二次函数专项复习经典试题集锦(含答案).doc

二次函数专项复习经典试题集锦（含答案）
一、 选择题：
1. 抛物线的对称轴是（ ）
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
2. 二次函数的图象如右图，则点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知二次函数，且，，则一定有（ ）
A. B. C. D. ≤0
4. 把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，则有（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，

5. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数与一次函数的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）

6. 抛物线的对称轴是直线（ ）
A. B. C. D.
7. 二次函数的最小值是（ ）
A. B. 2 C. D. 1
8. 二次函数的图象如图所示，若，，则（ ）
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
二、填空题：
9. 将二次函数配方成的形式，则y=______________________.
10. 已知抛物线与x轴有两个交点，那么一元二次方程的根的情况是______________________.
11. 已知抛物线与x轴交点的横坐标为，则=_________.
12. 请你写出函数与具有的一个共同性质：_______________.
13. 已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：_____________________.
14. 如图，抛物线的对称轴是，与x轴交于A、B两点，若B点坐标是，则A点的坐标是________________.

三、解答题：
1. 已知函数的图象经过点（3，2）.
（1）求这个函数的解析式； （2）当时，求使y≥2的x的取值范围.

2、如右图，抛物线经过点，与y轴交于点B.
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标.

3．如图，抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题：
（1）抛物线y2的顶点坐标　　；
（2）阴影部分的面积S=　　；

（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式．

4．（1999•烟台）如图，已知抛物线y=ax2+bx+交x轴正半轴于A，B两点，交y轴于点C，且∠CBO=60°，∠CAO=45°，求抛物线的解析式和直线BC的解析式．

5．如图，抛物线y=x2+bx﹣c经过直线y=x﹣3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S△APC：S△ACD=5：4的点P的坐标．

6．如图，抛物线y=a（x+1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB=OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C（﹣3，b）在该抛物线上，求S△ABC的值．

7．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．
（1）求抛物线顶点A的坐标及c的值；
（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状．
8、 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）.
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

参考答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
D
D
A
A
D
D
D
B
D
二、填空题：
1. 2. 有两个不相等的实数根 3. 1
4. （1）图象都是抛物线；（2）开口向上；（3）都有最低点（或最小值）
5. 或或或
6. 等（只须，）
7.
8. ，，1，4
三、解答题：
1. 解：（1）∵函数的图象经过点（3，2），∴. 解得.
∴函数解析式为.
（2）当时，.
根据图象知当x≥3时，y≥2.
∴当时，使y≥2的x的取值范围是x≥3.
2. 解：（1）由题意得. ∴. ∴抛物线的解析式为.
（2）∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为.
∴OA=1，OB=4.
在Rt△OAB中，，且点P在y轴正半轴上.
①当PB=PA时，. ∴.
此时点P的坐标为.
②当PA=AB时，OP=OB=4 此时点P的坐标为（0，4）.
3. 解：（1）设s与t的函数关系式为，
由题意得或 解得 ∴.
（2）把s=30代入，得 解得，（舍去）
答：截止到10月末公司累积利润可达到30万元.
（3）把代入，得
把代入，得
. 答：第8个月获利润5.5万元.
4. 解：（1）由于顶点在y轴上，所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为.
因为点或在抛物线上，所以，得.
因此所求函数解析式为（≤x≤）.
（2）因为点D、E的纵坐标为，所以，得.
所以点D的坐标为，点E的坐标为.
所以.
因此卢浦大桥拱内实际桥长为（米）.
5. 解：（1）∵AB=3，，∴. 由根与系数的关系有.
∴，.
∴OA=1，OB=2，.
∵，∴.
∴OC=2. ∴,.
∴此二次函数的解析式为.
（2）在第一象限，抛物线上存在一点P，使S△PAC=6.
解法一：过点P作直线MN∥AC，交x轴于点M，交y轴于N，连结PA、PC、MC、NA.
∵MN∥AC，∴S△MAC=S△NAC= S△PAC=6.
由（1）有OA=1，OC=2.
∴. ∴AM=6，CN=12.
∴M（5，0），N（0，10）.
∴直线MN的解析式为.
由 得（舍去）
∴在 第一象限，抛物线上存在点，使S△PAC=6.
解法二：设AP与y轴交于点（m>0）
∴直线AP的解析式为.

∴.
∴，∴.
又S△PAC= S△ADC+ S△PDC==.
∴，
∴（舍去）或.
∴在 第一象限，抛物线上存在点，使S△PAC=6.
提高题
1. 解：（1）∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，即. ①
又点A的坐标为（2，0），∴. ②
由①②得，.
（2）由（1）得抛物线的解析式为.
当时，. ∴点B的坐标为（0，4）.
在Rt△OAB中，OA=2，OB=4，得.
∴△OAB的周长为.
2. 解：（1）.
当时，.
∴当广告费是3万元时，公司获得的最大年利润是16万元.
（2）用于投资的资金是万元.
经分析，有两种投资方式符合要求，一种是取A、B、E各一股，投入资金为（万元），收益为0.55+0.4+0.9=1.85（万元）>1.6（万元）；
另一种是取B、D、E各一股，投入资金为2+4+6=12（万元）<13（万元），收益为0.4+0.5+0.9=1.8（万元）>1.6（万元）.
3. 解：（1）设抛物线的解析式为，桥拱最高点到水面CD的距离为h米，则，.
∴ 解得
∴抛物线的解析式为.
（2）水位由CD处涨到点O的时间为1÷0.25=4（小时），
货车按原来速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280，
∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.
设货车的速度提高到x千米/时，
当时，.
∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米/时.
4. 解：（1）未出租的设备为套，所有未出租设备的支出为元.
（2）.
∴.（说明：此处不要写出x的取值范围）
（3）当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时出租的设备为37套；当月租金为350元时，租赁公司的月收益为11040元，此时出租的设备为32套.
因为出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应选择出租32套；如果考虑市场占有率，应选择出租37套.
（4）.
∴当时，y有最大值11102.5. 但是，当月租金为325元时，租出设备套数为34.5，而34.5不是整数，故租出设备应为34套或35套. 即当月租金为为330元（租出34套）或月租金为320元（租出35套）时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为11100元.
16．如图，抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题：
（1）抛物线y2的顶点坐标　（1，2）　；
（2）阴影部分的面积S=　2　；
（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式．

考点：
二次函数图象与几何变换．菁优网版权所有
分析：
直接应用二次函数的知识解决问题．
解答：
解：（1）读图找到最高点的坐标即可．故抛物线y2的顶点坐标为（1，2）；（2分）
（2）把阴影部分进行平移，可得到阴影部分的面积即为图中两个方格的面积=1×2=2；（6分）
（3）由题意可得：抛物线y3的顶点与抛物线y2的顶点关于原点O成中心对称．
所以抛物线y3的顶点坐标为（﹣1，﹣2），于是可设抛物线y3的解析式为：
y=a（x+1）2﹣2．由对称性得a=1，
所以y3=（x+1）2﹣2．（10分）
20．（1999•烟台）如图，已知抛物线y=ax2+bx+交x轴正半轴于A，B两点，交y轴于点C，且∠CBO=60°，∠CAO=45°，求抛物线的解析式和直线BC的解析式．

考点：
待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式．菁优网版权所有
分析：
根据抛物线的解析式，易求得C点的坐标，即可得到OC的长；可分别在Rt△OBC和Rt△OAC中，通过解直角三角形求出OB、OA的长，即可得到A、B的坐标，进而可运用待定系数法求得抛物线和直线的解析式．
解答：
解：由题意得C（0，）
在Rt△COB中，
∵∠CBO=60°，
∴OB=OC•cot60°=1
∴B点的坐标是（1，0）；（1分）
在Rt△COA中，∵∠CAO=45°，
∴OA=OC=
∴A点坐标（，0）
由抛物线过A、B两点，
得解得
∴抛物线解析式为y=x2﹣（）x+（4分）
设直线BC的解析式为y=mx+n，
得n=，m=﹣
∴直线BC解析式为y=﹣x+．（6分）
23．如图，抛物线y=x2+bx﹣c经过直线y=x﹣3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S△APC：S△ACD=5：4的点P的坐标．

考点：
二次函数综合题．菁优网版权所有
专题：
压轴题；动点型．
分析：
（1）先根据直线y=x﹣3求出A、B两点的坐标，然后将它们代入抛物线中即可求出待定系数的值．
（2）根据（1）中抛物线的解析式可求出C，D两点的坐标，由于△APC和△ACD同底，因此面积比等于高的比，即P点纵坐标的绝对值：D点纵坐标的绝对值=5：4．据此可求出P点的纵坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求出P点的坐标．
解答：
解：（1）直线y=x﹣3与坐标轴的交点A（3，0），B（0，﹣3）．
则，
解得，
∴此抛物线的解析式y=x2﹣2x﹣3．

（2）抛物线的顶点D（1，﹣4），与x轴的另一个交点C（﹣1，0）．
设P（a，a2﹣2a﹣3），则（×4×|a2﹣2a﹣3|）：（×4×4）=5：4．
化简得|a2﹣2a﹣3|=5．
当a2﹣2a﹣3=5，得a=4或a=﹣2．
∴P（4，5）或P（﹣2，5），
当a2﹣2a﹣3＜0时，即a2﹣2a+2=0，此方程无解．
综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）或（﹣2，5）．
27．如图，抛物线y=a（x+1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB=OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C（﹣3，b）在该抛物线上，求S△ABC的值．

考点：
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
（1）由抛物线解析式确定出顶点A坐标，根据OA=OB确定出B坐标，将B坐标代入解析式求出a的值，即可确定出解析式；
（2）将C坐标代入抛物线解析式求出b的值，确定出C坐标，过C作CD垂直于x轴，三角形ABC面积=梯形OBCD面积﹣三角形ACD面积﹣三角形AOB面积，求出即可．
解答：
解：（1）由投影仪得：A（﹣1，0），B（0，﹣1），
将x=0，y=﹣1代入抛物线解析式得：a=﹣1，
则抛物线解析式为y=﹣（x+1）2=﹣x2﹣2x﹣1；
（2）过C作CD⊥x轴，
将C（﹣3，b）代入抛物线解析式得：b=﹣4，即C（﹣3，﹣4），
则S△ABC=S梯形OBCD﹣S△ACD﹣S△AOB=×3×（4+1）﹣×4×2﹣×1×1=3．

点评：
此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

28．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．
（1）求抛物线顶点A的坐标及c的值；
（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状．

考点：
二次函数综合题．菁优网版权所有
分析：
（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线l的解析式中求出点A的坐标，再将点A的坐标代入抛物线的解析式y=x2﹣2x+c中，运用待定系数法即可求出c的值；
（2）先由抛物线的解析式得到点B的坐标，再求出AB、AD、BD三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可确定△ABD是直角三角形．
解答：
解：（1）∵y=x2﹣2x+c，
∴顶点A的横坐标为x=﹣=1，
又∵顶点A在直线y=x﹣5上，
∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，
∴点A的坐标为（1，﹣4）．
将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，
得﹣4=12﹣2×1+c，解得c=﹣3．
故抛物线顶点A的坐标为（1，﹣4），c的值为﹣3；

（2）△ABD是直角三角形．理由如下：
∵抛物线y=x2﹣2x﹣3与y轴交于点B，
∴B（0，﹣3）．
当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，
解得x1=﹣1，x2=3，
∴C（﹣1，0），D（3，0）．
∵BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，
∴BD2+AB2=AD2，
∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．

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