一阶偏微分方程基本知识.docx

这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法，因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题，所以我们先来介绍常微分方程的首次积分。
1一阶常微分方程组的首次积分
首次积分的定义
从第三章我们知道，阶常微分方程
，（1.1）
在变换
（1.2）
之下，等价于下面的一阶微分方程组
（1.3）
在第三章中，已经介绍过方程组（1.3）通解的概念和求法。但是除了常系数线性方程组外，求一般的（1.3）的解是极其困难的。然而在某些情况下，可以使用所谓“可积组合”法求通积分，下面先通过例子说明“可积组合”法，然后介绍一阶常微分方程组“首次积分”的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组（1.3）的问题。先看几个例子。
例1 求解微分方程组
（1.4）
解：将第一式的两端同乘，第二式的两端同乘，然后相加，得到
，
。
这个微分方程关于变量t和是可以分离，因此不难求得其解为
， （1.5）
为积分常数。（1.5）叫做（1.4）的首次积分。
注意首次积分（1.5）的左端作为x，y，和t的函数并不等于常数；从上面的推导可见，当时微分方程组（1.4）的解时，才等于常数，这里的常数应随解而异。因为式（1.4）是一个二阶方程组，一个首次积分（1.5）不足以确定它的解。为了确定（1.4）的解，还需要找到另外一个首次积分。
将第一式两端同乘，第二式两端同乘，然后用第一式减去第二式，得到
，
即
，
亦即
。
积分得
，（1.6）
其中为积分常数。
利用首次积分（1.5）和（1.6）可以确定（1.4）的通解。为此，采用极坐标，这样由（1.5）和（1.6）推得

或.
因此我们得到方程组（1.4）的通解为
，. （1.7）
例2 求解微分方程组 （1.8）
其中是给定的常数。
解 利用方程组的对称性，可得
,
从而得到首次积分
, （1.9）
其中积分常数。同样我们有
,
由此又得另一个首次积分
, （1.10）
其中积分常数。有了首次积分（1.9）和（1.10），我们就可以将u和v用w表示，代入原方程组（1.8）的第三式，得到
,（1.11）
其中常数a，b依赖于常数，而常数

注意（1.11）是变量可分离方程，分离变量并积分得到第三个首次积分
, （1.12）
其中是积分常数。因为方程组（1.8）是三阶的，所以三个首次积分（1.9）、（1.10）和（1.12）在理论上足以确定它的通解

但是由于在式（1.12）中出现了椭圆积分，因此不能写出上述通解的具体表达式。
现在我们考虑一般的阶常微分方程
，,（1.13）
其中右端函数在内对连续，而且对是连续可微的。
定义1设函数在的某个子域内连续，而且对是连续可微的。又设不为常数，但沿着微分方程（1.3）在区域G内的任意积分曲线

函数V取常值；亦即
，
或当时，有
=常数，
这里的常数随积分曲线而定，则称
=C （1.14）
为微分方程（1.13）在区域G内的首次积分。其中C是一个任意常数，有时也称这里的函数为（1.13）的首次积分。
例如（1.5）和（1.6）都是微分方程（1.4）在某个区域内的首次积分。这里对区域G有限制，是要求首次积分（1.5）和（）必须是单值的连续可微函数。因此区域G内不能包括原点，而且也不能有包含原点的回路。同理，式（1.9）、（1.10）和（1.12）都是方程（1.8）的首次积分。
对于高阶微分方程（1.1），只要做变换（1.2），就可以把它化成一个与其等价的微分方程组。因此，首次积分的定义可以自然地移植到n阶方程（1.1）。而其首次积分的一般形式可以写为
。 （1.15）
例如，设二阶微分方程组
，
用乘方程的两端，可得
，
然后积分，得到一个首次积分
。
一般的，阶常微分方程有个独立的首次积分，如果求得阶常微分方程组的个独立的首次积分，则可求阶常微分方程组的通解。
首次积分的性质和存在性
关于首次积分的性质，我们不加证明地列出下面的定理。
定理1设函数 在区域G内是连续可微的，而且它不是常数，则
（1.16）
是微分方程（1.13）在区域G内的首次积分的充分必要条件是
（1.17）
是关于变量的一个恒等式。
这个定理实际上为我们提供了一个判别一个函数是否是微分方程（1.13）首次积分的有效方法。因为根据首次积分的定义，为了判别函数是否是微分方程（1.13）在G内的首次积分，我们需要知道（1.13）在G内的所有积分曲线。这在实际上是由困难的。而定理1避免了这一缺点。
定理2 若已知微分方程（1.13）的一个首次积分（1.14），则可以把微分方程（1.13）降低一阶。
设微分方程组（1.13）有n个首次积分
， （1.18）
如果在某个区域G内它们的Jacobi行列式
， （1.19）
则称它们在区域G内是相互独立的。
定理3设已知微分方程（1.13）的n个相互独立的首次积分（1.18），则可由它们得到（1.13）在区域G内的通解
， （1.20）
其中为n个任意常数（在允许范围内），而且上述通解表示了微分方程（1.13）在G内的所有解。
关于首次积分的存在性，我们有
定理4 设，则存在的一个邻域，使得微分方程（）在区域内有n个相互独立的首次积分。
定理5 微分方程（1.13）最多只有n个相互独立的首次积分。
定理6 设（1.18）是微分方程（1.13）在区域G内的n个相互独立的首次积分，则在区域G内微分方程（1.13）的任何首次积分
=C，
可以用（1.18）来表达，亦即
，
其中是某个连续可微的函数。
为了求首次积分，也为了下一节的应用，人们常把方程组（1.3）改写成对称的形式
，
这时自变量和未知函数的地位是完全平等的。更一般地，人们常把上述对称式写成
（1.21）并设内部不同时为零，例如如果设 则（1.21）等价于
。 （1.22）
请注意，式（1.22）中的相当于自变量，相当于未知函数，所以在方程组（1.21）中只有n--1个未知函数，连同自变量一起，共有n个变元。
不难验证，对于系统（1.21），定理1相应地改写为：设函数连续可微，并且不恒等于常数，则=C是（）的首次积分的充分必要条件是关系式

（1.23）
在G内成为恒等式。如果能得到（1.21）的n-1个独立的首次积分，则将它们联立，就得到（1.21）的通积分。
方程写成对称的形式后，可以利用比例的性质，给求首次积分带来方便。
例3 求的通积分。
解 将前两个式子分离变量并积分，得到方程组的一个首次积分
（1.24）
其中是任意常数，再用比例的性质，得
，
两边积分，又得到一个首次积分
， （1.25）
其中是任意常数。（1.24）和（1.25）是相互独立的，将它们联立，便得到原方程组得通积分
，.
例4 求的通积分。
解 利用比例的性质，可以得到

于是有

分别积分，就得到两个首次积分

将它们联立，就得到原系统的通积分，其中为任意常数。
例5 求解二体问题，即求解方程组

其中常数是相对静止的这个天体的质量。现在求二体问题的运动轨线。
以x乘第二式两边，以y乘第三式两边，然后相减，得

即
，
积分便得到
（1.26）
这里是任意常数，用类似的方法，可以得到

其中都是任意常数。分别用x、y、z乘（1.26），（1.27）和（1.28）的两边，然后三式相加，得到
（1.29）
这时一个平面方程。说明二体问题的运动轨迹位于（1.29）所表示的平面内。因此二体问题的轨迹是一条平面曲线。重新选取坐标平面，不妨将轨迹线所在的平面选为（x，y）平面，于是二体问题的运动方程是

由这两式可以看到
，
上式可以写成

两边积分，得到一个首次积分

其中A为积分常数。引入极坐标，经过简单的运算，上式可以写成
（）
另一方面，以y乘（1.30），以x乘（1.31），然后两式相减，得
，
即
，
积分后得到另一个首次积分
，
化成极坐标，便得
。 （1.33）
设，则由（1.32）和（1.33）解得
，
不妨把“”与B合并，仍记为B，则上式可以写成
， （1.34）
记，则上式没有意义，故总设。将（1.34）积分，得到

这里又是一个积分常数。从上式得到二体问题轨迹线的极坐标方程
。 （1.35）
由平面几何知道，这是一条二次曲线。它的离心率是
。
当时，轨迹为一个椭圆；当时，轨迹为一个抛物线；当时，轨迹为一双曲线。由（1.35）可知，r依赖于常数，其中是系统常数；A和B由初始条件确定。
如果，则由（1.33）知等于常数，这表示运动的轨迹是一条射线，这是显然的事。
这个例子说明，虽然二体问题的解x=x（t）和y=y（t）没有求出来，但是利用首次积分，却完整地求出了运动的轨迹方程。
2 一阶齐次线性偏微分方程
下面我们讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法。
一阶线性偏微分方程
一阶线性偏微分方程的一般形式为
，
或简记为
，（2.1）
其中为的未知函数。假定系数函数
是连续可微的，而且它们不同时为零，即在区域D上有
。
注意微分方程组（2.1）是线性齐次的。
对于偏微分方程组（2.1）, 我们考虑一个对称形式的常微分方程组
，（2.3）
它叫做（2.1）的特征方程，注意特征方程（2.3）是一个（n-1）阶常微分方程组，所以它有n-1个首次积分
。 （2.4）
我们的目的是通过求（2.3）的首次积分来求（2.1）的解。(2.1)的解与(2.3)的首次积分之间的关系有如下的定理
定理1 假设已经得到特征方程组(2.3)的个首次积分(2.4)
，
则一阶偏微分方程(2.1)的通解为
(2.5)
其中为一任意元连续可微函数。
证明 设
（2.6）
是方程（2.3）的一个首次积分。因为函数不同时为零，所以在局部邻域内不妨设，这样特征方程（2.3）等价于下面标准形式的微分方程组
（2.7）
因此（2.6）也是（2.7）的一个首次积分，从而有恒等式
，
亦即恒有
。 （2.8）
这就证明了（非常数）函数为方程（2.3）的一个首次积分的充要条件为恒等式（2.8）成立。换言之，为方程（2.3）的一个首次积分的充要条件是为偏微分方程（2.1）的一个（非常数）解。
因为（2.4）是微分方程（2.3）的n-1个独立的首次积分，所以根据首次积分的理论得知，对于任意连续可微的（非常数）n-1元函数，

就是（2.3）的一个首次积分。因此，相应的函数（2.5）是偏微分方程（2.1）的一个解。
反之，设是偏微分方程（2.1）的一个（非常数）解，则是特征方程（2.3）的一个首次积分，因此，根据首次积分的理论得知，存在连续可微函数，使恒等式

成立，即偏微分方程（2.1）的任何非常数解可以表示成（2.5）的形式。
另外，如果允许是常数，则（2.5）显然包括了方程（2.1）的常数解。
因此，公式(2.5)表达了偏微分方程组（2.1）的所有解，也就是它的通解。
例1求解偏微分方程
（）.（2.9）
解原偏微分方程(2.9)的特征方程为

它是一阶常微分方程组，求得其一个首次积分为
,
由定理1知，原偏微分方程的通解为
,
其中为任意可微的函数。
例2求解边值为题
（2.10）
解原偏微分方程（2.10）的特征方程为
,
由;
再由 .
故方程的通解为
（2.11）
其中为任意二元可微的函数，可由边值条件确定, 因为，
令，则，
，
。
代入（2.11）式，得到

.
2.2一阶拟线性非齐次偏微分方程
下面讨论一阶拟线性非齐次偏微分方程
（2.12）
的求解方法。
式（2.12）中函数是连续可微的。这里所说的“拟线性”是指方程关于未知函数的偏导数都是一次的，各个系数，中可能含有未知函数，而“非齐次”是指存在不含未知函数偏导数的自由项。和一阶线性偏微分方程
（2.13）
相比较，显然式拟线性方程（2）比线性方程（2.12）更广泛。
我们将求解（2.12）的问题化成求解线性齐次方程的问题，设

是（2.12）的隐函数形式的解，且，则根据隐函数微分法得
，（2.14）
将（2.14）代入（2.12）中，经过整理得
（2.15）
由此，可以将视为关于的函数，（2.15）变成了关于未知函数的一阶线性齐次偏微分方程。于是函数应是方程（2.15）的解。
反过来，假设函数是（2.15）的解，且，则由（2.15）和（）可以推出由方程
=0
所确定的隐函数是方程（2.12）的解。这样求解方程（2.12）的问题就化成了求解（2.15）的问题。为了求解（2.15），先写出其特征方程组为
.（2.16）
式（2.16）可化为个常微分方程，求得它的个首次积分为
，
就得到（2.15）的通解为
（2.17）
其中是所有变元的连续可微函数。我们将（2.16）称为方程（）的特征
方程组。上述过程写成定理就是
定理 设函数和在区域
内连续可微，在G内不同时为零，设是（1.25）的一个解，且必是方程（2.12）的一个隐式解。反之是（2.12）的一个隐式解，并且，必是（2.15）的某个解，使

一阶线性非齐次偏微分方程（2.13）为一阶拟线性非齐次偏微分方程的特殊情况，其解法完全与求解方程（2.12）的解法相同。
例4求解
. （2.18）
解原一阶拟线性非齐次偏微分方程的特征方程为
,
故由，积分后得，求得一个首次积分,再利用合比定理，有
,
积分后得，故求得另一个首次积分为
,
所以（2.18）的通解为
.
例5 求解
.（2.19）
解（2.19）式为线性非齐次偏微分方程，是拟线性非齐次偏微分方程的特例，其特征方程为
,
分别积分，得个首次积分
.
故原线性非齐次偏微分方程的隐式通解为
,
其中是各个自变量的连续可微函数，解出得显式通解
.
习题四
1求解下列偏微分方程
（1）
（2）
（3）
2求解下列初值问题
（1）（2）
3求解下列偏微分方程的通解。
（1） （2）
4、求解：