飞行器结构力学讲义.doc

飞行器结构力学

郑晓亚 王焘

西 北 工 业 大 学
2011年6月

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目 录
第一章 绪论 1
1.1 结构力学在力学中的地位 1
1.2 结构力学的研究内容 1
1.3 结构力学的计算模型 1
1.4 基本关系和基本假设 3
第二章 结构的组成分析 5
2.1 几何可变系统和几何不变系统 5
2.2 自由度、约束和几何不变性的分析 5
2.3 组成几何不变系统的基本规则、瞬变系统的概念 7
2.4 静定结构和静不定结构 12
第三章 静定结构的内力及弹性位移 13
3.1 引 言 13
3.2 静定桁架的内力 13
3.3 静定刚架的内力＊ 16
3.4 杆板式薄壁结构计算模型 19
3.5 杆板式薄壁结构元件的平衡 20
3.6 静定薄壁结构及其内力 25
3.7 静定系统的主要特征 34
3.8 静定结构的弹性位移 35
第四章 静不定结构的内力及弹性位移 45
4.1 静不定系统的特性 45
4.2 静不定系统的解法——力法 45
4.3 对称系统的简化计算 54
4.4 静不定系统的位移 57
4.5 力法的一般原理和基本系统的选取 60
第五章 薄壁梁的弯曲和扭转 64
5.1 引言 64
5.2 自由弯曲时的正应力 65
5.3 自由弯曲时开剖面剪流的计算 68
5.4 开剖面的弯心 71
5.5 单闭室剖面剪流的计算 77
5.6 单闭室剖面薄壁梁的扭角 81
5.7 单闭室剖面的弯心 82
5.8 多闭室剖面剪流的计算＊ 86
5.9 限制扭转的概念＊ 91
第六章 结构的稳定 94
6.1 引 言 94
6.2 压杆的稳定性 95
6.3 薄板压曲的基本微分方程 95
6.4 薄板的临界载荷 99
6.5 板在比例极限以外的临界应力 102
6.6 薄壁杆的局部失稳和总体失稳 103
6.7 加劲板受压失稳后的工作情况——有效宽度概念 104
6.8 加劲板受剪失稳后的工作情况——张力场梁概念 108

113

第一章 绪论
1.1 结构力学在力学中的地位
结构力学是飞行器结构计算的理论基础。它研究飞行器在外载荷作用下，结构最合理的组成及计算方法。所谓最合理的结构是指：在满足设计中关于强度与刚度的基本要求下，同时在结构空间允许的情况下，具有最轻的重量。
为了达到以上的目的，对从事结构设计者来说，必须较熟练地掌握结构力学的基本原理与方法。对于本专业的学生来说，结构力学是飞行器强度与刚度计算的基础课程，并且为学习飞行器部件设计及传力分析打下必要的理论基础。
结构力学具体来说由以下四部分组成：
（1）研究结构组成是否合理。主要指结构在外力作用下是否几何不变，同时内力与变形又不至于过大。
（2）结构在外载荷作用下，结构内力的计算方法。
（3）结构在外载荷作用下，结构刚度的计算方法。
（4）研究结构中某些元件及组合件的弯曲及稳定性。
1.2 结构力学的研究内容
不同的结构有其不同的结构力学，例如在建筑结构中主要涉及杆系，因此杆系所需的力学知识构成建筑结构力学。船舶结构的设计和制造中，主要涉及开口薄壁杆件，因此开口薄壁杆件的弯曲和扭转便构成船舶结构力学的主要内容。对于航天领域，飞行器结构大多是薄壁结构，薄壁结构力学构成飞行器结构力学的主要内容。
1.3 结构力学的计算模型
工程结构，尤其是飞行器结构往往是很复杂的，要考虑所有的因素来分析其内力和变形几乎是不可能的，也是没有必要的。为了适应实际计算，首先需要将真实的结构加以简化，保留起主要作用的因素，略去次要因素，用理想化的受力系统代替实际结构，以得到所需要的计算模型。
计算模型选取的原则是：
（1）反映实际结构的主要受力和变形特征；
（2）便于结构的力学分析。
计算模型的简化大致可分成以下5个方面的内容。
1.外载荷的简化
（1）略去对强度和刚度影响不大的外载荷，着重考虑起主要作用的外载荷。
（2）将作用面积很小的分布载荷简化成集中载荷。
（3）将载荷集度变化不大的分布载荷简化成均布载荷。
（4）将动力效应不大的动力载荷简化成静力载荷。
2.几何形状的简化
飞行器的外形大多由曲线或曲面所构成，计算模型可以简化成用折线代替曲线，用若干平面代替曲面。
3.受力系统的简化
（1）略去结构中不受力或受力不大的元件。
（2）对元件的受力规律或受力类型作某些假设，抽象为理想元件。
4.连接关系的简化
将实际结构中所采用的铆接、螺接或焊接等连接方式，按照其受力及构造特点，可以简化为没有摩擦的铰接或刚接。杆件的汇交点称为结点，其可以简化为图1.1所示的三种形式。

（a） （b） （c）
图1.1
铰结点（见图1.1（a）），特征是被连接的杆件在连接处不能相对移动，但可绕该结点自由转动。铰结点可以传递力，但不能传递力矩。
刚结点（见图1.1（b）），特征是被连接的杆件不能相对移动，且不能相对转动。刚结点既可传递力，也可传递力矩。
组合结点（见图1.1（c）），同一结点上某些杆件视为铰结点，另一些杆件视为刚结点时，形成组合结点，此结点同时具有铰结点和刚结点的特征。
5.支座的简化
将结构与基础连接起来的装置称为支座。以平面支座为例，将支座简化为以下四种形式。
（1）可动铰支座（见图1.2（a）），几何特征是结构可以绕铰A转动以及沿水平方向移动，但不能在竖直方向移动。
（2）固定铰支座（见图1.2（b）），几何特征是结构可以绕铰A转动，但不能作水平和竖直方向移动。
（3）固定支座（见图1.2（c）），几何特征是结构在点A的转动、水平和竖直方向的移动均受到限制。
（4）定向支座（见图1.2（d）），几何特征是结构限制绕铰A转动及一个方向的移动，但允许在另一个方向的移动。

(a) (b)

(c) (d)
图1.2
1.4 基本关系和基本假设
飞行器结构力学中存在不同的计算模型，而各类计算模型都是建立在各自不同的基本假设上的。这里，强调一下基本关系和基本假设。
1.基本关系
（1）作用在结构上的力是平衡的，结构所有元件受力也是平衡的；
（2）结构发生变形时，其各部分之间一定是协调的，即不允许发生断裂或重叠现象；
（3）结构元件的应力和应变之间，存在着反映材料物理性质的对应关系。
归纳起来就是平衡关系、协调关系和物理关系。结构力学的原理和计算方法均是基于这三种基本关系而建立起来的。
2.基本假设
（1）小变形假设。认为结构在载荷作用下变形很小，假设它不影响结构的外形几何尺寸。这样，可以根据结构变形前的几何形状建立平衡方程式，这种简化处理不会引起太大的误差；
（2）线弹性假设。弹性是指在载荷作用下，结构产生内力及变形；当载荷去掉后，内力与变形也随着消失，结构仍会恢复到原始状态，无残余变形。线性是结构的外载荷与变形以及元件的内力与变形之间符合虎克定律，即为直线关系。

第二章 结构的组成分析
2.1 几何可变系统和几何不变系统
工程结构是用来承受和传递外载荷的系统。一个工程结构通常是由若干个构件用某种方法联结而成的。它在承受载荷作用时，各构件只允许发生材料的弹性变形，而不应发生构件间相对的机械运动。如图2.1(a)所示的系统，如果不考虑弹性变形，系统也未发生破坏，则其几何形状与位置均保持不变，这样的系统，我们称之为几何不变系统。但是，对如图2.1（b）所示的系统，在载荷作用下，即使不考虑弹性变形，它的形状和位置也将改变，这样的系统，我们称之为几何可变系统，它是不能用来承受和传递外载荷的。所以，凡是工程结构必须是几何不变系统。

图2.1
对系统进行几何组成分析的目的在于：判断该系统是否为几何不变系统，以决定其能否作为工程结构使用；研究并掌握几何不变系统的组成规则，以便合理安排构件，设计出合理的结构；根据系统的组成规则，确定结构的性质（静定系统还是静不定系统），以便选用相应的计算方法。
2.2 自由度、约束和几何不变性的分析
为了研究系统的几何不变性，可以引用“自由度”和“约束”的概念。将结构中的构件看成是具有自由度的自由体，而将构件间的结点看成是约束装置（简称约束），或者把结点看成是自由体，而将构件看成是约束。在一个系统中，若没有足够的约束去消除自由度，则系统一定是几何可变的；假若有足够的约束去消除自由度，而构件安排又合理，则系统是几何不变的。
自由度：确定一物体在某一坐标系中位置所需的独立参数的个数，称为该物体的自由度。
平面上一点具有两个自由度，空间一点具有三个自由度；平面上一物体具有三个自由度，即两个平动自由度和一个转动自由度；空间一个物体具有六个自由度，即三个平动自由度和三个转动自由度；空间一杆（只具有一根轴线）具有五个自由度；一个平面刚性结点具有三个自由度；一个空间刚性结点具有六个自由度。
一个平面铰具有两个约束；一个空间铰具有三个约束。
一根两端带铰的杆具有一个约束。如图2.2所示的平面上任一点A，本来有两个自由度xA、yA。如果用一根两端带铰的杆把A点连接在坐标系原点上，点A就不能在平面内任意移动，而只能在杆端所画的圆周上运动，这时只要一个独立变量α就可确定它的位置，即只剩下一个自由度了。所以，一根两端带铰的杆具有一个约束。同理，一根两端带铰的空间杆也只具有一个约束。
一个平面刚结点具有三个约束。如图2.3所示，一个平面构件m具有三个自由度，若用一个平面刚结点连接于坐标系上，则构件m就没有自由度了。所以，一个平面刚结点具有三个约束。同理，一个空间刚结点具有六个约束。

图2.2 图2.3
有了自由度和约束的概念，就可以用它来分析系统的几何组成。设系统的总自由度数为N，总约束数为C，则
1．若C<N，约束不足，因而是几何可变系统。
2．若C=N，且构件安排合理，系统的约束正好能完全消除自由度，则系统是具有最少必需约束的几何不变系统。
3．若C>N，且构件安排也合理，则系统为具有“多余约束”的几何不变系统。所谓“多余约束”是指除去后系统仍是几何不变的那些约束。
可见，C－N≥0是组成几何不变系统的必要条件，而其充要条件还要考察系统的构件是否安排合理。
对于没有用支座连接于基础的可移动平面几何不变系统，该系统是自由的，有三个自由度，因此，自由度和约束数应符合下列关系。
1．C－（N－3）<0，约束不足，因而是几何可变系统。
2．C－（N－3）=0，且构件安排又合理，则系统是具有最少必需约束的几何不变系统。
3．C－（N－3）>0，且构件安排也合理，则系统为具有“多余约束”的几何不变系统。
例2.1 分析图2.1(a)所示系统的几何不变性。
[解] 该系统是平面桁架结构，可将结点看成具有自由度的分离体，把杆件看成约束。它用四根两端带铰链的杆（称为链杆）将两个自由结点连接到基础上，总自由度数N=2×2=4，总约束数C=4×1=4，所以，C－N=0。该系统的构件安排合理，因此，是具有最少必需约束的几何不变系统。
该系统亦可将杆件看成具有自由度的自由体，把铰链（结点）看成约束。在分析时注意区分单铰和复铰。连接两个构件的铰链称为单铰，连接多于两个构件的铰链称为复铰，一个连接n个构件的复铰相当于(n－1)个单铰。因此，该系统有四根杆，每根杆在平面中有3个自由度，故总自由度数N=4×3=12，两个单铰和两个复铰，每个单铰在平面中可提供两个约束，故总约束数C=2×2+2×（3－1）×2=12。分析结果同上面的一样。
图2.4
在分析系统的几何不变性时，除了要满足C－N≥0的必要条件（对于可移动的平面系统为C－（N－3）≥0，对于可移动的空间系统为C－（N－6）≥0）外，还要考察系统中各构件安排是否合理。
如图2.4所示系统，从总体上看，该系统有4个自由结点和8根链杆。虽然满足几何不变的必要条件，但从局部2-3-4-5部分来看，它缺少一个约束，是几何可变的，而局部1-2-5-6部分，是具有一个多余约束的几何不变部分，整个系统约束安排不合理，仍不能作为可承受任意载荷的几何不变结构。
2.3 组成几何不变系统的基本规则、瞬变系统的概念
下面主要讨论平面几何不变系统的组成规则，这些基本规则是进行几何组成分析的基础。在进行几何组成分析之前先介绍几个名词。
刚片—几何形状不变的平面体，简称为刚片。在几何组成分析中，由于不考虑材料的弹性变形，一根杆件在平面中就可视为一个刚片，基础也可看作是一个大刚片。
链杆—一根两端用铰链连接两个刚片的杆件称为链杆。
虚铰—如果两个刚片用两根链杆连接，则这两根链杆的作用就和一个位于两杆交点处的铰链的作用完全相同，交点处的铰链是实铰。若交点处并没有真正的铰，则称其为虚铰，连接两个刚片的两根链杆相当一个虚铰，虚铰的位置在这两根链杆的交点o处，如图2.5(a)。如果连接两个刚片的两根链杆并没有相交，则虚铰在这两根链杆延长线的交点o处，如图2.5(b)所示。若连接两个刚片的两根链杆是平行的，也可以认为它们相当于一个虚铰，只不过虚铰的位置在无穷远处，如图2.5（c）所示。

(a) (b) (c)
图2.5
一、几何不变系统组成的几个基本规则
【规则一】一个平面结点只用两根不共线的链杆连接在支座上或一个刚片上，则所组成的是平面几何不变系统，平面铰接三角形是一个最简单的平面几何不变系统。
如图2.6所示，从支座或一铰接三角形开始，每增加一个结点，用两根不共线的链杆连接在一平面几何不变系统上，所形成的仍是平面几何不变系统。可以推论，用不在一平面的三根链杆将一个空间结点连接在基础上或一个刚体上，则所组成的是空间几何不变系统，如图2.7所示。

图2.6 图2.7
【规则二】两个刚片用不全交于一点也不全平行的三根链杆连接，则组成的是平面几何不变系统。
一个刚片用一铰和一根链杆连接在基础上，且链杆的轴线不通过那个铰链，则形成具有最少必需约束的几何不变系统，如图2.8所示。若将刚片用两根不平行的链杆连接在基础上，当刚片运动时，其中b点将沿与ab杆垂直的方向运动，而其上d点将沿与cd杆垂直的方向运动，此时刚片将绕ab和cd两杆延长线的交点o转动。这就相当于将刚片I和刚片Ⅱ在o点用铰相联一样，又一次证实两根链杆的作用相当一个单铰，不过现在这个铰的位置是在两根链杆延长线的交点处，它是虚铰，且这个交点的位置随着链杆的转动是变动的，也称瞬时转动中心，如图2.9(a)所示。为了制止刚片的运动，还需再加一根链杆，如果这链杆的延长线不通过o点，它就能阻止刚片的运动，这时所组成的是平面几何不变系统，如图2.9(b)所示。

图2.8 图2.9
【规则三】三个刚片两两之间用一铰链连接，三个铰链不在一直线上，则所组成的系统是平面几何不变的。
如图2.10(a)所示，刚片Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ用A、B、C三个铰两两相联，由于三个铰不在一直线上，则AB、BC和CA三直线便形成一个三角形，由几何学可知，所组成的三角形是唯一的，也就是说三个刚片之间无相对运动。因此，这样组成的系统是几何不变的。

图2.10
由于两根链杆的作用相当一个单铰，故可将A、B、C三个铰化为分别由两根链杆所构成的虚铰，若此三个虚铰不在一直线上，所构成的系统也是几何不变的。如图2.10(b)所示是平面几何不变系统。
当系统的几何组成不符合上述基本规则时，则成为几何可变系统。
二、瞬变系统
如图2.11(a)所示，刚片用三根链杆与基础相连，三个链杆交于刚片上点o的铰链，刚片可绕o点转动，图2.11(b)所示，刚片用三根平行且等长的链杆与基础相连，刚片可以移动，显然，这样的系统都是几何可变系统。而图2.12(a)所示，刚片与基础之间用三根延长线交于一点o的链杆相连，此是刚片可绕o点有微小运动，但在发生微小运动后，三根杆就不再交于一点，刚片不再运动成为不变系统，这种可变系统发生微小位移后即成为不变的系统，称为瞬时可变系统或瞬变系统。又如图2.12(b)所示，刚片I用互相平行但不等长的三根链杆与刚片Ⅱ（或基础）相联，刚片I有微小的水平位移后，三杆不再平行，故这种系统也是瞬变系统。

图2.11 图2.12
图2.13(a)所示杆AC（刚片I）、杆CB（刚片Ⅱ）及基础（刚片Ⅲ）两两相连，三铰A、B、C在一直线上。此时C点位于以AC、BC为半径的两圆弧的公切线上，故在这一瞬时，C点可沿此公切线作微小的移动，但在发生微小位移后，三铰就不再位于一直线上了，因此这种体系也是瞬变系统。

图2.13
虽然瞬变系统只在某一瞬时产生微小位移，随即成为几何不变的，但是，进一步考察其受力情况，可发现瞬变系统在受力时会产生显著的位移和相当大的内力。如图2.13(b)所示，在P力作用下，C点发生一垂直方向的微小位移到C′点，由结点C的平衡条件可得

解得

因为θ为一很小的量，所以，杆件AC和BC内将产生相当大的内力，从而导致系统的破坏。
综上所述，系统可分为：（1）几何不变系统；（2）几何可变系统。而几何可变系统又分为常变系统和瞬变系统。工程结构是不能采用可变系统的，即使是接近瞬变的系统，设计中也必须避免，因为它的力学性能很不好。
三、几何组成分析的举例
结构的几何组成分析主要依据以上所述的基本规则，由于常见的结构比较复杂，刚片数往往超过两个或三个，在具体分析时往往会发生困难，因此，分析时必须将实际体系的刚片数进行简化，将所分析体系中某些刚片之间的联系符合上述规则的，先将它们合成一个大刚片，这样可使刚片数目减少，从而简化组成分析，便于根据以上基本规则进行几何组成分析。
例2.2 试分析图2.14(a)所示系统的几何组成。
[解] 分别将图2.14(a)中构件AEC、BFD和基础视为刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，刚片Ⅰ和Ⅲ以铰A相连，刚片Ⅱ和Ⅲ以铰B相连，刚片Ⅰ和Ⅱ是链杆CD和EF相连，两杆的交点O相当于一个虚铰，如图2.14(b)所示，连接三刚片的三个铰不在一直线上，该系统是平面几何不变的，且无多余约束。

图2.14
例2.3 判断图2.15（a）所示平面系统的几何不变性。

图2.15
[解] 首先把结点看作自由体，把杆看作约束物，检查系统约束是否足够。因为自由结点数Y=9, 2Y=18。约束数，杆数 C=18 , 所以满足式C=2Y, 系统具有最少必需的约束数。
其次再检查约束安排是否合理，可以把杆1-2看作基础，逐次增加结点3，4……7，8，9，10，每增加一个结点都是增加两根不共线的杆，这样组成的结构1-2-8-10是一个本身几何不变的自由结构，它相对于基础还有三个自由度，而铰1和杆10-11提供三个约束把它与基础相连，因此，系统是几何不变且不可移动的。
如果把杆10-11布置成水平的，如图2.15（b）所示，则系统是瞬变的。因为我们可以把系统、杆10-11和基础分别看成三个刚片，它们用三个铰（1、10、11）互相连接，由于三铰共线，故系统为瞬变系统。
如果把系统的杆4-6移到结点7、8之间，若把明显的几何不变部分看成刚片（图2.15（c）），则系统显然成为几何可变的。因为刚片Ⅰ与Ⅱ共有六个自由度，而把它们与基础Ⅲ相连的约束仅有五个（一个铰三根杆），系统还有一个自由度，所以它是几何可变的。
2.4 静定结构和静不定结构
工程上用来承受和传递载荷的结构必须是几何不变系统，而结构又分为无多余约束的静定结构和具有多余约束的静不定（或称超静定）结构。
系统的约束数C与总自由度数N相等的系统，称为具有最少必需约束的几何不变系统，这种结构是静定结构。系统的约束数C多于总自由度数N的系统，称为具有多余约束的几何不变系统，这种结构是超静定结构。其多余约束数称为静不定度数，用K表示。
在结构分析求解系统内力时，一个约束表示有一个未知内力（或反力）；一个自由度表示可列出一个独立的平衡方程式。因此，对于C－N=0的几何不变系统，其可列出的独立平衡方程式数正好等于系统的未知内力数，即只用平衡方程就可以求得系统的全部内力，而且解是唯一的。对于C－N>0的几何不变系统，其可列出的独立平衡方程式数少于系统的未知内力数，因而只用平衡方程式无法求得系统的全部内力，还必须补充变形方程才能求解。

第三章 静定结构的内力及弹性位移
3.1 引 言
在第二章中已经阐明，所谓静定结构，在几何组成上是指具有最少必需约束的几何不变系统；在力学上是指它在外力作用下处于平衡时，只用平衡方程就可求得全部内力的系统。
静定结构内力计算的基本原理就是利用结构的平衡。当结构在外力作用下处于平衡时，结构在整体上要平衡，任何一部分要平衡，任何一个结点也要平衡。在平衡状态下，作用在结构上的外力、内力和支反力构成平衡力系。
静定结构是工程上经常采用的，研究它的内力的计算方法，不仅在工程设计中有现实意义，而且也为求解静不定结构打下基础。
3.2 静定桁架的内力
桁架是由某些杆系结构经过简化而得到的计算模型，其特点是：
（1）各元件均为直杆；
（2）各杆两端均用没有摩擦的理想铰链相连接；
（3）杆的轴线通过铰心，称铰心为桁架的结点；
（4）载荷和支座反力仅作用在各结点上。
由于理想铰链没有摩擦力，故不能传递力矩。显然，在载荷仅作用在结点上时，若不计杆的自重，各杆都只受到两端结点的作用力，且在此二力作用下处于平衡。因此，桁架的杆件均为“二力杆”，即杆两端受到大小相等、方向相反、沿着杆轴线的两个力作用。杆子横截面上只有轴力，这些轴力就是所要计算的桁架内力。
静定桁架是一种没有多余约束的结构，它的内力计算原则上，只要把桁架分解为若干自由体（结点）和约束（杆），用未知力代替约束的作用，对所有的自由体列出全部静力平衡方程式，所得方程式数与包含的未知力数相等。由于结构是几何不变的，方程组有唯一解。解这联立方程组就可得到静定桁架的内力。但在工程实际中，往往可以运用下述两种方法：结点法和截面法。
一、结点法
结点法是取单个结点作为自由体，用未知力代替与结点相连的杆的约束。这样，结点就在作用于其上的外力和未知力共同作用下处于平衡。由于这些力交于结点，是共点力系，运用共点力系的平衡条件，就可求出结点上的未知力。
为了便于计算，应该按一定的顺序来分离结点。对于平面桁架，一个结点可列出两个平衡方程。应该先从只有两个未知力的结点开始，然后逐次转到剩下两个未知的结点上去。对于空间桁架，一个结点可列出三个平衡方程。则应该先从只有三个未知力的结点开始，然后再逐次转到只剩下三个未知力的结点上去。
为了防止在列平衡方程时内力发生正、负号错误，通常假设杆中的未知内力都是拉力，即内力箭头背离结点。用Nij表示，i表示力的作用点，j表示力作用线方向。如果求出的未知力是正号，表示未知力的方向与假设方向相同，未知力是拉力。如为负值，则表示其方向与假设方向相反，是压力。
在用结点法解桁架时，可利用按结点平衡条件得到的零力杆的结果，先判断零力杆，以减少计算量。
零力杆的判断：
（1）一个平面结点只与两杆相连，若没有载荷作用，且两杆不共线，则该两杆此端的杆力必为零。如图3.1中的结点4，N4-3=N4-5=0。
图3.1
（2）一个平面结点与三根杆相连，且其中两杆共线，当结点没有外力作用时，则不共线的第三杆此端的轴力必为零。如图3.1中的结点6，N6-1=0。
图3.1
（3）一个空间结点只与不共面的三根杆相连，当结点无外力作用时，则此三杆在该端的轴力必为零。
（4）一个空间结点与n根杆相连，其中有n-1根杆在一平面内，当结点无外力作用时，则不共面的“孤立杆”该端轴力必为零。

例3.1 求图3.2所示桁架的内力。
[解] （1）判断结构的静定性。用逐次连接结点的方法，每增加一个结点，用两根不共线的杆相连接，可得到静定的平面桁架。可判定该桁架是静定结构。
图3.2
（2）判断零力杆。利用前面的结论可知，结点9只连接不共线的二杆，且无结点载荷，故杆7-9、杆8-9均为零力杆。对于结点8，因为已知杆8-9内力为零，所以结点8也相当只连接不共线的二杆的结点，且无外载荷，所以杆7-8、杆6-8也是零力杆。而结点5，有三杆相连，杆4-5杆5-7共线，故杆5-6为零力杆。同理杆1-4、杆4-6和杆3-6也是零力杆。判断出零力杆后，计算将大为简化。
（3）取结点7的平衡，可求杆轴力N7-1和N7-5。
由， 得
由， 得
再分别由结点5、4的平衡，得N4-2=N5-4=P
二、截面法
截面法就是用一适当的截面，将桁架的一部分切出作为分离体，用未知力代替所切断的杆的约束作用。分离体在外载荷和未知力作用下处于平衡，利用平衡方程就可求出这些未知力。对于平面问题，分离体的平衡可列出三个独立平衡方程；对于空间问题，分离体的平衡可列出六个独立平衡方程。如果取分离体时所切断的杆子数刚好等于平衡方程数，则未知力即可求出。
例3.2 求图3.3（a）所示桁架的内力。

图3.3
[解] （1）判断结构的静定性。用铰接三角形组成法规则，可知该桁架为几何不变的静定桁架。
（2）判断零力杆。
结点7：由不共线的两杆连接，又没有结点外力，因此N7-5=N7-8=0；
结点8：利用结点7的结论，可知N8-5=N8-6=0;
结点5：利用结点7和结点8的结论，可知N5-3=N5-6=0。
（3）利用截面I-I将桁架右边部分切出作分离体，设被切断杆的未知轴力为N4-2、N4-1和N2-1，如图3.3(b)所示。
由分离体的平衡，得

得 （拉力）

得 （压力）

（压力）
（4）同理，利用截面Ⅱ-Ⅱ将2将桁架 右边部分切出作分离体，可得杆轴力
（拉力）
（压力）
（5）结点3的平衡，

3.3 静定刚架的内力＊
一、刚架结构的组成
刚架也是由杆系结构简化而得到的计算模型，各杆可以是直杆也可以是曲杆，各杆之间采用刚性连接。所谓刚性连接是指能保证所连接的元件，在连接接头处不产生相对位移，包括线位移和角位移。例如图3.4（a）所示刚架，在载荷P作用下发生弹性变形。杆ab和杆bc在接头b处，变形后仍然连续，且二杆之间的夹角保持不变。因此，平面内的一个刚接头相当于三个约束，空间内的一个刚接头相当于六个约束。

图3.4
刚性连接与铰接不同，它不仅能传递集中力，还能传递力矩。例如图3.4(b)所示刚架，在载荷 P1和P2作用下，在ab段内的内力有轴力N，剪力Q和弯矩M，在bc段内有剪力Q、弯矩M和扭矩MT。因此，刚架能承受任意形式的外载荷，且载荷可以作用在刚架的任何部位上。
刚架分为平面刚架和空间刚架。平面刚架是指所有杆件的轴线以及作用在刚架上的载荷均在同一平面上，否则即为空间刚架，如图3.5（b）所示的刚架就是一个空间刚架。
刚架的组成方法有两种。
图3.5
1．逐次连接杆件法，就是将杆件用刚性接头逐次连接起来。对于平面刚架，每增加一个杆件就增加三个自由度，每增加一个刚接头则增加三个约束；对于空间刚架，每增加一个杆件则增加六个自由度，而增加一个刚接头则增加六个约束。因此，只要不形成封闭的框形结构，增加杆件所增加的自由度数恰好与增加刚接头所增加的约束数相等。这样所得的刚架一定是静定的，这种刚架亦称为简单刚架。图3.5(a)所示的都是静定刚架。如果形成了封闭的框形结构，就相当在于封闭处多用了约束，就成了具有多余约束的静不定刚架。对于平面刚架，形成一个封闭框形结构，相当于有三个多余约束，是一个三度静不定结构，若形成两个封闭的框形结构，就是六度静不定结构，如图3.5(b)所示。对于空间刚架，每封闭一次，就相当于有六个多余约束，因而增加六度静不定。
2．逐次连接刚架法，将简单刚架用足够的约束（刚接或铰接）相互连接组成的结构，这种结构称为复杂刚架。在用铰链连接刚架时，应注意避免出现几何可变或瞬变系统。在刚架相互连接时，若用了多余约束，则将会增加刚架的静不定度数。
在实际工程结构中，理想的铰接或刚接是没有的。在模型简化时，通过可把刚性较强的接头简化为刚接，把刚性较小或比较薄弱的接头简化为铰接。
二、静定刚架的内力计算
刚架的每一杆件的任一横截面上，通常都同时存在几种类型的内力。对于平面刚架，杆件的横截面上一般有三个内力分量，即轴力N，剪力Q和弯矩M，如图3.6(a)所示。

图3.6

对于空间刚架的杆件的横截面上，一般有六个内力分量，轴力N、沿横截面两个主轴方向的剪力Q1和Q2、绕横截面两个主轴的弯矩M1和M2以及绕杆轴线的扭矩MT，如图3.6(c)所示。
刚架内力的方向对于确定的横截面只可能有两个方向，习惯上用正负号加以区域，如果规定某一方向为正，则相反的方向就为负。轴力N以拉力为正、压力为负。剪力Q以对微段产生的力矩顺时针方向旋转时为正、逆时针方向旋转为负。见图3.6(b)。弯矩M则不标明正负，而把弯矩图画在杆件受压的一侧。对于空间刚架，扭矩MT按右手螺旋法则，矢量箭头向外为正、反之为负。剪力图也不标注正负号，但需事先规定杆轴线正向和正面（截面的外法线与杆轴正方向一致时为正面），剪力图画在剪力所指的一侧。
刚架的内力计算就是要求出上述各种内力，并以内力图的形式表示出来。静定刚架的内力仅用平衡条件就可求得。在具体计算时，通常采用截面法，采用材料力学中关于梁的平截面假定，即在欲求内力处把刚架截开，用未知力代替另一部分对截取部分的作用，以截取部分作为分离体，列出静力平衡方程式，就可求出该截面上的内力。最后绘制内力图。
例3.3 求图3.7(a)所示平面刚架的内力，并作内力图。

图3.7
[解] （1）求支座反力。设支座反力分别为XA、YA和YC，其所设正方向如图3.7(a)上所示，由整体平衡，得

（2）作弯矩M图。设AB段和CB段的流动坐标为s,如图3.7(a)上所示，得
AB段：
在A处，
在B处 ，
CB段：
在C处，s=0,M=0
在B处 ，s=a,M=qa2/2
弯矩图如图3.7(b)所示。
（3）作剪力Q图。
AB段：Q(s)=XA-qa=qa-qs
在A处,s=0 Q=qa
在B处，s=a Q=0
CB段：Q(s)=-YA=-qa/2
剪力图如图3.7（c）所示。
（4）作轴力N图。
AB段：N=YA=qa/2
CB段：N=0
轴力图如图3.7(d)所示。
（3）校核结点B的平衡。如图3.7(e)和(f)所示，满足

3.4 杆板式薄壁结构计算模型
在飞机结构中广泛采用薄壁结构。这种结构是由横向骨架（机身的隔框、机翼的翼助）、纵向骨架（机身的桁梁、桁条，机翼的梁、桁条）和金属薄板（蒙皮、腹板）所组成。图3.8是一个机翼结构图。
这种结构各元件之间的连接是比较复杂的，在结构分析中既要保证能满足工程计算的精度要求，又要使计算简单方便，因而必须采用一些简化假设，以便建立适用的计算模型，
图3.8

其简化假设如下：
1.骨架是主要承力构件，它在总体受力中，上下缘条及桁条（骨架）主要是以轴力的形式来承受或传递弯矩，可以略去图3.8
缘条和桁条的局部弯曲作用，因而骨架的受力与桁架中杆的受力相同。因此，可假设薄壁结构中骨架的交叉点是铰结点，分布的气动外载荷都等效地简化到结点上，认为外载荷只作用在结点上。如图3.9（a）所示。

图3.9
2.组成骨架的缘条（杆）只承受轴力，镶在骨架上的壁板四边只受剪切，即每块板与周围的杆子之间以剪力（剪流）相互作用，如图3.9(b)所示。
3.由于薄壁结构中所用的板，其厚度与长、宽的尺寸相比是很小的，故可设板截面中剪应力τ沿厚度t是均匀分布的，如图3.10(a)所示。这样板截面上单位长度的剪力用表示，式中q称为剪流。剪流的单位通常为N/cm，如图3.10(b)所示。
图3.10
图5-14
4.板截面上剪流的方向总是与截面中线的切线方向一致。这是因为假设外载荷只作用在结点上，因而板表面没有任何载荷作用，根据剪应力互等定律，垂直于截面中线的剪应力分量也就不存在，因此，剪流方向只可能与板截面中线的切线方向一致。
5.因为外载荷只有结点载荷，因此，在结点之间的每块板，作用在板边上的剪流沿板边长度不变（称常剪流）。这样，板的每个边上只有一个未知剪流。
采用上述简化假设的受剪板式薄壁结构计算模型，只含有两类受力元件，即承受轴力的杆（缘条、桁条）和承受常剪流的板，有时也将这种计算模型称为“杆板式薄壁结构”或“常剪流板薄壁结构”。
3.5 杆板式薄壁结构元件的平衡
杆板式薄壁结构可看成是仅由板、杆和结点所组成的受力系统。外力只作用在结点上，而结点又以集中力（杆端轴力）形式传递给所连接的杆，杆又把结点传来的集中力以剪流形式传递给所连接的板。因此，结点只受到外力和杆端轴力的作用；杆受杆端轴力和沿杆轴方向剪流的作用；板只受由杆传递的剪流作用。例如图3.11所示的杆板式平面薄壁结构，当受结点外力P作用时杆3-2、结点3和板2-3-4-5的受力情况分别由图3.11(b)、(c)、(d)所示。
图3.11
当结构在外载荷作用下处于平衡状态时，结构中的每个元件亦处于平衡状态，本节将研究组成薄壁结构的各种元件的平衡情况。
一、板元件的平衡
镶在飞行器薄壁结构中的板元件，按其平面形状，一般有三角形板、矩形板、平行四边形板和梯形板，如图3.12所示。至于任意四边形板和其他形状的板，比较少见，其平衡情况较为复杂，这里就不作介绍了。另一方面，如果按板的曲度，又可分为平板和曲板。当蒙皮的曲度较小时，亦可作平板处理。
（1）三角形板
把三角形板从薄壁结构中取出作分离体，作用在三角形板上的力只有和它相连的三个杆的作用剪流，而且每边的剪流为一常值。设q1-2、q2-3 和q3-1分别表示杆作用在板三边上的未知剪流，剪流指向由qij的脚码ij表示，即表示剪流由i指向j ，如图3.13所示。

图3.12 图3.13

三角板仅在q1-2、q2-3和q3-1作用下平衡，因此

（3.1）

由式（3.1）式可知，在杆板薄壁结构计算模型中，三角形板各边剪流均为零。这表明它在结构中是不受力的。这是因为铰接三角形骨架（杆）本身是几何不变的静定系统，它可以承受结点