一元二次方程基础练习(附含答案解析).doc

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一元二次方程基础练习

一．选择题（共10小题）
1．如果关于x的方程（m﹣3）﹣x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对
2．方程3x2﹣4=﹣2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．3，﹣4，﹣2 B．3，2，﹣4 C．3，﹣2，﹣4 D．2，﹣2，0
3．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（　　）
A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4
4．方程（x﹣1）2=2的根是（　　）
A．﹣1，3 B．1，﹣3 C．， D．，
5．一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（　　）
A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=4
6．方程x2﹣x﹣6=0的解是（　　）
A．x1=﹣3，x2=2 B．x1=3，x2=﹣2 C．无解 D．x1=﹣6，x2=1
7．若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
8．一元二次方程x2﹣4x=12的根是（　　）
A．x1=2，x2=﹣6 B．x1=﹣2，x2=6 C．x1=﹣2，x2=﹣6 D．x1=2，x2=6
9．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（　　）
A．560（1+x）2=315 B．560（1﹣x）2=315 C．560（1﹣2x）2=315 D．560（1﹣x2）=315
10．某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（　　）
A．50（1+x）2=175 B．50+50（1+x）2=175
C．50（1+x）+50（1+x）2=175 D．50+50（1+x）+50（1+x）2=175

二．填空题（共6小题）
11．一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的解是______．
12．若方程x2﹣7x+12=0的两根恰好是一个直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的斜边长是______．
13．若一元二次方程x2+4x+c=0有两个不相等的实数根，则c的值可以是______（写出一个即可）．
14．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根，则+=______．
15．已知一元二次方程x2+3x﹣4=0的两根为x1、x2，则x12+x1x2+x22=______．
16．用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为xcm，则可列方程为______．

三．解答题（共7小题）
17．解方程：2x2﹣7x+3=0
18．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．
当y=1时，x2=1，∴x=±1；
当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．
请你按照上述解题思想解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0．
19．欣欣服装店经销某种品牌的童装，进价为50元/件，原来售价为110元/件，每天可以出售40件，经市场调查发现每降价1元，一天可以多售出2件．
（1）若想每天出售50件，应降价多少元？
（2）如果每天的利润要比原来多600元，并使库存尽快地减少，问每件应降价多少元？（利润=销售总价﹣进货价总价）
20．先阅读后解题
若m2+2m+n2﹣6n+10=0，求m和n的值．
解：m2+2m+1+n2﹣6n+9=0
即（m+1）2+（n﹣3）2=0
∵（m+1）2≥0，（n﹣3）2≥0
∴（m+1）2=0，（n﹣3）2=0
∴m+1=0，n﹣3=0
∴m=﹣1，n=3
利用以上解法，解下列问题：
已知 x2+5y2﹣4xy+2y+1=0，求x和y的值．
21．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
22．已知：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P由点A出发沿AB方向向点B匀速移动，速度为1cm/s，点Q由点B出发沿BC方向向点C匀速移动，速度为2cm/s，
如果动点P，Q同时从A，B两点出发，几秒钟后，△PBQ的面积为8cm2．

23．某商场销售一种名牌衬衣，每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降低措施，经调查发现，如果每件衬衣每降4元，商场平均每天可多售出8件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衣应降价多少元？

2016年09月24日一元二次方程基础练习
参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）
1．（2016•德州校级自主招生）如果关于x的方程（m﹣3）﹣x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．据此即可得到m2﹣7=2，m﹣3≠0，即可求得m的范围．
【解答】解：由一元二次方程的定义可知，
解得m=﹣3．
故选C．
【点评】要特别注意二次项系数m﹣3≠0这一条件，当m﹣3=0时，上面的方程就是一元一次方程了．

2．（2016春•嵊州市校级期中）方程3x2﹣4=﹣2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．3，﹣4，﹣2 B．3，2，﹣4 C．3，﹣2，﹣4 D．2，﹣2，0
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：方程3x2﹣4=﹣2x可变形为方程3x2+2x﹣4=0，
二次项系数是3、一次项系数是2、常数项是﹣4，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是首先把所给的方程化为ax2+bx+c=0的形式，再找二次项系数、一次项系数、常数项．

3．（2016•攀枝花）若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（　　）
A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4
【分析】把x=﹣2代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．
【解答】解：根据题意，将x=﹣2代入方程x2+ax﹣a2=0，得：
4﹣3a﹣a2=0，即a2+3a﹣4=0，
左边因式分解得：（a﹣1）（a+4）=0，
∴a﹣1=0，或a+4=0，
解得：a=1或﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

4．（2015•诏安县校级模拟）方程（x﹣1）2=2的根是（　　）
A．﹣1，3 B．1，﹣3 C．， D．，
【分析】根据平方根的定义首先开方，求得x﹣1的值，进而求得x的值
【解答】解：x﹣1=±
∴x=1±．
故选C．
【点评】运用直接开平方法解一元二次方程，就是根据平方根的定义把一元二次方程转化为一元一次方程求解．

5．（2016•新疆）一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（　　）
A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=4
【分析】先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上32，这样方程左边就为完全平方式．
【解答】解：x2﹣6x﹣5=0，
x2﹣6x=5，
x2﹣6x+9=5+9，
（x﹣3）2=14，
故选：A．
【点评】本题考查了利用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）：先把二次系数变为1，即方程两边除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半．

6．（2015秋•綦江区期末）方程x2﹣x﹣6=0的解是（　　）
A．x1=﹣3，x2=2 B．x1=3，x2=﹣2 C．无解 D．x1=﹣6，x2=1
【分析】利用公式法即可求解．
【解答】解：a=1，b=﹣1，c=﹣6
△=1+24=25＞0
∴x=
解得x1=3，x2=﹣2；故选B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，对于公式正确记忆是解题关键．

7．（2016•桂林）若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得：k＜5且k≠1．
故选B．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合一元二次方程的定义以及根的判别式得出不等式组是关键．

8．（2016•沈阳）一元二次方程x2﹣4x=12的根是（　　）
A．x1=2，x2=﹣6 B．x1=﹣2，x2=6 C．x1=﹣2，x2=﹣6 D．x1=2，x2=6
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：x2﹣4x﹣12=0，
分解因式得：（x+2）（x﹣6）=0，
解得：x1=﹣2，x2=6，
故选B
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

9．（2016•呼伦贝尔）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（　　）
A．560（1+x）2=315 B．560（1﹣x）2=315 C．560（1﹣2x）2=315 D．560（1﹣x2）=315
【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1﹣x），第二次后的价格是560（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：
560（1﹣x）2=315，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．

10．（2016•天门模拟）某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（　　）
A．50（1+x）2=175 B．50+50（1+x）2=175
C．50（1+x）+50（1+x）2=175 D．50+50（1+x）+50（1+x）2=175
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
【解答】解：二月份的产值为：50（1+x），
三月份的产值为：50（1+x）（1+x）=50（1+x）2，
故第一季度总产值为：50+50（1+x）+50（1+x）2=175．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的运用，解此类题目时常常要按顺序列出接下来几年的产值，再根据题意列出方程即可．

二．填空题（共6小题）
11．（2014秋•大石桥市校级月考）一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的解是　x=　．
【分析】找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
【解答】解：这里a=1，b=﹣3，c=﹣2，
∵△=9+8=17，
∴x=，
故答案为：x=．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．

12．（2016•杭州校级模拟）若方程x2﹣7x+12=0的两根恰好是一个直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的斜边长是　5　．
【分析】先用二次三项式的因式分解法求出一元二次方程的解，然后用勾股定理求出斜边的长．
【解答】解：解方程x2﹣7x+12=0
解得x=3，x=4；
由勾股定理得：斜边长==5．
故这个直角三角形的斜边长是5．
【点评】本题主要考查的是用因式分解法求一元二次方程的解，以及勾股定理的应用．

13．（2016•三明）若一元二次方程x2+4x+c=0有两个不相等的实数根，则c的值可以是　1　（写出一个即可）．
【分析】直接利用根的判别式，得出△＞0，进而求出c的值．
【解答】解：∵一元二次方程x2+4x+c=0有两个不相等的实数根，
∴△=16﹣4c＞0，
解得：c＜4，
故c的值可以是1．
故答案为：1
【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出△符号是解题关键．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．

14．（2016•遵义）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根，则+=　﹣2　．
【分析】利用韦达定理求得x1+x2=2，x1•x2=﹣1，然后将其代入通分后的所求代数式并求值．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根为x1、x2，
x1+x2=2，
x1•x2=﹣1，
∴+==﹣2．
故答案是：﹣2．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

15．（2016•宜宾）已知一元二次方程x2+3x﹣4=0的两根为x1、x2，则x12+x1x2+x22=　13　．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣3，x1x2=﹣4，再利用完全平方公式变形得到x12+x1x2+x22=（x1+x2）2﹣x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣3，x1x2=﹣4，
所以x12+x1x2+x22=（x1+x2）2﹣x1x2=（﹣3）2﹣（﹣4）=13．
故答案为13．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．

16．（2016•梅州）用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为xcm，则可列方程为　x（20﹣x）=64　．
【分析】本题可根据长方形的周长可以用x表示宽的值，然后根据面积公式即可列出方程．
【解答】解：设矩形的一边长为xcm，
∵长方形的周长为40cm，
∴宽为=（20﹣x）（cm），
得x（20﹣x）=64．
故答案为：x（20﹣x）=64．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要掌握运用长方形的面积计算公式S=ab来解题的方法．

三．解答题（共7小题）
17．（2016•深圳校级模拟）解方程：2x2﹣7x+3=0
【分析】本题可以运用因式分解法解方程．因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0即可求解．
【解答】解：原方程可变形为（2x﹣1）（x﹣3）=0
∴2x﹣1=0或x﹣3=0，∴．
【点评】根据方程的特点，灵活选择解方程的方法，一般能用因式分解法的要用因式分解法，难以用因式分解法的再用公式法．

18．（2015春•北京校级期中）阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．
当y=1时，x2=1，∴x=±1；
当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．
请你按照上述解题思想解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0．
【分析】设y=x2+x，将原方程转化为关于y的一元二次方程，通过解方程求得y即x2+x的值，然后再来解关于x的一元二次方程．
【解答】解：y=x2+x，则由原方程，得
y2﹣4y﹣12=0，
整理，得
（y﹣6）（y+2）=0，
解得y=6或y=﹣2，
当y=6时，x2+x=6，即（x+3）（x﹣2）=0，
解得x1=﹣3，x2=2．
当y=﹣2时，x2+x=﹣2，即x2+x+2=0，该方程无解．
综上所述，该方程的解为：x1=﹣3，x2=2．
【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．

19．（2016春•启东市校级期中）欣欣服装店经销某种品牌的童装，进价为50元/件，原来售价为110元/件，每天可以出售40件，经市场调查发现每降价1元，一天可以多售出2件．
（1）若想每天出售50件，应降价多少元？
（2）如果每天的利润要比原来多600元，并使库存尽快地减少，问每件应降价多少元？（利润=销售总价﹣进货价总价）
【分析】（1）降低1元增加2件，可知若想每天出售50件，降低（50﹣40）÷2元，列出算式即可．
（2）利润=售价﹣进价，根据一件商品的利润乘以销售量得到总利润，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）（50﹣40）÷2
=10÷2
=5（元）．
答：应降价5元；

（2）设每件商品降价x元．
（110﹣x﹣50）×（40+2x）=40×（110﹣50）+600，
解得：x1=10，x2=30，
∵使库存尽快地减少，
∴x=30．
答：每件应降价30元．
【点评】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到等式两边的平衡条件，列出方程，解答即可．

20．（2016春•无锡期中）先阅读后解题
若m2+2m+n2﹣6n+10=0，求m和n的值．
解：m2+2m+1+n2﹣6n+9=0
即（m+1）2+（n﹣3）2=0
∵（m+1）2≥0，（n﹣3）2≥0
∴（m+1）2=0，（n﹣3）2=0
∴m+1=0，n﹣3=0
∴m=﹣1，n=3
利用以上解法，解下列问题：
已知 x2+5y2﹣4xy+2y+1=0，求x和y的值．
【分析】由x2+5y2﹣4xy+2y+1=0，可得（x﹣2y）2+（y+1）2=0，根据非负数的性质即可求出x、y的值．
【解答】解：∵x2+5y2﹣4xy+2y+1=0，
∴（x﹣2y）2+（y+1）2=0，
∴x﹣2y=0，y+1=0，
x=﹣2，y=﹣1．
【点评】本题考查了配方法的应用及二元一次方程组的解法，难度一般，关键是注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．

21．（2016•永州）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，根据“两次降价后的售价=原价×（1﹣降价百分比）的平方”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；
（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，根据“总利润=第一次降价后的单件利润×销售数量+第二次降价后的单件利润×销售数量”，即可的出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，
依题意得：400×（1﹣x%）2=324，
解得：x=10，或x=190（舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为10%．
（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，
第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）；
第二次降价后的单件利润为：324﹣300=24（元/件）．
依题意得：60m+24×（100﹣m）=36m+2400≥3210，
解得：m≥22.5．
∴m≥23．
答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元．第一次降价后至少要售出该种商品23件．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系得出关于x的一元二次方程；（2）根据数量关系得出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出不等式（方程或方程组）是关键．

22．（2015秋•简阳市月考）已知：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P由点A出发沿AB方向向点B匀速移动，速度为1cm/s，点Q由点B出发沿BC方向向点C匀速移动，速度为2cm/s，
如果动点P，Q同时从A，B两点出发，几秒钟后，△PBQ的面积为8cm2．

【分析】设经过x秒钟，使△PBQ的面积为8cm2，得到BP=6﹣x，BQ=2x，根据三角形的面积公式得出方程×（6﹣x）×2x=8，求出即可；
【解答】解：设经过x秒钟，使△PBQ的面积为8cm2，
BP=6﹣x，BQ=2x，
∵∠B=90°，
∴BP×BQ=8，
∴×（6﹣x）×2x=8，
∴x1=2，x2=4，
答：如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过2或4秒钟，使△PBQ的面积为8cm2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，用未知数表示出△PBQ的面积是解此题的关键．

23．（2014•凉州区模拟）某商场销售一种名牌衬衣，每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降低措施，经调查发现，如果每件衬衣每降4元，商场平均每天可多售出8件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衣应降价多少元？
【分析】利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可；
【解答】解：设每件衬衣应降价x元，根据题意列方程得，
（40﹣x）（20+×8）=1200，
整理得出：x2﹣30x+200=0，
（x﹣20）（x﹣10）=0，
解得x1=20，x2=10（因为尽快减少库存，不合题意，舍去），
答：每件衬衣降价20元；
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．
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