数列通项数列前n项和的求法例题练习.docx

一、 新课讲授：
求数列前N项和的方法
1. 公式法
（1）等差数列前n项和：

特别的，当前n项的个数为奇数时，，即前n项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。
（2）等比数列前n项和：
q=1时，
，特别要注意对公比的讨论。
（3）其他公式较常见公式：
1、2、
3、
[例1] 已知，求的前n项和.
[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.
2. 错位相减法
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
[例3]求和：………………………①
[例4] 求数列前n项的和.
练习：
求：Sn=1+5x+9x2+······+(4n-3)xn-1
答案：
当x=1时，Sn=1+5+9+······+（4n-3）=2n2-n
当x≠1时，Sn= 1 1-x [ 4x(1-xn) 1-x +1-（4n-3）xn ]
3. 倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.
[例5] 求的值
4. 分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
[例6] 求数列的前n项和：，…
练习：求数列的前n项和。
5. 裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
(6)
[例9] 求数列的前n项和.
[例10] 在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.
[例11] 求证：
解：设
∵（裂项）
∴（裂项求和）
＝
＝＝＝
∴　原等式成立
练习：求之和。
6. 合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例12]求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若的值.
7. 利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.
[例15] 求之和.
练习：求5，55，555，…，的前n项和。
以上一个7种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。
求数列通项公式的八种方法
一、公式法（定义法）
根据等差数列、等比数列的定义求通项
二、累加、累乘法
1、累加法 适用于：
若，则
两边分别相加得
例1 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得则

所以数列的通项公式为。
例2 已知数列满足，求数列的通项公式。
解法一：由得则
所以
解法二：两边除以，得，
则，故

因此，
则
2、累乘法 适用于：
若，则
两边分别相乘得，
例3 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：因为，所以，则，故
所以数列的通项公式为
三、待定系数法 适用于
分析：通过凑配可转化为;
解题基本步骤：
1、确定
2、设等比数列，公比为
3、列出关系式
4、比较系数求，
5、解得数列的通项公式
6、解得数列的通项公式
例4 已知数列中，，求数列的通项公式。
解法一：

又是首项为2，公比为2的等比数列
，即
解法二：

两式相减得，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的……
例5 已知数列满足，求数列的通项公式。
解法一：设，比较系数得，
则数列是首项为，公比为2的等比数列，
所以，即
解法二： 两边同时除以得：，下面解法略
注意：例6 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设
比较系数得，
所以
由，得
则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。
注意：形如时将作为求解
分析：原递推式可化为的形式，比较系数可求得，数列为等比数列。
例7 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设
比较系数得或，不妨取，
则，则是首项为4，公比为3的等比数列
，所以
四、迭代法
例8 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：因为，所以

又，所以数列的通项公式为。
注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。
五、变性转化法
1、对数变换法 适用于指数关系的递推公式
例9 已知数列满足，，求数列的通项公式。
解：因为，所以。
两边取常用对数得
设 （同类型四）
比较系数得，
由，得，
所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此
则。
2、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项
例10 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：求倒数得为等差数列，首项，公差为，
3、换元法 适用于含根式的递推关系
例11 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令，则
代入得

即
因为，
则，即，
可化为，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得
。
六、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。
例12 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由及，得

由此可猜测，下面用数学归纳法证明这个结论。
（1）当时，，所以等式成立。
（2）假设当时等式成立，即，则当时，

由此可知，当时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。
七、阶差法
1、递推公式中既有，又有
分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。
例13 已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。
解：∵对任意有⑴
∴当n=1时，，解得或
当n≥2时，⑵
⑴-⑵整理得：
∵各项均为正数，∴
当时，，此时成立
当时，，此时不成立，故舍去
所以
2、对无穷递推数列
例14 已知数列满足，求的通项公式。
解：因为①
所以②
用②式－①式得
则
故
所以③
由，，则，又知，则，代入③得。
所以，的通项公式为
八、不动点法
不动点的定义：函数的定义域为，若存在，使成立，则称为的不动点或称为函数的不动点。
分析：由求出不动点，在递推公式两边同时减去，在变形求解。
类型一：形如
例 15 已知数列中，，求数列的通项公式。
解：递推关系是对应得递归函数为，由得，不动点为-1
∴，……
类型二：形如
分析：递归函数为
（1）若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得，其中，∴
（2）若有两个相同的不动点p，则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得，其中。
例16 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令，得，则是函数的两个不动点。因为
。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。