山东省临沂市平邑县2017年中考数学一模试卷(含解析).doc

2017年山东省临沂市平邑县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．计算1﹣（﹣2）的正确结果是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．3
2．钓鱼岛是中国的固有领土，面积约4400000平方米，数据4400000用科学记数法表示应为（　　）
A．44×105 B．0.44×107 C．4.4×106 D．4.4×105
3．已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A．（a2）3=a5 B．a3•a=a4 C．（3ab）2=6a2b2 D．a6÷a3=a2
5．下列说法中，正确的是（　　）
A．“打开电视，正在播放新闻联播节目”是必然事件
B．某种彩票中奖概率为10%是指买10张一定有一张中奖
C．了解某种节能灯的使用寿命应采用全面检查
D．一组数据3，5，4，6，7的中位数是5，方差是2
6．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM．若∠AOC=70°，则∠CON的度数为（　　）

A．65° B．55° C．45° D．35°
7．如图是某几何体的三视图，这个几何体的侧面积是（　　）

A．6π B．2π C．π D．3π
8．分式方程的解是（　　）
A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣2
9．已知a，b满足方程组，则a﹣b的值为（　　）
A．﹣1 B．m﹣1 C．0 D．1
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于（　　）

A．60° B．50° C．40° D．30°
11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，则阴影部分图形的面积为（　　）

A．4π B．2π C．π D．
12．下列图形中阴影部分的面积相等的是（　　）

A．②③ B．③④ C．①② D．①④
13．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：
①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．
其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
14．如图，直线l：y=x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…按此作法继续下去，则点A2015的坐标为（　　）

A．（0，42015） B．（0，42014） C．（0，32015） D．（0，32014）

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15．分解因式：ax2﹣4ay2=　　．
16．如图，AB和⊙O切于点B，AB=4，OB=2，则tanA=　　．

17．如图，矩形纸片ABCD中，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与CD边上的点E重合，折痕FG分别与AD、AB交于点F、G，若DE=，则EF的长为　　．

18．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数y=的图象上．若点B在反比例函数y=的图象上，则k的值为　　．

19．如果一个数的平方等于﹣1，记作i2=﹣1，这个数叫做虚数单位．形如a+bi（a，b为有理数）的数叫复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
如：（2+i）+（3﹣5i）=（2+3）+（1﹣5）i=5﹣4i，
（5+i）×（3﹣4i）=5×3+5×（﹣4i）+i×3+i×（﹣4i）=15﹣20i+3i﹣4×i2=15﹣17i﹣4×（﹣1）=19﹣17i．
请根据以上内容的理解，利用以前学习的有关知识将（1+i）（1﹣i）化简结果为为　　．

三、解答题（本大题共7小题，共63分）
20．计算：（+1）0﹣|sin60°﹣1|﹣+（﹣1）3
21．某校为了进一步改进本校七年级数学教学，提高学生学习数学的兴趣，校教务处在七年级所有班级中，每班随机抽取了6名学生，并对他们的数学学习情况进行了问卷调查．我们从所调查的题目中，特别把学生对数学学习喜欢程度的回答（喜欢程度分为：“A﹣非常喜欢”、“B﹣比较喜欢”、“C﹣不太喜欢”、“D﹣很不喜欢”，针对这个题目，问卷时要求每位被调查的学生必须从中选一项且只能选一项）结果进行了统计，现将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）补全上面的条形统计图和扇形统计图；
（2）所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是　　；
（3）若该校七年级共有960名学生，请你估算该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有多少人？
22．某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30°，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里．求A、D两点间的距离．（结果不取近似值）

23．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．

24．某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：
类型 价格
进价（元/盏）
售价（元/盏）
A型
30
45
B型
50
70
（1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各购进多少盏？
（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？
25．如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．求证：BE=DG．
（1）如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A=∠F．是否仍存在结论BE=DG，若不存在，请说明理由；若存在，给出证明．
（2）如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上．若AE=2ED，∠A=∠F，△EBC的面积为8，则菱形CEFG的面积为　　．

26．如图，二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．该抛物线的顶点为M．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）判断△BCM的形状，并说明理由．
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

2017年山东省临沂市平邑县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．计算1﹣（﹣2）的正确结果是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．3
【考点】1A：有理数的减法．
【分析】原式利用减法法则变形，计算即可得到结果．
【解答】解：原式=1+2=3，
故选D

2．钓鱼岛是中国的固有领土，面积约4400000平方米，数据4400000用科学记数法表示应为（　　）
A．44×105 B．0.44×107 C．4.4×106 D．4.4×105
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：4 400 000=4.4×106，
故选：C．

3．已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组；D1：点的坐标；P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】先得出点M关于x轴对称点的坐标为（1﹣2m，1﹣m），再由第一象限的点的横、纵坐标均为正可得出关于m的不等式，继而可得出m的范围，在数轴上表示出来即可．
【解答】解：由题意得，点M关于x轴对称的点的坐标为：（1﹣2m，1﹣m），
又∵M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，
∴，
解得：，
在数轴上表示为：．
故选：A．

4．下列运算正确的是（　　）
A．（a2）3=a5 B．a3•a=a4 C．（3ab）2=6a2b2 D．a6÷a3=a2
【考点】48：同底数幂的除法；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．
【分析】原式各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=a6，不符合题意；
B、原式=a4，符合题意；
C、原式=9a2b2，不符合题意；
D、原式=a3，不符合题意，
故选B．

5．下列说法中，正确的是（　　）
A．“打开电视，正在播放新闻联播节目”是必然事件
B．某种彩票中奖概率为10%是指买10张一定有一张中奖
C．了解某种节能灯的使用寿命应采用全面检查
D．一组数据3，5，4，6，7的中位数是5，方差是2
【考点】X3：概率的意义；V2：全面调查与抽样调查；W4：中位数；W7：方差；X1：随机事件．
【分析】根据必然事件是指在一定条件下一定发生的事件，随机事件和不可能事件对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、打开电视，正在播放《新闻联播》节目是随机事件，故本选项错误；
B、某种彩票中奖概率为10%，买这种彩票10张不一定会中奖，故本选项错误；
C、了解某种节能灯的使用寿命应采用抽样调查，故本选项错误；
D、一组数据3，5，4，6，7的中位数是5，方差是2，故本选项正确．
故选D．

6．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM．若∠AOC=70°，则∠CON的度数为（　　）

A．65° B．55° C．45° D．35°
【考点】J3：垂线；IJ：角平分线的定义；J2：对顶角、邻补角．
【分析】根据垂直定义可得∠MON=90°，再根据角平分线定义可得∠MOC=∠AOC=35°，再根据角的和差关系进而可得∠CON的度数．
【解答】解：∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∵OM平分∠AOC，∠AOC=70°，
∴∠MOC=∠AOC=35°，
∴∠CON=90°﹣35°=55°，
故选：B．

7．如图是某几何体的三视图，这个几何体的侧面积是（　　）

A．6π B．2π C．π D．3π
【考点】U3：由三视图判断几何体；MP：圆锥的计算．
【分析】根据三视图可以判定此几何体为圆锥，根据三视图的尺寸可以知圆锥的底面半径为1，高为3，利用勾股定理求得圆锥的母线长为，代入公式求得即可．
【解答】解：由三视图可知此几何体为圆锥，
∴圆锥的底面半径为1，高为3，
∴圆锥的母线长为，
∵圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，
∴圆锥的底面周长=圆锥的侧面展开扇形的弧长=2πr=2π×1=2π，
∴圆锥的侧面积=lr=×2π×=π，
故选C．

8．分式方程的解是（　　）
A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣2
【考点】B3：解分式方程．
【分析】观察式子可得最简公分母为2（x+1）．方程两边同乘最简公分母，转化为整式方程求解．结果要检验．
【解答】解：方程两边乘2（x+1），得：2x=x+1，
解得x=1．将x=1代入2（x+1）=4≠0．
∴方程的解为x=1．故选A．

9．已知a，b满足方程组，则a﹣b的值为（　　）
A．﹣1 B．m﹣1 C．0 D．1
【考点】97：二元一次方程组的解．
【分析】方程组两方程相减表示出a﹣b即可．
【解答】解：，
②﹣①得：a﹣b=1，
故选D

10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于（　　）

A．60° B．50° C．40° D．30°
【考点】M5：圆周角定理．
【分析】在等腰三角形OCB中，求得两个底角∠OBC、∠0CB的度数，然后根据三角形的内角和求得∠COB=100°；最后由圆周角定理求得∠A的度数并作出选择．
【解答】解：在△OCB中，OB=OC（⊙O的半径），
∴∠OBC=∠0CB（等边对等角）；
∵∠OCB=40°，∠C0B=180°﹣∠OBC﹣∠0CB，
∴∠COB=100°；
又∵∠A=∠C0B（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠A=50°，
故选B．

11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，则阴影部分图形的面积为（　　）

A．4π B．2π C．π D．
【考点】M5：圆周角定理；M2：垂径定理；MO：扇形面积的计算．
【分析】根据垂径定理求得CE=ED=；然后由圆周角定理知∠COE=60°．然后通过解直角三角形求得线段OC，求出扇形COB面积，即可得出答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=2，

∴CE=CD=，∠CEO=90°，
∵∠CDB=30°，
∴∠COB=2∠CDB=60°，
∴OC==2，
∴阴影部分的面积S=S扇形COB==，
故选D．

12．下列图形中阴影部分的面积相等的是（　　）

A．②③ B．③④ C．①② D．①④
【考点】HA：抛物线与x轴的交点；F6：正比例函数的性质；F8：一次函数图象上点的坐标特征；G5：反比例函数系数k的几何意义．
【分析】首先根据各图形的函数解析式求出函数与坐标轴交点的坐标，进而可求得各个阴影部分的面积，进而可比较出个阴影部分面积的大小关系．
【解答】解：①：图中的函数为正比例函数，与坐标轴只有一个交点（0，0），由于缺少条件，无法求出阴影部分的面积；
②：直线y=﹣x+2与坐标轴的交点坐标为：（2，0），（0，2），故S阴影=×2×2=2；
③：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为：S=xy=×4=2；
④：该抛物线与坐标轴交于：（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1），故阴影部分的三角形是等腰直角三角形，其面积S=×2×1=1；
②③的面积相等，
故选：A．

13．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：
①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．
其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：抛物线与y轴交于原点，
c=0，（故①正确）；

该抛物线的对称轴是：，
直线x=﹣1，（故②正确）；

当x=1时，y=a+b+c
∵对称轴是直线x=﹣1，
∴﹣b/2a=﹣1，b=2a，
又∵c=0，
∴y=3a，（故③错误）；
x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，
x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c，
又∵x=﹣1时函数取得最小值，
∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm，
∵b=2a，
∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．（故④正确）．
故选：C．

14．如图，直线l：y=x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…按此作法继续下去，则点A2015的坐标为（　　）

A．（0，42015） B．（0，42014） C．（0，32015） D．（0，32014）
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；D2：规律型：点的坐标．
【分析】根据所给直线解析式可得l与x轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点A1，A2的坐标，通过相应规律得到A2015标即可．
【解答】解：∵直线l的解析式为：y=x，
∴直线l与x轴的夹角为30°，
∵AB∥x轴，
∴∠ABO=30°，
∵OA=1，
∴AB=，
∵A1B⊥l，
∴∠ABA1=60°，
∴AA1=3，
∴A1（0，4），
同理可得A2（0，16），
…，
∴A2015纵坐标为：42015，
∴A2015（0，42015）．
故选A．

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15．分解因式：ax2﹣4ay2=　a（x+2y）（x﹣2y）　．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】观察原式ax2﹣4ay2，找到公因式a，提出公因式后发现x2﹣4y2符合平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．
【解答】解：ax2﹣4ay2
=a（x2﹣4y2）
=a（x+2y）（x﹣2y）．

16．如图，AB和⊙O切于点B，AB=4，OB=2，则tanA=　　．

【考点】MC：切线的性质；T7：解直角三角形．
【分析】先根据切线的性质得出∠AOB=90°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：∵AB和⊙O切于点B，
∴OB⊥AB．
∵AB=4，OB=2，
∴tanA==．
故答案为：．

17．如图，矩形纸片ABCD中，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与CD边上的点E重合，折痕FG分别与AD、AB交于点F、G，若DE=，则EF的长为　　．

【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KU：勾股定理的应用．
【分析】先设EF=x，则AF=x，DF=1﹣x，再根据Rt△DEF中，DE2+DF2=EF2，即可得到方程（）2+（1﹣x）2=x2，即可得出EF的长．
【解答】解：设EF=x，则AF=x，
∵AD=1，
∴DF=1﹣x，
∵∠D=90°，
∴Rt△DEF中，DE2+DF2=EF2，
∴（）2+（1﹣x）2=x2，
解得x=．
故答案为：．

18．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数y=的图象上．若点B在反比例函数y=的图象上，则k的值为　﹣4　．

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】要求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到： =2，然后用待定系数法即可．
【解答】解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．

设点A的坐标是（m，n），则AC=n，OC=m．
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°．
∵∠DBO+∠BOD=90°，
∴∠DBO=∠AOC．
∵∠BDO=∠ACO=90°，
∴△BDO∽△OCA．
∴．
∵OB=2OA，
∴BD=2m，OD=2n．
因为点A在反比例函数y=的图象上，
∴mn=1．
∵点B在反比例函数y=的图象上，
∴B点的坐标是（﹣2n，2m）．
∴k=﹣2n•2m=﹣4mn=﹣4．
故答案为：﹣4．

19．如果一个数的平方等于﹣1，记作i2=﹣1，这个数叫做虚数单位．形如a+bi（a，b为有理数）的数叫复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
如：（2+i）+（3﹣5i）=（2+3）+（1﹣5）i=5﹣4i，
（5+i）×（3﹣4i）=5×3+5×（﹣4i）+i×3+i×（﹣4i）=15﹣20i+3i﹣4×i2=15﹣17i﹣4×（﹣1）=19﹣17i．
请根据以上内容的理解，利用以前学习的有关知识将（1+i）（1﹣i）化简结果为为　2　．
【考点】2C：实数的运算；4F：平方差公式．
【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：（1+i）（1﹣i）=1﹣i+i+1=2，
故答案为：2．

三、解答题（本大题共7小题，共63分）
20．计算：（+1）0﹣|sin60°﹣1|﹣+（﹣1）3
【考点】2C：实数的运算．
【分析】由于（+1）0=1；|sin60°﹣1|=1﹣； =；（﹣1）3=﹣1．由此即可求解．
【解答】解：原式=1﹣（1﹣）﹣﹣1
=﹣﹣1
=﹣．

21．某校为了进一步改进本校七年级数学教学，提高学生学习数学的兴趣，校教务处在七年级所有班级中，每班随机抽取了6名学生，并对他们的数学学习情况进行了问卷调查．我们从所调查的题目中，特别把学生对数学学习喜欢程度的回答（喜欢程度分为：“A﹣非常喜欢”、“B﹣比较喜欢”、“C﹣不太喜欢”、“D﹣很不喜欢”，针对这个题目，问卷时要求每位被调查的学生必须从中选一项且只能选一项）结果进行了统计，现将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）补全上面的条形统计图和扇形统计图；
（2）所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是　比较喜欢　；
（3）若该校七年级共有960名学生，请你估算该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有多少人？
【考点】W5：众数；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
【分析】（1）根据条形统计图与扇形统计图可以得到调查的学生数，从而可以的选B的学生数和选B和选D的学生所占的百分比，从而可以将统计图补充完整；
（2）根据（1）中补全的条形统计图可以得到众数；
（3）根据（1）中补全的扇形统计图可以得到该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的人数．
【解答】解：（1）由题意可得，
调查的学生有：30÷25%=120（人），
选B的学生有：120﹣18﹣30﹣6=66（人），
B所占的百分比是：66÷120×100%=55%，
D所占的百分比是：6÷120×100%=5%，
故补全的条形统计图与扇形统计图如右图所示，
（2）由（1）中补全的条形统计图可知，
所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是：比较喜欢，
故答案为：比较喜欢；
（3）由（1）中补全的扇形统计图可得，
该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有：960×25%=240（人），
即该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有240人．

22．某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30°，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里．求A、D两点间的距离．（结果不取近似值）

【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【分析】先作CH⊥AD，可得BD=×20，AH=DH，可求AH的长，从而求得AD的长．
【解答】解：作CH⊥AD于点H，
由题意可得：△ACD是等腰直角三角形，则CH=AD，设CH=x，则DH=x，
在Rt△CBH中，∠BCH=30°，
则=tan30°，故BH=x，
∴BD=x﹣x=×20，
解得：x=15+5，
故2x=30+10．
答：A、D两点间的距离为（30+10）海里．

23．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．

【考点】MC：切线的性质；MO：扇形面积的计算．
【分析】（1）连接OD，易得∠ABC=∠ODB，由AB=AC，易得∠ABC=∠ACB，等量代换得∠ODB=∠ACB，利用平行线的判定得OD∥AC，由切线的性质得DF⊥OD，得出结论；
（2）连接OE，利用（1）的结论得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，得出∠AOE=90°，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DF是⊙O的切线，
∴DF⊥OD，
∴DF⊥AC．

（2）解：连接OE，
∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，
∴∠BAC=45°，
∵OA=OE，
∴∠AOE=90°，
∵⊙O的半径为4，
∴S扇形AOE=4π，S△AOE=8 ，
∴S阴影=4π﹣8．

24．某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：
类型 价格
进价（元/盏）
售价（元/盏）
A型
30
45
B型
50
70
（1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各购进多少盏？
（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？
【考点】FH：一次函数的应用；8A：一元一次方程的应用．
【分析】（1）设商场应购进A型台灯x盏，表示出B型台灯为盏，然后根据进货款=A型台灯的进货款+B型台灯的进货款列出方程求解即可；
（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，再求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值．
【解答】解：（1）设商场应购进A型台灯x盏，则B型台灯为盏，
根据题意得，30x+50=3500，
解得x=75，
所以，100﹣75=25，
答：应购进A型台灯75盏，B型台灯25盏；

（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，
则y=（45﹣30）x+（70﹣50），
=15x+2000﹣20x，
=﹣5x+2000，
即y=﹣5x+2000，
∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，
∴100﹣x≤3x，
∴x≥25，
∵k=﹣5＜0，y随x的增大而减小，
∴x=25时，y取得最大值，为﹣5×25+2000=1875（元）
答：商场购进A型台灯25盏，B型台灯75盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1875元．

25．如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．求证：BE=DG．
（1）如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A=∠F．是否仍存在结论BE=DG，若不存在，请说明理由；若存在，给出证明．
（2）如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上．若AE=2ED，∠A=∠F，△EBC的面积为8，则菱形CEFG的面积为　　．

【考点】LE：正方形的性质；LA：菱形的判定与性质．
【分析】想办法证明△BCE≌△DCG即可解决问题；
（1）结论成立．证明方法类似；
（2）由四边形ABCD是菱形，S△EBC=8，推出S△AEB+S△EDC=8，由AE=2DE，推出S△AEB=2S△EDC，可得S△EDC=，由△BCE≌△DCG，推出S△DGC=S△EBC=8，根据菱形CEFG的面积=2•S△EGC即可解决问题；
【解答】证明：∵四边形ABCD、四边形CEFG均为正方形，
∴BC=CD，CE=CG，
∵∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCD﹣∠ECD=∠ECG﹣∠ECD，
即∠BCE=∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
，
∴△BCE≌△DCG，
∴BE=DG．

（1）：存在　
理由：∵四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠A，∠ECG=∠F，
∵∠A=∠F，
∴∠BCD=∠ECG，
∴∠BCD﹣∠ECD=∠ECG﹣∠ECD，
即∠BCE=∠DCG，
∴△BCE≌△DCG．，
∴BE=DG．

（2）∵四边形ABCD是菱形，S△EBC=8，
∴S△AEB+S△EDC=8，
∵AE=2DE，
∴S△AEB=2S△EDC，
∴S△EDC=，
∵△BCE≌△DCG，
∴S△DGC=S△EBC=8，
∴S△ECG=8+=，
∴菱形CEFG的面积=2•S△EGC=，
故答案为．

26．如图，二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．该抛物线的顶点为M．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）判断△BCM的形状，并说明理由．
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；
（2）根据勾股定理即勾股定理的逆定里，可得答案；
（3）根据相似三角形的性质，可得AP，PC的长，根据点的坐标，可得答案．
【解答】解：（1）∵函数y=ax2+bx﹣3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴，解得：
∴二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）解：△BCM为直角三角形．
如图1，
作MF⊥y轴于F，ME⊥x轴于E
∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4
∴顶点M（1，﹣4）．
当x=0时，y=﹣3，
∴C（0，﹣3）．
∴在Rt△CMF中，CM2=CF2+MF2=12+12=2，
在Rt△CBO中，CB2=OC2+OB2=32+32=18，
在Rt△EMB中，BM2=ME2+BE2=42+22=20，
∴CM2+CB2=BM2，
∴∠MCB=90°，
∴△BCM为直角三角形．
（3）如图2，
在坐标轴上存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形与△BCM相似．
如图分三种情形：①若假设点P在x轴上，构成以AC为斜边的Rt△ACP，由△PAC∽△CMB，得
=， =，
∴AP=1．
由A（﹣1，0）与点P在x轴上，可知P与原点重合，即点P的坐标为（0，0）．
②假设点P在x轴上，构成以AC为直角边的Rt△ACP，由△ACP∽△MCB，
得=， =，
∴PA=10，
∴PO=9，
∴P（9，0）．
③若假设点P在y轴上，构成以 AC 为直角边的 Rt△ACP，
由△ACP∽△CBM，得
=， =，
∴PC=，
∴PO=，
∴P（O，）．
综上所述，符合条件的点P的坐标为（0，0），（9，0），（O，）．