2023年双曲线二级结论大全.doc

双曲线1. 2.原则方程 3.4点P处切线PT平分PF1F2在点P处内角.5PT平分PF1F2在点P处内角，则焦点在直线PT上射影H点轨迹是以实轴为直径圆，除去实轴两个端点.6以焦点弦PQ为直径圆必与对应准线相交.7以焦点半径PF1为直径圆必与以实轴为直径圆外切.8设P为双曲线上一点，则PF1F2内切圆必切于与P在同侧顶点.9双曲线（a0,b0）两个顶点为,，与y轴平行直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点轨迹方程是.10若在双曲线（a0,b0）上，则过双曲线切线方程是.11若在双曲线（a0,b0）外 ，则过Po作双曲线两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2直线方程是.12AB是双曲线（a0,b0）不平行于对称轴且过原点弦，M为AB中点，则.13若在双曲线（a0,b0）内，则被Po所平分中点弦方程是.14若在双曲线（a0,b0）内，则过Po弦中点轨迹方程是.15若PQ是双曲线（ba 0）上对中心张直角弦，则.16若双曲线（ba 0）上中心张直角弦L所在直线方程为,则(1) ;(2) .17给定双曲线：（ab0），：,则(i)对上任意给定点,它任一直角弦必要通过上一定点M.(ii)对上任一点在上存在唯一点,使得任一直角弦都通过点.18设为双曲线（a0,b0）上一点，P1P2为曲线C动弦,且弦PP1，PP2斜率存在，记为k1，k 2，则直线P1P2通过定点充要条件是.19过双曲线（a0,bo）上任一点任意作两条倾斜角互补直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.20双曲线（a0,bo）左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线焦点角形面积为， .21若P为双曲线（a0,b0）右（或左）支上除顶点外任一点,F1，F 2是焦点，则（或）.22双曲线（a0,bo）焦半径公式： ，当在右支上时，,.当在左支上时，,.23若双曲线（a0,b0）左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1e时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d1与PF2比例中项.24P为双曲线（a0,b0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线左支内一定点，则,当且仅当三点共线且在左支时，等号成立.25双曲线（a0,b0）上存在两点有关直线：对称充要条件是.26过双曲线焦半径端点作双曲线切线，与以长轴为直径圆相交，则对应交点与对应焦点连线必与切线垂直.27过双曲线焦半径端点作双曲线切线交对应准线于一点，则该点与焦点连线必与焦半径互相垂直.28P是双曲线（a0，b0）上一点，则点P对双曲线两焦点张直角充要条件是.29设A,B为双曲线（a0,b0，）上两点，其直线AB与双曲线相交于,则.30在双曲线中，定长为2m（）弦中点轨迹方程为31设S为双曲线（a0,b0）通径，定长线段L两端点A,B在双曲线右支上移动，记|AB|=，是AB中点，则当时，有,);当时，有.32双曲线（a0,b0）与直线有公共点充要条件是.33双曲线（a0,b0）与直线有公共点充要条件是.34设双曲线（a0,b0）两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在PF1F2中，记，,，则有.35通过双曲线（a0,b0）实轴两端点A1和A2切线，与双曲线上任一点切线相交于P1和P2，则.36已知双曲线（ba0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2最小值为;（3）最小值是.37MN是通过双曲线（a0,b0）过焦点任一弦(交于两支)，若AB是通过双曲线中心O且平行于MN弦，则.38MN是通过双曲线（ab0）焦点任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O半弦，则.39设双曲线（a0,b0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外任一点，过M引一条直线与双曲线相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q(A1 ,A2为两顶点)交点N在直线：上.40设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一种顶点，连结AP 和AQ分别交对应于焦点F双曲线准线于M、N两点，则MFNF.41过双曲线一种焦点F直线与双曲线交于两点P、Q，A1、A2为双曲线实轴上顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF.42设双曲线方程,则斜率为k(k0)平行弦中点必在直线：共轭直线上,并且.43设A、B、C、D为双曲线（a0,bo）上四点,AB、CD所在直线倾斜角分别为，直线AB与CD相交于P,且P不在双曲线上,则.44已知双曲线（a0,b0）,点P为其上一点F1，F 2为双曲线焦点，内（外）角平分线为，作F1、F2分别垂直于R、S，当P跑遍整个双曲线时，R、S形成轨迹方程是().45设ABC三顶点分别在双曲线上，且AB为直径，为AB共轭直径所在直线，分别交直线AC、BC于E和F，又D为上一点，则CD与双曲线相切充要条件是D为EF中点.46过双曲线（a0,b0）右焦点F作直线交该双曲线右支于M,N两点，弦MN垂直平分线交x轴于P，则.47设A（x1 ,y1）是双曲线（a0,b0）上任一点，过A作一条斜率为直线L，又设d是原点到直线 L距离，分别是A到双曲线两焦点距离，则.48已知双曲线（a0,b0）和（ ），一条直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则AB=|CD.49已知双曲线（a0,b0）,A、B是双曲线上两点，线段AB垂直平分线与x轴相交于点，则或.50设P点是双曲线（a0,b0）上异于实轴端点任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .51设过双曲线实轴上一点B（m,o）作直线与双曲线相交于P、Q两点，A为双曲线实轴左顶点，连结AP和AQ分别交对应于过B点直线MN：于M，N两点,则.52L是通过双曲线（a0,b0）焦点F且与实轴垂直直线，A、B是双曲线两个顶点，e是离心率,点，若，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.53L是通过双曲线（a0,b0）实轴顶点A且与x轴垂直直线，E、F是双曲线准线与x轴交点,点，e是离心率，H是L与X轴交点c是半焦距，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.54L是双曲线（a0,b0）焦点F1且与x轴垂直直线，E、F是双曲线准线与x轴交点，H是L与x轴交点，点，,离心率为e，半焦距为c，则为锐角且或（当且仅当时取等号）.55已知双曲线（a0,b0），直线L通过其右焦点F2,且与双曲线右支交于A、B两点，将A、B与双曲线左焦点F1连结起来，则（当且仅当ABx轴时取等号）.56设A、B是双曲线（a0,b0）长轴两端点，P是双曲线上一点，,，c、e分别是双曲线半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .57设A、B是双曲线（a0,b0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点区域）、外部两点，且、横坐标，（1）若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则；（2）若过B引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则.58设A、B是双曲线（a0,b0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点区域），外部两点，（1）若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，（若B P交双曲线这一支于两点，则P、Q不有关x轴对称），且，则点A、B横坐标、满足；（2）若过B点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，且,则点A、B横坐标满足.59设是双曲线实轴两个端点，是与垂直弦，则直线与交点P轨迹是双曲线.60过双曲线（a0,b0）右焦点作互相垂直两条弦AB、CD,则；61到双曲线（a0,b0）两焦点距离之比等于（c为半焦距）动点M轨迹是姊妹圆.62到双曲线（a0,b0）实轴两端点距离之比等于（c为半焦距）动点M轨迹是姊妹圆.63到双曲线（a0,b0）两准线和x轴交点距离之比为（c为半焦距）动点轨迹是姊妹圆（e为离心率）.64已知P是双曲线（a0,b0）上一种动点，是它实轴两个端点,且,，则Q点轨迹方程是.65双曲线一条直径(过中心弦)长，为通过一种焦点且与此直径平行弦长和实轴之长比例中项.66设双曲线（a0,b0）实轴端点为,是双曲线上点过P作斜率为直线，过度别作垂直于实轴直线交于,则（1）.（2）四边形面积趋近于.67已知双曲线（a0,b0）右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC通过线段EF 中点.68OA、OB是双曲线（a0,b0,且）两条互相垂直弦，O为坐标原点，则（1）直线AB必通过一种定点.(2) 以O A、O B为直径两圆另一种交点Q轨迹方程是（除原点）。69是双曲线（a0,b0）上一种定点，P A、P B是互相垂直弦，则（1）直线AB必通过一种定点.（2）以P A、P B为直径两圆另一种交点Q轨迹方程是(除P点).70假如一种双曲线虚半轴长为b，焦点F1、F2到直线距离分别为d1、d2，那么（1），且F1、F 2在异侧直线L和双曲线相切,或是双曲线渐近线.（2），且F1、F2在L异侧直线和双曲线相离，（3），或F1、F2在L同侧直线L和双曲线相交.71AB是双曲线（a0,b0）实轴，是双曲线上动点，过切线与过A、B切线交于、两点，则梯形ABDC对角线交点M轨迹方程是.72设点为双曲线（a0,b0）内部(（含焦点区域）)一定点，AB是双曲线过定点任一弦.(1)如,则当弦AB垂直于双曲线实轴所在直线时.(2)如,则当弦AB平行（或重叠）于双曲线实轴所在直线时，.73双曲线焦三角形中,以焦半径为直径圆必与以双曲线实轴为直径圆相外切.74双曲线焦三角形内切圆必切长轴于非焦顶点同侧实轴端点.75双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆切线长为定值a+c与c-a.76双曲线焦三角形非焦顶点到其旁切圆切线长为定值c-a.77双曲线焦三角形中,外点到一焦点距离与以该焦点为端点焦半径之比为常数e(离心率). 注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.78双曲线焦三角形中,其焦点所对旁心将外点与非焦顶点连线段提成定比e.79双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心比例中项.80双曲线焦三角形中,双曲线中心到内点距离、内点到同侧焦点距离、半焦距及外点到同侧焦点距离成比例.81双曲线焦三角形中,半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足距离为双曲线实半轴长.84双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径圆和双曲线实轴为直径圆切点.85双曲线焦三角形中,非焦顶点内角平分线与焦半径、实轴所在直线夹角余弦比为定值e.86双曲线焦三角形中,非焦顶点法线即为该顶角外角平分线.87双曲线焦三角形中,非焦顶点切线即为该顶角内角平分线.88双曲线焦三角形中,过非焦顶点切线与双曲线实轴两端点处切线相交,则以两交点为直径圆必过两焦点.89.已知双曲线上有一点，过度别引其渐近线平行线，分别交轴于，交轴于， 为原点，则： （1）； （2）.90. 过平面上点作直线及平行线，分别交轴于，交轴于.（1）若，则轨迹方程是.(2)若，则轨迹方程是.91. 点为双曲线在第一象限弧上任意一点，过引轴、轴平行线，交轴、轴于，交直线于，记 与面积为，则：.92. 点为第一象限内一点，过引轴、轴平行线，交轴、轴于，交直线于，记 与面积为，已知，则轨迹方程是或双曲线性质92条证明1.双曲线第一定义。 2.由定义即可得双曲线原则方程。 3.双曲线第二定义。4.设在第一象限，切线PT（即）斜率为k，所在直线斜率为，所在直线斜率为，与PT夹角为，与PT夹角为。由两直线夹角公式得： 同理可证其他状况。故切线PT平分点P处内角。5.不妨设P在第一象限。作F2有关切线PT对称点M，由4可知M在PF1上，则，垂足H为F2M中点，则OH=，同理可证其他状况。射影H轨迹是以实轴为直径圆除去两端点。6. 设P，Q两点到与焦点对应准线距离分别为，以PQ中点到准线距离为，以PQ为直径圆半径为r，则，故以PQ为直径圆与对应准线相交。7. 如图，两圆圆心距为，故两圆外切。7图 8图8. 如图，由切线长定理：，而，与重叠，故内切圆与x轴切于右顶点，同理可证P在其她位置状况。9. 设，则则 P点轨迹方程为10. 在双曲线上，对求导得：切线方程为即11.设，由10得：，由于点在直线上，且同步满足方程，因此12.作差得：13.由12可得：14. .由12可得：15. 设，则16. 将直线AB代入双曲线方程中得：，设则， 17.设双曲线内直角弦AB方程为：即。当斜率k存在时，代入双曲线C1方程中得：设得，则即直线AB过定点，此点在C2上。当直线斜率不存在时，直线AB也过C2上定点。由上可知C1和C2上点由此建立起一种一一对应关系，即证。18.必要性：设P1P2：。k存在时，代入双曲线方程中得：设得，k不存在时，P1P2：x=mx0则，必要性得证。充足性：设P1P2过定点，则P1P2：。代入双曲线方程得：设得，则验证k不存在状况，也得到此结论。故过定点，充足性得证。19. 设AB：即20. 由余弦定理：21.由正弦定理得 P在右支时，同理当P在左支时，22. 由第二定义得：M在右支时，M在左支时，。23. 易知P在左支上，24.易知当P在左支时有最小值，此时：。当且仅当三点共线且在左支时，等号成立.。25.易知当k=0时，只有x轴符合规定，但此时不存在。故。当时，设A，B两点有关直线y=kx+m对称，直线AB方程为，易知即。联立AB与双曲线方程得： 得即 AB中点在y=kx+m上，得 代入得，解得 当m=0时由得p=0，。当m0时解得或，代入得或；当mk），则当时，APB最大，其正弦值为。52.k=a,m=c sin,当且仅当PF=b时取等号。 53. k=,m= a sin,当且仅当PA=时取等号。54. k=,m= c sin,当且仅当PF1=时取等号。55. 设AF2x=，则当且仅当=90时等号成立。56. （1）设，代入双曲线方程得： AP=0AP=（2）设则（3）由（2）：57. 由58可证。58.（1）易知PQ斜率为0和斜率不存在时，对任意x轴上点A都成立。设，A（m，0）代入双曲线方程得：，则若，则（2）作P有关x轴对称点，由（1）即证。59.同9。60.设，代入双曲线方程得：，同理对倾斜角。当a=b时，此时或。当时，设，则有关在上增至正无穷，在上单调减，在和之间先减后增，此时两者异号。当和时，当为0或1时，有最小值。当介于和之间时：等号成立时即。而故当时，最小值为。61,62,63为同一类问题，现给出公式：若点P到两定点A，B距离之比，则P点轨迹为一种圆，圆心坐标为，圆半径为。下三个题比值均为，代入上述公式得：圆心坐标为，圆半径为。61.m=c，圆心坐标为，圆半径为。轨迹方程是姊妹圆。62.m=a，圆心坐标为，圆半径为。轨迹方程是姊妹圆。63.m=，圆心坐标为，圆半径为。轨迹方程是姊妹圆。64. 设，由得消去参数得Q点轨迹方程：65.同37。66.（1）同35。（2）由基本不等式（渐近线时取等号），则梯形面积趋近于一种最小值。67.设AC交x轴于M，AD于D。由双曲线第二定义：AC过EF中点。68.（1）由17可知当双曲线方程为时，AB过定点。当双曲线方程变为时，双曲线向右平移了个单位，定点也应向右平移了个单位，故此时AB过定点即（2）由69（2）P为原点，即m=n=0时Q轨迹方程是（除原点）。69.（1）由17可知当双曲线方程为时，AB过定点。当双曲线方程变为时，双曲线向右平移了个单位，定点也应向右平移了个单位，故此时AB过定点即。（2）先证双曲线中心在原点状况。双曲线方程为：，AB斜率为。由17（1）：AB过定点，设AB：，PQ：两者联立得，则当双曲线方程变为时，双曲线向右平移了个单位，圆心也应向右平移了个单位，而半径不变。故此时圆心坐标为即，半径平方仍为。Q点轨迹方程为（除P点）。70. 设L:Ax+By+C=0,则 将L代入双曲线方程得：，且F1、F 2在异侧直线L和双曲线相切,或是双曲线渐近线；，且F1、F2在L异侧直线和双曲线相离；，或F1、F2在L同侧直线L和双曲线相交.71. 由35：联立解得，消去参数得M点轨迹方程为：72. 由43：。P在含焦点一侧 当时，当，即AB与实轴垂直时，；当ab时，当，即AB与实轴平行或重叠时，。无论a与b关系怎样，均无最大值。73.同7。 74.同8。 75.由8可知，切线长分别为，同理可证P在其她位置状况。76.如图，由切线长定理2F1S=PF1+PF2+F1F2，PS=F1S-PF1，因此PS=PQ=c-a.76图 77图77. 设P，由79中得到外点坐标和22中焦半径公式：78.由77和内角平分线定理：。79. 设P，则内角平分线（即切线），由此得内点；同理外角平分线（即法线），由此得外点80. 由79中得到内外点坐标可得：，即证。81.由79中得到内外点坐标可得：，即证。82.同5。 83.同5。 84.由5,7即证。85. 设P，则内角平分线（即切线），由50得：，则86. 由4即证。 87.同4。88. 由71：， 同理：，即两焦点在以两交点为直径圆上。89. 设P，则同理 同理90. 设P，则 同理： 均推出P点轨迹方程为。91. 设，则 92. 设P，则 由此得P点轨迹方程为，即：或。