概率论复习题及答案-(2).doc

概率论与数理统计复习题一事件及其概率1. 设 A, B, C 为三个事件，试写出下列事件的表达式：(1) A, B, C 都不发生； (2) A, B, C 不都发生； (3) A, B, C 至少有一个发生； (4) A, B, C 至多有一个发生。解： (1) ABC A B C(2) ABC A B C(3) A B C(4) BC AC AB2. 设 A , B为两相互独立的随机事件 , P( A) 0.4 , P( B) 0.6, 求 P(A B), P(A B), P( A | B) 。解： P(A B) P( A) P(B) P( AB) P(A) P(B) P(A)P( B) 0.76 ；P(A B) P( AB) P(A)P(B) 0.16, P( A| B) P( A) 0.4。3. 设 A, B 互斥， P(A) 0.5， P(A B) 0.9 ，求 P( B), P(A B) 。解： P(B) P(A B) P(A) 0.4, P(A B) P( A) 0.5 。4. 设 P( A) 0.5, P(B) 0.6, P(A | B) 0.5 ，求 P(A B), P( AB) 。解： P(AB) P(B)P(A | B) 0.3, P( A B) P( A) P(B) P( AB) 0.8,P( A B) P( A B) P( A) P( A)B 。0. 25. 设 A, B, C 独立且 P( A) 0.9, P(B) 0.8, P(C ) 0.7, 求 P(A B C) 。解： P(A B C) 1 P( A B C) 1 P( ABC ) 1 P( A) P(B)P(C ) 0.994 。6. 袋中有 4 个黄球， 6 个白球，在袋中任取两球，求(1) 取到两个黄球的概率；(2) 取到一个黄球、一个白球的概率。解： (1)P2 CC4210215；(2)P1 1C C4 6 2C10815。7. 从 0 9 十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为 5的概率。解：P1 2C C1 5 3C10112。18. 从 (0,1) 中任取两数，求两数之和小于 0.8 的概率。解：10.8 0.82 0.32P 。19. 甲袋中装有 5只红球， 15 只白球，乙袋中装有 4 只红球， 5 只白球，现从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问从乙袋中取出红球的概率为多少？解：设 A “从甲袋中取出的是红球 ”， B “从乙袋中取出的是红球 ”，则：1 3 1 2P( A) , P ( A ) ,P (B |A ) ,P B( A| ) ,4 4 2 5由全概率公式得：17P(B) P(A)P( B | A) P( A) P(B | A) 。4010. 某大卖场供应的微波炉中， 甲、乙、丙三厂产品各占 50%、40%、10%，而三厂产品的合格率分别为 95%、85%、80%，求(1) 买到的一台微波炉是合格品的概率；(2) 已知买到的微波炉是合格品，则它是甲厂生产的概率为多大？解： (1) 设 A1 ,A2 ,A3 分别表示买到的微波炉由甲、乙、丙厂生产， B 表示买到合格品，则P( A ) 0. 5P, A( ) 0.P4 ,A ( ) P0. B1, A( | ) P 0.B9 5A, ( | P) B0. A,8 5 , ( | )1 2 3 1 2 33由全概率公式得 P( B) P( Ai ) P(B | Ai ) 0.895 ；i 1(2)P( A | B)1P( A B) P(A )P(B | A ) 0.475 951 1 1P(B) P(B) 0.895 179。二一维随机变量及其数字特征1. 已知 X 的概率密度函数 f (x)kx 1, 0 x 20, else，求1k, P X , EX 。2解：21f (x )dx (kx 1)dx 2k 2 1 k ,021 1 92P X x 1 d x ，12 2 1 622 1 2EX x x 1 dx 。02 32. 设 X B(3 , 0.1)，求 P X 2 , P X 1 。解：2 2 3P X 2 C (0.1) (0.9) 0.027, P X 1 1 P X 0 1 0.9 0.271。33. 设三次独立随机试验中事件 A 出现的概率相同， 已知事件 A 至少出现一次的概率为 验中出现的概率 p 。3764，求 A 在一次试解：三次试验中 A 出现的次数 X B (3, p) ，由题意：237 1 0 0 3 3P X 1 1 P X 0 1 C3 p (1 p) 1 (1 p) p 。64 41000, x 100011. 某种灯管的寿命 X （单位：小时）的概率密度函数为 2f ( x) x，0, else(1) 求 P X 1500 ；(2) 任取 5只灯管，求其中至少有 2 只寿命大于 1500 的概率。解： (1)1000 2P X 1500 dx21500 x3；(2) 设5 只灯管中寿命大于 1500 的个数为 Y ，则2Y B 5, ，故35 41 2 1 232PY 2 1 PY 0 PY 1 1 5 。3 3 3 24312. 设 X B(n, p), EX 1.6, DX 1.28, 求 n, p 。解： EX np 1.6, DX np (1 p) 1.28 n 8, p 0.2。13. 设 X (2) ，求2P X 2, E(X 2X 3)。解：2P X 2 1 3e ，22 2E(X 2X 3) E( X ) 2EX 3 EX DX 2EX 3 4 2 4 3 7 。14. 设 X U 1,6 ，求 P 4 X 2 。解：1f (x) 70, 1 x 6else，1 32 1 2P 4 X 2 f ( x)dx 0dx dx 。4 14 7715. 设 X 服从 ( 1,5 ) 上的均匀分布，求方程2 1 0t Xt 有实根的概率。解：1f (x) 60, 1 x 5else，5 1 12P 0 P X 4 0 dx 。26 216. 设 X U 1,3 ，求 EX , DX , E1X。解：12(3 1) 1 , 1 x 3 1 1 1 13EX 2, DX , f (x) 2 , E dx ln312 3 X x 2 210, else。317. 设某机器生产的螺丝长度 X N (10.05,0.0036) 。规定长度在范围 10.05 0.12内为合格，求螺丝不合格的概率。解：螺丝合格的概率为P 10.05 0.12 X 10 .05 0 .12 P0 .120.9 06X4. 050 .060 .120 .06(2) ( 2) 2 (2) 1 0.9544故螺丝不合格的概率为 1 0.9544 0.0456 。5. 设 X N (0,4) ，Y 2X 3000 ，求 EY 、 DY 及Y 的分布。解： EY 2EX 3000 3000, DY 4DX 16, Y N (3000,16) 。6. 设 X 与Y 独立，且 X N (1,1) , Y N (1,3), 求 E(2 X Y), D(2 X Y)。解： E(2X Y) 2EX EY 1, D(2 X Y) 4DX DY 7 。7. 设1X (4), Y B 4, , 0.6, 求 D(3 X 2Y) 。XY2解： (3 2 ) 9 4 12 25.6D X Y DX DY DX DY 。XY8. 设 X U 1,2 ，求 Y X 的概率密度函数。解： F ( y) P Y y P X yY(1) 当 y 0时， FY ( y) 0；1 2 y(2) 当 0 y 1时， F ( y) dx y ；Y 3y 3(3) 当1 y 2 时，1 1 y 1yFY ( y) 0dx dx ；y 1 33(4) 当 y 2时， FY ( y) 1；故F (y)Y0, y 023y, 0 y 1y31, 1 y 2，23, 0 y 11f (y) F ( y) , 1 y 2Y Y30, else。1, y 2三二维随机变量及其数字特征1. 已知 (X,Y) 的联合分布律为：4YX1 1 25 0.1 0.4 05 0.2 a 0.2(1) 求 a ；(2) 求 P X 0,Y 1 , PY 1| X 5 ；(3) 求 X ,Y 的边缘分布律；(4) 求 XY ；(5) 判断 X ,Y 是否独立。解： (1) a 0.1;(2) 0.3, 0.2 ；(3) X : 0.5, 0.5; Y : 0.3, 0.5, 0.2；(4) EX 0, EY 0.6, E( XY) 0 cov( X,Y) 0, XY 0 ；(5)18. 0.419. 0.1，不独立。0.10 已知 (X,Y) 的联合分布律为：XY1 0 20 a1916119b13且 X 与Y 相互独立，求：(1) a,b 的值；(2) P XY 0 ；(3) X, Y 的边缘分布律；(4) EX , EY, DX , DY ；(5) Z XY 的分布律。1 1解： (1)a 1 29 6 , a b1 1 18 9 b9 3;5(2) 4 5P XY 0 1 P XY 0 1 ； 9 9(3) 1 1 1 1 2X : , , ; Y : , ； 6 3 2 3 3(4)5 13 53 2 2 22 2 2 2 2 2EX , EX , DX EX (EX ) , EY , EY , DY EY (EY) ；6 6 36 3 3 9(5) 1 5 1P Z 1 , P Z 0 , PZ 2 。 9 9 320. 已知 ( X ,Y) 的概率密度函数为f (x, y)c(x y), 0 x 2,0 y 10, else，求：(1) 常数 c；(2) 关于变量 X 的边缘概率密度函数 fX ( x) ；(3) E( X Y) 。解： (1)2 1 21 1f (x, y )dxdy dx c(x y )dy c x dx 2c c 3c 1 c ；0 0 02 3(2)1 1 11(x y) dy x , 0 x 2f (x) f (x, y)dy 3 3 20X0, else；(3)1 162 12E( X Y) ( x y) f (x, y) dxdy dx ( x y) dy 。0 0 9321. 设 (X ,Y) 的概率密度函数为： f ( x, y)Axy, 0 x 1,0 y x0, else，(1) 求 A ；(2) 求 ( ), ( ) f x f y ； X Y(3) 判断 X ,Y 是否独立；(4) 求1P Y , P X Y 1 ；2(5) 求 cov( X ,Y) 。解：(1)1 x Adx Axydy 1 A 8 ；0 0 8(2)f (x) f (x, y )dyXx038xydy 4x , 0 x 1，0, else6f (y) f (x, y )dxY1 28 xydx 4 y(1 y ), 0 y 1y；0, else(3) f (x, y) fX (x) fY (y) X, Y 不独立；(4)1 151 3P X 4x dx ，12 1621/2 1 y1P X Y 1 dy 8 xydx ；0 y6(5) 4 8 4 4EX , EY , E( XY) , cov( X ,Y) E(XY) E(X )E(Y) 。 5 15 9 225四中心极限定理22. 某种电器元件的寿命服从指数分布 E(0.01) （单位：小时） ，现随机抽取 16只，求其寿命之和大于 1920小时的概率。16解：设第 i 只电器元件的寿命为 X (i 1,2, ,16), 则 E(X ) 100, D(X ) 10000。令i i iX X ，ii 1则 EX 1600, DX 160000 。由中心极限定理得X 1600 1920 1600P X 1920 P 0.8 1 (0.8) 0.2119。160000 40023. 生产灯泡的合格率为 0.8，记10000 个灯泡中合格灯泡数为 X ，求(1) E( X )与 D(X ) ；(2) 合格灯泡数在 7960 8040 之间的概率。解： (1) X B(10000,0,8), E(X ) 10000 0.8 8000, D(X ) 10000 0.8 0.2 1600 ；(2) 由中心极限定理得P 7960 X 8040 p7960408000 X8000408040800040(1)(1)2 (1) 1 0 .6826 。24. 有一批建筑房屋用的木柱， 其中 80% 的长度不小于 3m ，现从这批木柱中随机地取 100根，问至少有 30根短于 3m 的概率是多少？解：设这 100根木柱中短于 3m 的个数为 X ，则X B(100,0.2), EX 100 0.2 20, DX 100 0.2 0.8 16 ；由中心极限定理得X EX 30 20P X 30 P 2.5 1 (2.5) 0.0062。DX 1625. 某单位设置一电话总机，共有 200 架电话分机。设每个电话分机是否使用外线通话相互独立，设每时刻每个分机有 0.05 的概率要使用外线通话。 问总机至少需要多少外线才能以不低于 0.9的概率保证每个分7机要使用外线时可供使用 ?解：设至少需要 k 条外线。使用外线的分机数 X B(200,0.05) ，EX 200 0.05 10, DX 200 0.05 0.95 9.5 。由中心极限定理得：P X k PX EX k 10 k 10DX 9.5 9.526.k100.119. k 13.9452 。五抽样分布2. 从一批零件中抽取 6个样本，测得其直径为 1.5,2,2.3,1.7,2.5,1.8 ，求2x, s 。解：6 61 12 2x x 1.9667, s (x x) 0.1427 。i i6 5i 1 i 13. 设 X1, X2 是来自正态总体 N (0,9) 的简单随机样本，已知2Y a(X1 X ) 服从22分布，求 a。解：2X X X X 11 2 1 2 2X X N (0,18) N (0,1) (1) a 。1 218 18184. 总体 X N (72,100) ，(1) 对容量 n 50 的样本，求样本均值 X 大于 70 的概率；(2) 为使 X 大于 70 的概率不小于 0.95 ，样本容量至少应为多少？解： (1)70 72X N 72,2 , P( X 70) 1 1 ( 2) ( 2) 0.92；2(2)100 70 72 n nX N 72, , P(X 70) 1 1 0.95n n 5 5100 /n51.645 67.65n 。5. 设X1,X2, ,X10 取自正态总体 N (0,0.09) ，求102P X 1.44 。ii 1n2(X)ii 1 n2解：由于 ( )2，故102 2P Xi 1.44 P (10) 16 0.1。i 1827. 设 X1, X2, , Xn 来自总体2X N( , )，2S 为样本方差，求ES DS 。 2, 22, 2解：2 2 2(n 1)S 2 2 2 2 (n 1), E( S ) E (n 1) (n 1) ,2n 1 n 12 4 422 2D(S ) D (n 1) 2(n 1)2n 1 (n 1) n 1。六参数估计0.12 设随机变量 X B(n, p) ，其中 n已知。 X 为样本均值 , 求 p 的矩估计量。解： EX np X p? Xn。1, x 10.13 设总体 X 的概率密度函数为： f (x) 1，其中 是未知参数，求 的矩估计量。0, else解：1 ? 2 1EX X X 。20.14 设总体 X 的分布律为X 1 2 3P 1 2现有样本： 1,1,1, 3,1, 2, 3, 2, 2,1, 2, 2, 3,1,1, 2，求 的矩估计值与最大似然估计值。解： (1)3 X?EX 2 3(1 2 ) 3 3 X ，将37x 代入得4?512；(2) 似然函数 L P X1 1, X2 1, , X16 27 6 3P X 1 P X 1 P X 2 (1 2 )1 2 16对数似然函数 ln L 13ln 3ln(1 2 ) ，令ln L 13 61 20，得?1323。0.15 设总体 X 的概率密度函数为f (x)x x 1, 0 11, 0 1。0, else现测得 X 的8 个数据： 0.6, 0.4, 0.8, 0.6, 0.8, 0.7, 0.6, 0.6 ，求 的矩估计值和最大似然估计值。解： (1)11E( X ) xf ( x)dx x x dx ，令 E(X ) X ，得01X 0.6375? 1.76；1 X 1 0.63759(2) 似然函数1n n n1 nL f ( x ) x x ，对数似然函数i i ii 1 i 1 i 1nln L n ln ( 1) ln x ，令ii 1ln L nni 1ln x 0 ，得in 8? 2.13n3.7626ln xii 1。20.16 设轴承内环的锻压零件的平均高度 X 服从正态分布 N( ,0.4 ) 。现在从中抽取 20 只内环，其平均高度x 32.3 毫米，求内环平均高度的置信度为 95% 的置信区间。解：2已知，置信区间为X z , X zn n2 2。将 x 32. 3, 0. 4, n 20, z0. 025 1. 96 代入，得所求置信区间为 (32.125, 32.475)。0.17 为了估计一批钢索所能承受的平均张应力 ( 单位： 千克力 / 平方米 ) ，从中随机地选取了 10 个样品作实验 ,由实验所得数据算得： x 6720, s 220，设钢索所能承受的张应力服从正态分布 , 试在置信水平 95%下求这批钢索所能承受的平均张应力的置信区间。解：2未知，置信区间为S SX t (n 1), X t (n 1)n n2 2。将x 6720, s 220, n 10, t (9) 2.2622代入，得所求置信区间为 (6562.6, 6877.4) 。10.0.18 冷铜丝的折断力服从正态分布，从一批铜丝中任取 10 根，测试折断力，得数据为578，572，570，568，572，570，570，596，584，572求： (1) 样本均值和样本方差； (2) 方差的置信区间（ 0.05 ）。解： (1)10 101 12 2x x 575.2, s (x x) 75.73 ；i i10 9i 1 i 1(2) 未知，置信区间为2 2(n 1)s (n 1)s 9 75.73 9 75.73, , (35.83, 252.40)2 2(n 1) (n 1) 19.0228 2.700412 2。七假设检验6. 某糖厂用自动打包机装糖，已知每袋糖的重量 ( 单位：千克 ) 服从正态总体分布 N( , 4 ) ，今随机地抽查了 9 袋，称出它们的重量如下：50 ，48，49，52，51，47，49，50，50问在显著性水平 0.05下能否认为袋装糖的平均重量为 50 千克？解：由题意需检验 H 0 : 50, H1 : 50 。2已知，拒绝域为X0U z/ n21.646，将x 49.5556, 50, 2, n 9代入，得 U 0.6667 。未落入拒绝域中，故接受 H 0 ，即可以认010为袋装糖的平均重量为 50千克。28. 某批矿砂的 5 个样本的含金量为：0.19 , 3.27, 3.24, 3.26, 3.24设测定值总体服从正态分布，问在显著性水平 0.1 下能否认为这批矿砂的金含量的均值为 3.25？解：由题意需检验2H0 : 3.25,H1 : 3.25。未知，拒绝域为X0T t (n 1) 2.1318，S / n2将x 3.252, 3.25, s 0.013,n 5代入得 T 0.344 。未落入拒绝域中，故接受 H 0 ，即可以认0为这批矿砂的含金量的均值为 3.25 。29. 某种螺丝的直径 X N( ,64) ，先从一批螺丝中抽取 10 个测量其直径，其样本均值 x 575.2 ，方差2 68.16s 。问能否认为这批螺丝直径的方差仍为 64 （ 0.05 ）？解：由题意需检验2 2H0 : 64, H1 : 64。 未知，拒绝域为2(n 1)S2 22 10 2(n 1) 2.7或2 2 2(n 1) 19。将2 2n 10, s 68.16, 64 代入得02 9.585。未落入拒绝域中， 故接受H ，0即可以认为这批螺丝直径的方差仍为 64 。30. 某厂生产的电池的寿命长期以来服从方差2 5000 的正态分布。 现从一批产品中随机抽取 26 个电池，测 得其寿命 的样本 方差2 9200s ，问 能否推 断这批电 池寿命 的波动 性较以 前有显 著的增大（ 0.02 ）？解：由题意需检验2 2H H 。 未知，拒绝域为0 : 5000, 1 : 50002(n 1)S2 2 2(n 1) (25) 41.566。将 0.02202n 26, s 9200代入得2 46，落入拒绝域中，故拒绝H ，即能推断这批电池寿命的波动性较以前有显著增大。011