弧弦与圆心角关系定理.pptx

知识回顾知识回顾1、圆是轴对称图形、圆是轴对称图形2、圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都、圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合。（圆的旋转不变性）能与自身重合。（圆的旋转不变性）圆的对称性：圆的对称性：垂径定理及其推论垂径定理及其推论?圆心角圆心角：我们把：我们把顶点在圆心顶点在圆心顶点在圆心顶点在圆心的角叫做的角叫做圆心角圆心角.OBA概念概念练一练：练一练：练一练：练一练：找出右上图找出右上图中的圆心角。中的圆心角。圆心角有：圆心角有：AOD,BOD,AOB判别下列各图中的角是不是圆心角，并说判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。明理由。任意给圆心角，对应出现三个量：任意给圆心角，对应出现三个量：圆心角圆心角弧弧弦弦OBA疑问：疑问：这三个量之间会有什么关系呢？这三个量之间会有什么关系呢？显然显然AOBAOBOAB探究一探究一AB 如图，在如图，在 O中，将圆心角中，将圆心角AOB绕圆心绕圆心O旋旋转到转到AOB的位置，你能发现哪些等量关系？的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？为什么？可得到：可得到：OAB探究一探究一 思考：如图，在等圆中，如果思考：如图，在等圆中，如果AOBAO B，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？你发现的等量关系是否依然成立？为什么？O AB由由AOBAO B可得可得到：到：弧、弦与圆心角的关系定理弧、弦与圆心角的关系定理在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等所对的弦也相等小结小结圆心角圆心角相等相等弧弧相等相等弦弦相等相等思考思考定理定理“在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件中，可否把条件“在同圆或等圆中在同圆或等圆中”去掉？为什么？去掉？为什么？温馨提温馨提示示：由弦相等推出弧相等时，由弦相等推出弧相等时，这里弧一般要求这里弧一般要求都是优弧或劣弧都是优弧或劣弧（1）、）、如果如果 那么那么AOBAOB，成立吗成立吗?探究二探究二在同圆中，在同圆中，（1）成成 立立（2）、）、如果如果 那么那么AOBAOB，成立吗成立吗?探究二探究二在同圆中，在同圆中，（2）成成 立立弧、弦与圆心角的关系定理弧、弦与圆心角的关系定理1、在同圆或等圆中，、在同圆或等圆中，相等的相等的圆心角圆心角所对的所对的弧弧相等，所对的相等，所对的弦弦也相等也相等小结小结圆心角圆心角相等相等弧弧相等相等弦弦相等相等2、在同圆或等圆中、在同圆或等圆中，相等的，相等的弧弧所对的所对的圆心角圆心角_，所对的所对的弦弦_；3、在同圆或等圆中、在同圆或等圆中，相等的相等的弦弦所对的所对的圆心角圆心角_，所对所对的的弧弧_相等相等相等相等相等相等相等相等在同圆或等圆中，两个在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量们所对应的其余各组量也相等也相等等对等定理等对等定理(1)(1)圆心角圆心角(2)(2)弧弧(3)(3)弦弦知知一一得得二二等对等定理整体理解：等对等定理整体理解：OABA1 1B1思考思考 如图，如图，AOB=2 COD，则，则AB=2CD吗？吗？AB=2CD吗？吗？1.判断下列说法是否正确：判断下列说法是否正确：（1）相等的圆心角所对的弧相等。（）相等的圆心角所对的弧相等。（）（2）相等的弧所对的弦相等。（）相等的弧所对的弦相等。（）（3）相等的弦所对的弧相等。（）相等的弦所对的弧相等。（）小试身手小试身手 如图，如图，AB、CD是是 O的两条弦的两条弦（1）如果）如果AB=CD，那么，那么_，_（2）如果）如果 ，那么，那么_，_（3）如果）如果AOB=COD，那么，那么_，_（4）如果）如果AB=CD，OE AB于于E，OF CD于于F，OE与与OF相等吗相等吗？为什么？为什么？CABDEFOAB=CDAB=CD2、练习、练习 答答：OEOF证明：证明：OEAB OF CD ABCD AECF OAOC RTAOE RT COF OEOF在圆心角、弧、弦、弦心距在圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中，有一组量相等，这四组量中，有一组量相等，其余各组也相等。其余各组也相等。证明：证明：AB=ACABC是等腰三角形是等腰三角形又又ACB=60，ABC是等边三角形是等边三角形,AB=BC=CA.AOBBOCAOC.ABCO例题例题例例1 如图，在如图，在 O中，中，AB=AC,ACB=60,求证：求证：AOB=BOC=AOC60 1、如图，、如图，AB是是 O 的直径，的直径，COD=35，求，求AOE 的度数的度数AOBCDE解：解：练习练习练习练习2、如图，如图，AD=BC,比较比较AB和和CDAB与与CD的长度，并证明你的结论。的长度，并证明你的结论。3、如图，、如图，BC为为 O的直径，的直径，OA是是 O的半径，弦的半径，弦BEOA,求证：求证：AC=AE 练习练习3 3、已知、已知:如图如图,A,B,C,D,A,B,C,D是是O O上的点，上的点，1=21=2。求证：。求证：AC=BDAC=BD4.如图，已知如图，已知OA、OB是是 O的半径，点的半径，点C为为AB的中点，的中点，M、N分别为分别为OA、OB的中点，的中点，求证：求证：MC=NC提示：证提示：证 MOC 和和 NOC全等全等3.如图，如图，BC为为 O的直径，的直径，OA是是 O的半径，的半径，弦弦BEOA,求证：求证：AC=AE OABCD如图，如图，AC与与BD为为 O的两条互的两条互 相垂直的直径相垂直的直径.求证：求证：AB=BC=CD=DA;AB=BC=CD=DA.AB=BC=CD=DA 证明证明:AC与与BD为为 O的两条互相垂直的直径的两条互相垂直的直径,AOB=BOC=COD=DOA=90AB=BC=CD=DA(圆心角定理圆心角定理)知识延伸知识延伸 4.已知：如图，已知：如图，AOB=90，D、C将将 AB三等三等分，弦分，弦AB与半径与半径OD、OC交于点交于点F、E求证：求证：AE=DC=BF 4 4、如图、如图7 7所示，所示，CDCD为为O O的弦，在的弦，在CDCD上取上取CE=DFCE=DF，连结，连结OEOE、OFOF，并延长交，并延长交O O于点于点A A、B.B.（1 1）试判断）试判断OEFOEF的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；（2 2）求证：）求证：AC=BDAC=BD EFOABCD例例1 1、如图，等边三角形如图，等边三角形ABCABC内接于内接于O,O,连结连结OA,OB,OCOA,OB,OC AOBAOB、COBCOB、AOCAOC分别为多少度？分别为多少度？延长延长AOAO，分别交，分别交BCBC于点于点P P，BCBC于于点点D,D,连结连结BD,CD.BD,CD.判断三角形判断三角形是哪一种特殊三角形？是哪一种特殊三角形？判断四边形判断四边形BDCOBDCO是哪一种特殊四是哪一种特殊四边形，并说明理由。边形，并说明理由。若若O O的半径为的半径为r,r,求等边求等边三角形三角形ABCABC的边长？的边长？若等边三角形若等边三角形ABCABC的边长的边长a,a,求求O O的半径为多少？的半径为多少？当当a =a =时求圆的半径时求圆的半径?如图，已知点如图，已知点O是是EPF 的平分线上一点，的平分线上一点，P点在圆点在圆外，以外，以O为圆心的圆与为圆心的圆与EPF 的两边分别相交于的两边分别相交于A、B和和C、D。求证：求证：AB=CD.MNPABECDFO做一做做一做.PBEDFOAC.P P点在圆上，点在圆上，PB=PDPB=PD吗？吗？变式练习：变式练习：PBEMNDFOMNP P点在圆内，点在圆内，AB=CDAB=CD吗？吗？3如图，公路如图，公路MN和公路和公路PQ在点在点P处交汇，且处交汇，且QPN=30，点，点A处有一所中学，处有一所中学，AP=160m，假，假设拖拉机行驶时，周围设拖拉机行驶时，周围100m内会受到噪音的影响，内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路那么拖拉机在公路MN上沿上沿PN方向行驶时，学校方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？试说明理由，如果受影响，是否会受到噪音影响？试说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的，那么学校受影响的时间为多少秒？时间为多少秒？(2)(2)(2)(2)四边形四边形四边形四边形ACBDACBDACBDACBD有可能为正方形吗？若有可能有可能为正方形吗？若有可能有可能为正方形吗？若有可能有可能为正方形吗？若有可能,当当当当ABABABAB、CDCDCDCD有有有有何位置关系时，四边形何位置关系时，四边形何位置关系时，四边形何位置关系时，四边形ACBDACBDACBDACBD为正方形？为什么？为正方形？为什么？为正方形？为什么？为正方形？为什么？例例例例2 2 2 2、如图如图如图如图,AB,AB,AB,AB、CDCDCDCD是是是是O O O O的两条直径。的两条直径。的两条直径。的两条直径。(1)(1)(1)(1)顺次连结点顺次连结点顺次连结点顺次连结点A A A A、C C C C、B B B B、D D D D，所得的四边形是什么特殊，所得的四边形是什么特殊，所得的四边形是什么特殊，所得的四边形是什么特殊四边形？为什么？四边形？为什么？四边形？为什么？四边形？为什么？(3)如果要把直径为如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？(4)(4)如果这根原木长如果这根原木长15m15m，问锯出地木材的体积为多，问锯出地木材的体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？少立方米（树皮等损耗略去不计）？想一想想一想：点点A是半圆上的三等分点是半圆上的三等分点,B是弧是弧NA的中点的中点,P是直径是直径MN上一动点上一动点.O的半径为的半径为1,问问P在直线在直线MN上什么位置时上什么位置时,AP+BP的值最小的值最小?并求出并求出AP+BP的最小值的最小值.N NM MB BP PA AO O船能过拱桥吗船能过拱桥吗解解:如图如图,用用 表示桥拱表示桥拱,所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,O,半径为半径为Rm,Rm,经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OD,DOD,D为垂足为垂足,与与 相交于点相交于点C.C.根根据垂径定理据垂径定理,D,D是是ABAB的中点的中点,C,C是是 的中点的中点,CD,CD就是拱高就是拱高.由题设得由题设得在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得解得解得 R3.9（m）.在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥.1 1、三个元素：、三个元素：圆心角、弦、弧、圆心角、弦、弧、2 2、三个相等关系：、三个相等关系：OABA1 1B1(1)(1)圆心角相等圆心角相等(2)(2)弧相等弧相等(3)(3)弦相等弦相等知知一一得得二二弦心距、弦心距、知一推三知一推三作业作业1 1、教材、教材87878888页页第第2 2、1111题题2.2.课时练课时练