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(完整word版)概率论复习题及答案
概率论与数理统计复习题
一． 事件及其概率
1. 设为三个事件，试写出下列事件的表达式：
(1) 都不发生；(2)不都发生；(3)至少有一个发生；(4)至多有一个发生。
解：(1)
(2)
(3)
(4)
2. 设为两相互独立的随机事件,,,求。
解：；
。
3. 设互斥，，，求。
解：。
4. 设，求。
解：
。
5. 设独立且求。
解：。
6. 袋中有个黄球，个白球，在袋中任取两球，求
(1) 取到两个黄球的概率；
(2) 取到一个黄球、一个白球的概率。
解：(1) ；(2) 。
7. 从十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为的概率。
解：。
8. 从中任取两数，求两数之和小于的概率。
解：。
9. 甲袋中装有只红球，只白球，乙袋中装有只红球，只白球，现从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问从乙袋中取出红球的概率为多少？
解：设“从甲袋中取出的是红球”， “从乙袋中取出的是红球”，则：

由全概率公式得：
。
10. 某大卖场供应的微波炉中，甲、乙、丙三厂产品各占50%、40%、10%，而三厂产品的合格率分别为95%、85%、80%，求
(1) 买到的一台微波炉是合格品的概率；
(2) 已知买到的微波炉是合格品，则它是甲厂生产的概率为多大？
解：(1) 设分别表示买到的微波炉由甲、乙、丙厂生产，表示买到合格品，则

由全概率公式得；
(2) 。
二． 一维随机变量及其数字特征
1. 已知的概率密度函数，求。
解：
，。
2. 设，求。
解：。
3. 设三次独立随机试验中事件出现的概率相同，已知事件至少出现一次的概率为，求在一次试验中出现的概率。
解：三次试验中出现的次数，由题意：
。
4. 某种灯管的寿命（单位：小时）的概率密度函数为，
(1) 求；
(2) 任取只灯管，求其中至少有只寿命大于的概率。
解：(1) ；
(2) 设只灯管中寿命大于的个数为，则，故
。
5. 设求。
解：。
6. 设，求。
解：，
。
7. 设，求。
解：，。
8. 设服从上的均匀分布，求方程
解：，。
9. 设，求。
解：。
10. 设某机器生产的螺丝长度。规定长度在范围内为合格，求螺丝不合格的概率。
解：螺丝合格的概率为

故螺丝不合格的概率为。
11. 设，，求、及的分布。
解：。
12. 设与独立，且求。
解：。
13. 设求。
解：。
14. 设，求的概率密度函数。
解：
(1) 当时，；
(2) 当时，；
(3) 当时，；
(4) 当时，；
故，。
三． 二维随机变量及其数字特征
1. 已知的联合分布律为：

(1) 求；
(2) 求；
(3) 求的边缘分布律；
(4) 求；
(5) 判断是否独立。
解：(1) ;
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ，不独立。
2. 已知的联合分布律为：

且与相互独立，求：
(1) 的值；
(2) ；
(3) 的边缘分布律；
(4) ；
(5) 的分布律。
解：(1) ;
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) 。
3. 已知的概率密度函数为，求：
(1) 常数；
(2) 关于变量的边缘概率密度函数；
(3) 。
解：(1) ；
(2) ；
(3) 。
4. 设的概率密度函数为：，
(1) 求；
(2) 求；
(3) 判断是否独立；
(4) 求；
(5) 求。
解：(1) ；
(2) ，
；
(3) 不独立；
(4) ，；
(5) 。
四． 中心极限定理
1. 某种电器元件的寿命服从指数分布（单位：小时），现随机抽取只，求其寿命之和大于小时的概率。
解：设第只电器元件的寿命为则。令，则。由中心极限定理得
。
2. 生产灯泡的合格率为，记个灯泡中合格灯泡数为，求
(1) 与；
(2) 合格灯泡数在之间的概率。
解：(1) ；
(2) 由中心极限定理得

。
3. 有一批建筑房屋用的木柱，其中的长度不小于，现从这批木柱中随机地取根，问至少有根短于的概率是多少？
解：设这根木柱中短于的个数为，则
；
由中心极限定理得。
4. 某单位设置一电话总机，共有架电话分机。设每个电话分机是否使用外线通话相互独立，设每时刻每个分机有的概率要使用外线通话。问总机至少需要多少外线才能以不低于的概率保证每个分机要使用外线时可供使用?
解：设至少需要条外线。使用外线的分机数，
。
由中心极限定理得：

。
五． 抽样分布
1. 从一批零件中抽取个样本，测得其直径为，求。
解：。
2. 设是来自正态总体的简单随机样本，已知服从分布，求。
解：。
3. 总体，
(1) 对容量的样本，求样本均值大于的概率；
(2) 为使大于的概率不小于，样本容量至少应为多少？
解：(1) ；
(2)
。
4. 设取自正态总体，求。
解：由于，故。
5. 设来自总体，为样本方差，求。
解：
。
六． 参数估计
1. 设随机变量，其中已知。为样本均值, 求的矩估计量。
解：。
2. 设总体的概率密度函数为：，其中是未知参数，求的矩估计量。
解：。
3. 设总体的分布律为

现有样本：，求的矩估计值与最大似然估计值。
解：(1) ，将代入得；
(2) 似然函数

对数似然函数，令，得。
4. 设总体的概率密度函数为
。
现测得的个数据：，求的矩估计值和最大似然估计值。
解：(1) ，令，得
；
(2) 似然函数，对数似然函数，令，得。
5. 设轴承内环的锻压零件的平均高度服从正态分布。现在从中抽取只内环，其平均高度毫米，求内环平均高度的置信度为的置信区间。
解：已知，置信区间为。将代入，得所求置信区间为。
6. 为了估计一批钢索所能承受的平均张应力(单位：千克力/平方米)，从中随机地选取了个样品作实验,由实验所得数据算得：，设钢索所能承受的张应力服从正态分布 ,试在置信水平95%下求这批钢索所能承受的平均张应力的置信区间。
解：未知，置信区间为。
将代入，得所求置信区间为。
7. 冷铜丝的折断力服从正态分布，从一批铜丝中任取根，测试折断力，得数据为
578，572，570，568，572，570，570，596，584，572
求：(1) 样本均值和样本方差；(2) 方差的置信区间（）。
解：(1) ；
(2) 未知，置信区间为。
七． 假设检验
1. 某糖厂用自动打包机装糖，已知每袋糖的重量(单位：千克)服从正态总体分布，今随机地抽查了9袋，称出它们的重量如下：
50，48，49，52，51，47，49，50，50
问在显著性水平下能否认为袋装糖的平均重量为50千克？
解：由题意需检验。已知，拒绝域为，将代入，得。未落入拒绝域中，故接受，即可以认为袋装糖的平均重量为千克。
2. 某批矿砂的5个样本的含金量为：

设测定值总体服从正态分布，问在显著性水平0.1下能否认为这批矿砂的金含量的均值为？
解：由题意需检验。未知，拒绝域为，将代入得。未落入拒绝域中，故接受，即可以认为这批矿砂的含金量的均值为。
3. 某种螺丝的直径，先从一批螺丝中抽取个测量其直径，其样本均值，方差。问能否认为这批螺丝直径的方差仍为（）？
解：由题意需检验。未知，拒绝域为或。将代入得。未落入拒绝域中，故接受，即可以认为这批螺丝直径的方差仍为。
4. 某厂生产的电池的寿命长期以来服从方差的正态分布。现从一批产品中随机抽取个电池，测得其寿命的样本方差，问能否推断这批电池寿命的波动性较以前有显著的增大（）？
解：由题意需检验。未知，拒绝域为
。将代入得，落入拒绝域中，故拒绝，即能推断这批电池寿命的波动性较以前有显著增大。
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