0, E=1,Var=4,Var= Var=1, =1/2, =-1/2, =0.又设=-,=+，求：(1) (的分布；(2) (的分布；并问,是否独立？(3) 的密度函数.六、（10分）设一部机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时一天全部停止工作.若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障，只能获利5万元；发生二次故障则获利0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元. 求一周内期望利润是多少？七、（6分）设,为两个随机变量，求证：|E|.八、（12分）(1)正确叙述并证明辛钦大数定律；(2)随机变量序列相互独立，P(=,k=1,2,. 求证:;并求出常数c.九、（9分）设和是两列常数，F和是分布函数列，如果a(0)，b, F,(n), 求证：.9 / 9