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二次根式知识点总结
王亚平

1. 二次根式的概念  
二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．
2. 二次根式的性质
1. 非负性：是一个非负数． 
    注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．
2.
    注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：
  3. 
î       注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．

3. 最简二次根式和同类二次根式
1、最简二次根式： 
（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；ƒ分母中不含根号． 
2、同类二次根式（可合并根式）： 
    几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式

4. 二次根式计算——分母有理化
1．分母有理化 
定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式： 
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： 
 ①单项二次根式：利用来确定，如：与，与，与等分别互为有理化因式。 
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与，与，与分别互为有理化因式。 
3．分母有理化的方法与步骤： 
                          ①先将分子、分母化成最简二次根式； 
                          ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；

5. 二次根式计算——二次根式的乘除
1． 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。  

2． 二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。  

3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。

 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。 

注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还
要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．

6. 二次根式计算——二次根式的加减 
二次根式的被开方数相同时是可以直接合并的，如若不同，需要先把二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。 
1、 判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。
2、 二次根式的加减分三个步骤：
①化成最简二次根式； ②找出同类二次根式； 
③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．
 （分母没有最小公倍数时）

7. 根式比较大小
1、根式变形法  当时，①如果，则；②如果，则。 
2、平方法  当时，①如果，则；②如果，则。 
3、分母有理化法  通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 
4、分子有理化法  通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
5、倒数法  当时，①如果，则；② 如果，则。
6、媒介传递法  适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。 
7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①；②
8、求商比较法它运用如下性质：当时，则：①；  ②

配套真题
1.（2017 重庆）估计的值应在（ ）
A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间
2.（2017 南京）若，则下列结论中正确的是（ ）
A. 1<a<3 B. 1<a<4 C. 2<a<3 D. 2<a<4
3.（2017 广安）要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x>2 B. x≥2 C. x<2 D. x=2
4.（2017 济宁）若在实数范围内有意义，则x满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
5.（2017 贵港）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
6.（2017 常德）计算：______
7.（2017 北京）写出一个比3大且比4小的无理数：______
8.（2017 荆门）已知实数m,n满足，则m+2n的值为_______
9.（2017 呼和浩特）计算： .

10.（2017 陕西）计算： .

11.（2017 内江）计算： .

真题答案
1. B
2. B
3. B
4. C
5. A
6. 0
7. ......
8. 3
9.

10.

11.

6