江苏省南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学与评分标准.doc

南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试 数 学 2018.03注意事项：1本试卷共4页，包括填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分本试卷满分为160分，考试时间为120分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸参考公式：样本数据x1，x2，xn的方差s2 (xi)2，其中 xi；锥体的体积公式：VSh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1函数f (x)lg(2x)的定义域为2已知复数z满足i，其中i为虚数单位，则复数z的模为 3执行如图所示的算法流程图，则输出a的值为 4某学生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则这组数据的方差为N 开始 i0 ，a6i 3 Y 输出a i i1 结束 a (第3题)(第4题)7983579153名教师被随机派往甲、乙两地支教，每名教师只能被派往其中一个地方，则恰有2名教师被派往甲地的概率为 6已知等差数列an的前n项和为Sn若S1530，a71，则S9的值为7在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若bsinAsinBacos2B2c，则的值为8在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：x21 (b0) 的两条渐近线与圆O：的四个交点依次为A，B，C，D若矩形ABCD的面积为b，则b的值为 9在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形（如图1中阴影部分），折叠成底面边长为的正四棱锥S-EFGH（如图2），则正四棱锥SEFGH的体积为AD B C E F G H(图1)SEFGH(图2)(第9题)10已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f (x)x2x若f (a)f (a)4，则实数a的取值范围为11在平面直角坐标系xOy中，曲线y(m0)在x1处的切线为l，则点(2，1) 到直线l的距离的最大值为(第12题)BE ACDF 12如图，在ABC中，边BC的四等分点依次为D，E，F若2，5，则AE的长为13在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：(x4)2(ya)216上两个动点，且AB2若直线l：y2x上存在唯一的一个点P，使得，则实数a的值为14已知函数f(x)tR若函数g (x)f (f (x)1)恰有4个不同的零点，则t的取值范围为二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15(本小题满分14分)yx21-1-2O（第15题）已知函数f(x)2sin(x)(0，)的部分图象如图所示，直线x，x是其相邻的两条对称轴（1）求函数f(x)的解析式；（2）若f()，且，求cos的值16.（本小题满分14分）（第16题）BEDAHCMN如图，矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直，AEAB，M，N，H分别为DE，AB，BE的中点（1）求证：MN平面BEC；（2）求证：AHCE17(本小题满分14分)调查某地居民每年到商场购物次数m与商场面积S、到商场距离d的关系，得到关系式mk(k为常数)如图，某投资者计划在与商场A相距10km的新区新建商场B，且商场B的面积与商场A的面积之比为 (01)记“每年居民到商场A购物的次数”、“每年居民到商场B购物的次数”分别为m1、m2，称满足m1m2的区域叫做商场B相对于A的“更强吸引区域”（1）已知P与A相距15km，且PAB60o当时，居住在P点处的居民是否在商场B相对于A的“更强吸引区域”内？请说明理由；PAB(第17题)（2）若要使与商场B相距2 km以内的区域(含边界)均为商场B相对于A的“更强吸引区域”，求的取值范围18(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：1(ab0)的离心率为，上顶点A到右焦点的距离为过点D(0，m)(m0)作不垂直于x轴，y轴的直线l交椭圆E于P，Q两点，C为线段PQ的中点，且ACOC（1）求椭圆E的方程；（2）求实数m的取值范围；yPDACOxQB(第18题)（3）延长AC交椭圆E于点B，记AOB与AOC的面积分别为S1，S2，若，求直线l的方程19(本小题满分16分)已知函数f (x)x(ex2)，g (x)xlnxk，kR，e为自然对数的底记函数F(x)f(x)g (x) （1）求函数yf (x)2x的极小值； （2）若F(x)0的解集为(0，+)，求k的取值范围； （3）记F(x)的极值点为m求证：函数G(x)|F(x)|lnx在区间(0，m)上单调递增(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)20(本小题满分16分)对于数列an，定义bn(k)anank，其中n，kN*（1）若bn(2)bn(1)1，nN*，求bn(4)bn(1)的值；（2）若a12，且对任意的n，kN*，都有bn1(k)2bn(k) （i）求数列an的通项公式；（ii）设k为给定的正整数，记集合Abn(k)|nN*，B5bn(k2)|nN*，求证：AB高三数学试卷第 5 页 共 17 页南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学参考答案说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1(，2) 2 33 416 5 69 7 2 8 9 10(1，1) 11 12 132或-18 144，0)二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15(本小题满分14分)解：（1）设f(x)的周期为T，则，所以T又T，所以2，所以f(x)2sin(2x) 3分因为点(，2)在函数图象上，所以2sin(2)2，即sin()1因为，所以，所以f(x)2sin(2x)7分（2）由f()，得sin()因为，所以，所以cos() 10分所以coscos()cos()cossin() sin() 14分16(本小题满分14分)（1）解法一：取CE中点F，连接FB，MF. 因为M为DE的中点，F为CE的中点，所以MFCD 且MFCD 2分又因为在矩形ABCD中，N为AB的中点，所以BNCD 且BNCD，所以MFBN 且MFBN，所以四边形BNMF为平行四边形， 所以MNBF 4分又MN平面BEC，BF平面BEC，所以MN平面BEC 6分解法二：取AE中点G，连接MG，GN. 因为G为AE的中点，M为DE的中点，所以MGAD又因为在矩形ABCD中，BCAD，所以MGBC又因为MG平面BEC，BC平面BEC，所以MG平面BEC 2分因为G为AE的中点，N为AB的中点，所以GNBE又因为GN平面BEC，BE平面BEC，所以GN平面BEC又因为MGGNG，MG，GN平面GMN，所以平面GMN平面BEC 4分又因为MN平面GMN，所以MN平面BEC 6分（2）因为四边形ABCD为矩形，所以BCAB因为平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABEAB，BC平面ABCD，且BCAB，所以BC平面ABE 8分因为AH平面ABE，所以BCAH因为ABAE，H为BE的中点，所以BEAH 10分因为BCBEB，BC平面BEC，BE 平面BEC，所以AH平面BEC 12分又因为CE平面BEC，所以AHCE 14分 17(本小题满分14分)解：设商场A、B的面积分别为S1、S2，点P到A、B的距离分别为d1、d2，则S2S1，m1k，m2k，k为常数，k0（1）在PAB中，AB10，PA15，PAB60o，由余弦定理，得d22PB2AB2PA22ABPAcos6010215221015175 2分又d12PA2225， 此时，m1m2kkkkkS1()， 4分将，d12225，d22175代入，得m1m2kS1()因为kS10，所以m1m2，即居住在P点处的居民不在商场B相对于A的“更强吸引区域”内 6分xyPA（O）B(第17题)（2）解法一：以AB所在直线为x轴，A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(10，0)，设P(x，y)，由m1m2得，kk，将S2S1代入，得d22d128分代入坐标，得(x10)2y2(x2y2)， 化简得(1) x2(1) y220x1000 10分因为01，配方得 (x)2y2()2，所以商场B相对于A的“更强吸引区域”是：圆心为C(，0)，半径为r1的圆的内部与商场B相距2 km以内的区域(含边界)是：圆心为B(10，0)，半径为r22的圆的内部及圆周 由题设，圆B内含于圆C，即BC| r1r2| 12分因为01，所以102， 整理得4510，解得1所以，所求的取值范围是(，1) 14分解法二：要使与商场B相距2 km以内的区域(含边界)均为商场B相对于A的“更强吸引区域”，则当d22时，不等式m1m2恒成立由m1m2，得kkk，化简得d12 8分设PBA，则d12PA2AB2PB22ABPBcos100d2220d2cos， 10分所以100d2220d2cos，即cos上式对于任意的0，恒成立，则有1， 12分即120100()2100()21 (*)由于d22，所以当时，不等式(*)右端的最大值为15，所以115，解得又01，所以的取值范围是(，1) 14分18(本小题满分16分)解：（1）因为 所以c1，b2a2c21，所以椭圆E的方程为y21 2分解法一：（2）由（1）得A(0，1)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，C(x0，y0)，其中x0，y0均不为0，且x1x2因为P，Q两点都在椭圆E上，所以x122y122 且x222y222，两式相减得 4分又 ，所以， 6分即x022y0(my0) 又ACOC，所以1， 8分即x02y0(1y0) 由得y02m1，x02(12m) (2m2)(0，2)，所以m1 10分（3）设B(x3，y3)，点B在椭圆E上，所以x322y322又ACOC，所以1，即y3x31，代入上式消去y3，得x3， 12分所以| |由（2）知y02m1，x02(12m) (2m2)，m1，所以| | | 14分因为，所以，解得m，此时y02m1，x02(12m) (2m2)，所以x0， 所以C点坐标为(，)，D点坐标为(0，)，所以直线l的方程为yx 16分解法二：（2）由（1）得A(0，1)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，C(x0，y0)设直线l方程为ykxm(k0)，将其与椭圆E的方程联立，消去y得(12k2)x24kmx2m220 (*)，所以x1x2， 4分所以x0，y0kx0m，即C(，)，所以kAC 6分又因为kOC，且ACOC，所以kACkOC()1，整理得m 8分因为k0，则m11(，1)，此时8(2k21m)0，所以实数m的取值范围为(，1) 10分（3）设B(x3，y3)，kAB2k，所以直线AB的方程为y2kx1，与椭圆E方程联立解得x或0（舍），即x3 12分又因为x0， 所以| 14分因为，所以，解得k， 此时m，D点坐标为(0，)，所以直线l的方程为yx 16分19(本小题满分16分)（1）解：yf(x)2xxex，由y (1+ x)ex0，解得x1.列表如下：x(，1)1(1，)y0y极小值所以当x1时，f(x)取得极小值 2分（2）解：F(x)f(x)g(x)xexxlnxk，F (x)(x1)(ex)，设h(x)ex(x0)，则h (x)ex0恒成立，所以函数h(x)在(0，)上单调递增又h()20，h(1)e10，且h(x)的图像在(0，)上不间断，因此h(x)在(0，)上存在唯一的零点x0(，1)，且e4分当x(0，x0)时，h(x)0，即F (x)0；当x(x0，)时，h(x)0，即F (x)0，所以F(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，于是xx0时，函数F(x)取极(最)小值为F(x0)x0ex0lnx0k 6分1x0lnk1k因为F(x)0的解集为(0，)， 所以1k0，即k1 8分 （3）证明：由（2）知mx0， 当1k0，即k1时，F(x)0恒成立， 于是G(x)F(x)lnxxe xxk，G (x)(x1)ex1因为x(0，m)，所以x11，ex1，于是G (x)0恒成立，所以函数G(x)在(0，m)上单调递增 10分当1k0，即k1时，0ekx0m，F(ek)ek( e1)0，F(m)F(x0)1k0，又F(x)在(0，m)上单调递减且图像不间断，所以F(x)在(0，m)上存在唯一的零点x1 12分当0xx1时，F(x)0，G(x)F(x)lnxxexxk，G (x)(x1)ex1，因为0xx1，所以x11，ex1，于是G (x)0恒成立，所以函数G(x)在(0，x1上单调递增； 14分当x1xm时，F(x)0，G(x)F(x)lnx，G (x)F (x)，由（2）知，当x1xm时，F (x)0，于是G (x)0恒成立，所以函数G(x)在x1，m)上单调递增； 设任意s，t(0，m)，且st， 若tx1，则由知G(s)G(t), 若sx1t，则由知G(s)G(x1)，由知G(x1)G(t)，于是G(s)G(t), 若x1s，由知G(s)G(t),因此总有G(s)G(t),所以G(x)在(0，m)上单调递增综上，函数G(x)在(0，m)上单调递增 16分20(本小题满分16分)（1）解：因为bn(2)bn(1)1，所以(anan2)(anan1)1，即an2an11，因此数列an1是公差为1的等差数列，所以bn(4)bn(1)(anan4)(anan1) an4an13 2分（2）（i）解：因为bn1(k)2bn(k)，所以an1an1k2(anank)， 分别令k1及k2，得 4分 由得an2an32(an1an2)， 6分 得an2an12(an1an)， 8分 得2an14an，即an12an， 又a12，所以an2n 10分（ii）证明：假设集合A与集合B中含有相同的元素，不妨设bn(k)5bm(k2)，n，mN*， 即anank5(amamk2)， 于是2n2nk5(2m2mk2)， 整理得2nm. 12分因为5(4)15，20)，即2nm15，20)， 因为n，mN*，从而nm4， 14分 所以16，即42k11 由于k为正整数，所以上式不成立， 因此集合A与集合B中不含有相同的元素，即AB16分南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2018.03 说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲证明：连结OD，因为ODOA，所以OADODA因为AD平分BAE，所以OADEAD， 3分所以EADODA，所以ODAE. 5分又因为AEDE，所以DEOD 8分又因为OD为半径，所以DE是圆O的切线 10分B选修42：矩阵与变换解：因为 ，所以 解方程组得 5分所以A ，所以A2 10分C选修44：坐标系与参数方程解：因为直线l的参数方程为(t为参数)，所以直线l的普通方程为yx2 3分又因为圆C的参数方程为(a0，为参数)，所以圆C的普通方程为x2y2a2 6分因为圆C的圆心到直线l的距离d1， 8分所以1a3，解得a2 10分D选修45：不等式选讲解：方法一：|x1|x|x1x|1，当且仅当x(x1)0，即0x1时取等号 4分|y1|y1|y1y1|2，当且仅当(y1)(y1)0，即1y1时取等号 8分所以|x1|x|y1|y1|3， 当且仅当0x1，1y1时取等号，所以|x1|x|y1|y1|的最小值为3 10分方法二：因为f(x)|x1|x|所以f(x)min1 4分因为g(y)|y1|y1|所以g(y)min2 8分综上，|x1|x|y1|y1|的最小值为3 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分 22（本小题满分10分） 解：（1）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3P(X0)(1)(1)(1)，P(X1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)，P(X2)(1)(1)(1)，P(X3)所以，随机变量X的分布列为X0123PX的数学期望E(X)0123 5分（2）设Y表示乙击中目标的个数，由（1）亦可知，P(Y0)，P(Y1)，P(Y2)则P(X0，Y2)，P(X1，Y1)，P(X2，Y0)， 8分所以P(XY2)P(X0，Y2)P(X1，Y1)P(X2，Y0)所以，甲乙两人共击中目标数为2个的概率为 10分23（本小题满分10分）解：（1）当n7时，M1，2，7 ， 数列T的个数为CA42 2分（2）当k1时，则a1a2，a2a3an，此时a2为1，a1共有n1种选法，余下的n2个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k1时，符合条件的数列T共有n1C1个 3分 当2kn2时，则a1a2ak，akak1，ak1ak2an，从集合M中任取k个数，按从小到大的顺序排列，再将余下的nk个数，按从小到大的顺序排列，即得满足条件a1a2ak，ak1ak2an的数列的个数为CC，这里包含了akak1即a1a2akak1ak2an的情形，因此符合条件的数列T的个数为CC1C1 7分当kn1时，则a1a2an1，an1an此时an1为n，an共有n1种选法，余下的n2个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此kn1时，符合条件的数列T共有n1C1个8分于是所有符合条件的数列T的个数为：C1C1C1CCCn1 2nCCn1 2nn1 10分高三数学答案 第 17 页 共 17 页