双曲线知识点及题型总结(学生版).doc

双曲线知识点及题型总结
1 双曲线定义：
①到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（（为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．
要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.
当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；
当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；
当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；
当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.
②动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线
2.双曲线的标准方程：和（a＞0，b＞0）.这里，其中||=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.
3.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
5.曲线的简单几何性质
－=1（a＞0，b＞0）
⑴范围：|x|≥a，y∈R
⑵对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称
⑶顶点：轴端点A1（－a，0），A2（a，0）
⑷渐近线：
①若双曲线方程为渐近线方程
②若渐近线方程为双曲线可设为
③若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）

④特别地当离心率两渐近线互相垂直，分别为y=，此时双曲线为等轴双曲线，可设为；y=x，y=－x (什么是共轭双曲线?)

⑸准线：l1：x=－，l2：x=，两准线之距为

⑹焦半径：，（点P在双曲线的右支上）；
，（点P在双曲线的右支上）；
当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质（略）
⑺与双曲线共渐近线的双曲线系方程是
⑻与双曲线共焦点的双曲线系方程是
6曲线的内外部
(1)点在双曲线的内部.
(2)点在双曲线的外部.
7曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为渐近线方程：.
(2)若渐近线方程为双曲线可设为.
(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.
8双曲线的切线方程
(1)双曲线上一点处的切线方程是.
（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.
（3）双曲线与直线相切的条件是.
9线与椭圆相交的弦长公式
若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2,y2)，则弦长
,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；
高考题型解析
题型一：双曲线定义问题
1.“ab<0”是“曲线ax2+by2=1为双曲线”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
2.若，则“”是“方程表示双曲线”的( )
A.充分不必要条件. B.必要不充分条件. C.充要条件. D.既不充分也不必要条件.
3.给出问题：F1、F2是双曲线－=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上. _________.
4.过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是 .
题型二：双曲线的渐近线问题
1.双曲线－=1的渐近线方程是( )
A. y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x
2.过点（2，－2）且与双曲线－y2=1有公共渐近线的双曲线方程是( )
A.－=1 B.－=1 C.－=1 D.－=1
题型三：双曲线的离心率问题
1已知双曲线 (a＞0,b＞0)的左右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且∣PF1∣=4∣PF2∣,则此双曲线的离心率e的最大值为 （ ）
A． B． C．２ D．
2.已知是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点,若是正三角形,那么双曲线的离心率为 ( )
A. B. C. 2 D. 3
3.过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 ( )
A. B. C. D.
4.在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为( )
A. B. 2 C . D. 2
5..已知双曲线(a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞) D.(2,+∞)
题型四：双曲线的距离问题
1.设P是双曲线－=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y=0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3，则|PF2|等于( )
A.1或5 B.6 C.7 D.9
2.已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是
A.(,) B. (-,) C.[ ,] D. [-,]
3.已知圆C过双曲线－=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________.
题型五：轨迹问题
1.已知椭圆x2+2y2 =8的两焦点分别为F1、F2，A为椭圆上任一点。AP是⊿AF1F2的外角平分线，且 =0.则点P的轨迹方程是 .
2.双曲线x2－y2 =4的两焦点分别为F1、F2，A为双曲线上任一点。AP是∠F1AF2的平分线，且 =0.则点P的轨迹是　　　　　（　　）
A.椭圆的一部分　 B.双曲线的一部分 C.圆的一部分　 D.抛物线的一部分
3求与圆及都外切的动圆圆心的轨迹方程

高考例题
1.已知是双曲线的左、右焦点,P、Q为右支上的两点,直线PQ过,且倾斜角为,则的值为 ( )
A B 8 C D 随的大小变化

2.过双曲线的右焦点作直线交曲线于A、B两点,若则这样的直线存在 ( )
A 0条 B 1条 C 2条 D 3条

3. 直线与曲线的交点个数是 ( )
A 0个 B 1个 C 2个 D 3个

4. P为双曲线上一点,为一个焦点,以为直径的圆与圆的位置关系为 ( )
A 内切 B 外切 C 内切或外切 D 无公共点或相交

5. 设是双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足,则的面积为 ( )
A 1 B C 2 D

6. 设是双曲线的左、右焦点,P在双曲线上,当的面积为1时,的值为( )
A 0 B 1 C D 2

7.过点A（0，2）可以作___条直线与双曲线x2－＝1有且只有一个公共点
过点P(4,4)且与双曲线－＝1只有一个交点的直线有 (　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
8.已知A（3，2），M是双曲线H：上的动点，F2是H的右焦点，求的最小值及此时M的坐标。

9. 已知双曲线C：，一条长为8的弦AB两端在C上运动，AB中点为M，则距轴最近的M点的坐标为 。

10.P为双曲线x2－＝1右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________．

11.直线：与双曲线C：的右支交于不同的两点A、B。
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出的值。若不存在，说明理由。

12.已知两定点满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线ｙ＝kx－1与曲线E交于A、B两点。
（Ⅰ）求ｋ的取值范围；
（Ⅱ）如果且曲线E上存在点C，使求。

练习题
1.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(，0)，直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（ ）
A．=1 B． =1 C．=1 D．=1
2.双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
3、已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为（O为原点），则两条渐近线的夹角为（ ）
　　A．30º　　 B．45º　　 C．60º　　 D．90º
4、已知双曲线的两个焦点为，，P是此双曲线上的一点，且，，则该双曲线的方程是
A． B． C． D．
5、已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
6. 直线y＝x＋3与曲线=1的交点的个数是（ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
7.若双曲线x2－y2=1右支上一点P(a, b)到直线y=x的距离是，则a＋b的值为（ ）。
（A）－ （B） （C）－或 （D）2或－2
8.已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(1,2) C．(1,1＋) D．(2,1＋)
9.设P为双曲线－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是 ．
10.求与圆A：（x+5）2+y2=49和圆B：（x－5）2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为________________
11.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点）. 求k的取值范围.

12.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．
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