反比例函数面积问题专题.doc

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反比例函数 面积问题专题
【围矩形】
1．如图所示，点P是反比例函数图象上一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，
如果构成的矩形面积是4，那么反比例函数的解析式是（　　）
A. B. C. .D.

2．反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（　　）
A. -1 B. C. 1 D. 2
3．如图，A、B是双曲线上的点，分别过A、B两点作x轴、y轴的垂线段．
S1，S2，S3分别表示图中三个矩形的面积，若S3=1，且S1+S2=4，则k值为 （　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4．如图，在反比例函数y=（x＞0）的图象上，有点P1、P2、P3、P4，
它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，
图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3，则S1+S2+S3=（　　）
A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 无法确定

5．如图，两个反比例函数y=和y=（其中k1＞0＞k2）在第一象限内的图象是C1，
第二、四象限内的图象是C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点M，交C2于点C，
PA⊥y轴于点N，交C2于点A，AB∥PC，CB∥AP相交于点B，则四边形ODBE的面积为（　　）
A. |k1﹣k2| B. C. |k1•k2| D.

【围三角形】
6．如图，A、C是函数y=的图象上的任意两点，过A作x轴的垂线，垂足为B，
过C作y轴的垂线，垂足为D，记Rt△AOB的面积为S1，Rt△COD的面积为S2，则（　　）
A. S1＞S2 B. S1＜S2 C. S1=S2 D. 关系不能确定

7．如图，过y轴上任意一点p，作x轴的平行线，与反比例函数的图象交于A点，
若B为x轴上任意一点，连接AB，PB则△APB的面积为（　　）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8．如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点P在y轴上，
△ABP的面积为1，则k的值为（　　）A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
9．反比例函数y= 与y=在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线
分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（　　）
A. B. 2 C. 3 D. 1
10．如图，过x轴正半轴上的任意一点P，作y轴的平行线，
分别与反比例函数y=﹣和y=的图象交于A、B两点．若点C是y轴上任意一点，
连接AC、BC，则△ABC的面积为（　　） A. 3 B . 4 C . 5 D . 10

11．双曲线y1=与y2=在第一象限内的图象如图．作一条平行于x轴的直线交y1，y2于B、A，
连OA，过B作BC∥OA，交x轴于C，若四边形OABC的面积为3，则k=（　　）
A. 2 B. 4 C .3 D . 5
12．如图，直线l和双曲线交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、0P，设△AOC的面积为S1、△BOD的面积为S2、△POE的面积为S3，则（　　）
A. S1＜S2＜S3 B. S1＞S2＞S3 C. S1=S2＞S3 D. S1=S2＜S3
13．如图是反比例函数和在第一象限内的图象，在上取点M分别作两坐标轴的垂线交于点A、B，连接OA、OB，则图中阴影部分的面积为　　．

【对称点】
14．如图，直线y=kx（k＞0）与双曲线y=交于A，B两点，BC⊥x轴于C，连接AC交y轴于D，下列结论：①A、B关于原点对称；②△ABC的面积为定值；③D是AC的中点；④S△AOD=．
其中正确结论的个数为（　　）个 A. 1 B . 2 C . 3 D . 4

15．如图，直y=mx与双曲线y=交于点A，B．过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM．
若S△ABM=1，则k的值是（　　）A. 1 B. m﹣1 C. 2 D. m
16．正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于A、C两点．AB⊥x轴于B，CD⊥y轴于D，
如图，则四边形ABCD的面积为（　　）
A. 1 B. C. 2 D.
17．如图，A，C是函数y=（k≠0）的图象上关于原点对称的任意两点，AB，CD垂直于x轴，
垂足分别为B，D，那么四边形ABCD的面积S是（　　）
A. B. 2k C. 4k D. k

18．如图，反比例函数y=﹣的图象与直线y=﹣x的交点为A，B，
过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为（　　）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2

【三角形叠梯形】
19．如图，点A和B是反比例函数y=（x＞0）图象上任意两点，过A，B分别作y轴的垂线，
垂足为C和D，连接AB，AO，BO，△ABO的面积为8，则梯形CABD的面积为（　　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 10

20．如图，△ABO的顶点A和AB边的中点C都在双曲线y=（x＞0）的一个分支上，
点B在x轴上，CD⊥OB于D，若△AOC的面积为3，则k=（　　）A. 2 B. 3 C. 4 D.
21．如图，A、B是双曲线 上任意两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D，连接AB，直线OB、OA分别交双曲线于点E、F，设梯形ABCD的面积和△EOF的面积分别为S1、S2，则S1与S2的大小关系是（　　）A. S1=S2 B. S1＞S2 C. S1＜S2 D. 不能确定
【截矩形】
22．如图，过点P（2，3）分别作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，PC、PD分别交反比例函数y=（x＞0）的图象于点A、B，则四边形BOAP的面积为（　　）A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 5

23．如图，双曲线y=（k＞0）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D．
若梯形ODBC的面积为3，则k=　　．
24．函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P是y=的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y=的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；
③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA=AP．其中所有正确结论的序号是（　　）
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
25．两个反比例函数和（k1＞k2＞0）在第一象限内的图象如图，P在C1上，作PC、PD垂直于坐标轴，垂线与C2交点为A、B，则下列结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积等于k1﹣k2③PA与PB始终相等；
④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中正确的是（　　）
. ①② B. ①②④ C. ①④ D. ①③④

【截直角三角形】
26．如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，
且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣8，6），则△AOC的面积为（　　）
A. 20 B. 18 C. 16 D. 12

27．如图，双曲线经过Rt△OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．
则△AOC的面积为（　　）A. 9 B. 6 C. 4.5 D. 3
28．如图，已知矩形ABCO的一边OC在x轴上，一边OA在y轴上，双曲线交OB的中点于D，交BC边于E，若△OBC的面积等于4，则CE：BE的值为（　　）
A. 1：2 B . 1：3 C. 1：4 D. 无法确定
29．如图，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，
过点C的双曲线 交OB于D，且OD：DB=1：2，若△OBC的面积等于3，则k的值（　　）
A. 2 B. C. D. 无法确定

30．如图，反比例函数的图象经过矩形OABC对角线的交点M，
分别与AB、BC相交于点D、E．若四边形ODBE的面积为6，则k的值为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

反比例函数
【围矩形】
1．解：由题意得：矩形面积等于|k|，∴|k|=4
又∵反比例函数图象在二、四象限．∴k＜0∴k=﹣4∴反比例函数的解析式是y=﹣．故选C．
2．解：∵反比例函数在第一象限，∴k＞0，∵当图象上的点的横坐标为1时，纵坐标小于1，
∴k＜1，故选B．
3．解：∵S1+S2=4，∴S1=S2═2，∵S3=1，∴S1+S3=1+2=3，∴k=3故选C．
4．解：由题意可知点P1、P2、P3、P4坐标分别为：（1，2），（2，1），（3，），（4，）．
∴由反比例函数的几何意义可知：S1+S2+S3=2﹣1×==1.5．故选B．
5． 解：∵AB∥PC，CB∥AP，∠APC=90°，∴四边形APCB是矩形．
设P（x，），则A（，），C（x，），
∴S矩形APCB=AP•PC=（x﹣）（﹣）=，
∴四边形ODBE的面积=S矩形APCB﹣S矩形PNOM﹣S矩形MCDP﹣S矩形AEON
=﹣k1﹣|k2|﹣|k2|=．故选D．
【围三角形】
6．解：结合题意可得：A、C都在双曲线y=上，反比例函数系数k的几何意义有S1=S2；故选C．
7． 解：依题意得：△APB的面积S=|k|=×|4|=2．故选B
8． 解：如图，连OA，∵AB⊥x轴，∴AB∥OP，∴S△OAB=S△PAB=1，∴|k|=2×1=2，
∵反比例函数图象过第二象限，∴k=﹣2．故选D．

9．解：分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，
∵由反比例函数系数k的几何意义可知，S四边形OEAC=6，S△AOE=3，S△BOC=，
∴S△AOB=S四边形OEAC﹣S△AOE﹣S△BOC=6﹣3﹣=． 故选A．

10．解：设P（a，0），a＞0，则A和B的横坐标都为a，
将x=a代入反比例函数y=﹣中得：y=﹣，故A（a，﹣）；
将x=a代入反比例函数y=中得：y=，故B（a，），
∴AB=AP+BP=+=，则S△ABC=AB•xP的横坐标=××a=5．故选C
11．解：由题意得：S四边形OABC=|k1|﹣|k2|=|6|﹣|k|=3；又由于反比例函数位于第一象限，k＞0；k=3．故选C．
12．解：结合题意可得：AB都在双曲线y=上，则有S1=S2；而AB之间，直线在双曲线上方；
故S1=S2＜S3故选D．
13． 解：∵在上取点M分别作两坐标轴的垂线交于点A、B，∴S△AOC=×5=2.5，
S△BOD=×5=2.5 S矩形MDOC=3∴S阴影=S△AOC+S△BOD﹣S矩形MDOC=5﹣3=2故答案为2．
【对称点】
14．解：①反比例函数与正比例函数若有交点，一定是两个，且关于原点对称，所以正确；
②根据A、B关于原点对称，S△ABC为即A点横纵坐标的乘积，为定值1，所以正确；
③因为AO=BO，OD∥BC，所以OD为△ABC的中位线，即D是AC中点，所以正确；
④在△ADO中，因为AD和y轴并不垂直，所以面积不等于k的一半，不等于，错误．故选C．
15．解：由图象上的点A、B、M构成的三角形由△AMO和△BMO的组成，
点A与点B关于原点中心对称，∴点A，B的纵横坐标的绝对值相等，
∴△AMO和△BMO的面积相等，且为，
∴点A的横纵坐标的乘积绝对值为1，又因为点A在第一象限内，
所以可知反比例函数的系数k为1．故选A．
16．解：根据反比例函数的对称性可知：OB=OD，AB=CD，
∴四边形ABCD的面积=S△AOB+S△ODA+S△ODC+S△OBC=1×2=2．故选C．
17． 解：∵A，C是函数y=（k≠0）的图象上关于原点对称的任意两点，
∴若假设A点坐标为（x，y），则C点坐标为（﹣x，﹣y）．∴BD=2x，AB=CD=y，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD=BD•AB+BD•CD=2xy=2k．故四边形ABCD的面积S是2k．故选B．
18．解：由于点A、B在反比例函数图象上关于原点对称，则△ABC的面积=2|k|=2×4=8．故选A．

【三角形叠梯形】
19．解：过点B向x轴作垂线，垂足是G．由题意得：矩形BDOG的面积是|k|=3，∴S△ACO=S△BOG=．所以△AOB的面积=S矩形BDOG+S梯形ABDC﹣S△ACO﹣S△BOG=8，
则梯形CABD的面积=8﹣3+3=8．故选C
20．解：过点A作AM⊥OB于M，设点A坐标为（x，y），
∵顶点A在双曲线y=（x＞0）图象上，∴xy=k，∴S△AMO=OM•AM=xy=k，
设B的坐标为（a，0），∵中点C在双曲线y=（x＞0）图象上，CD⊥OB于D，
∴点C坐标为（ ，），∴S△CDO=OD•CD=••=k，∴ay=3k，
∵S△AOB=S△AOM+S△AMB =k+•（a﹣x）y =k+ay﹣xy=k+×3k﹣k =k，
又∵C为AB中点，∴△AOC的面积为 ×k=3，∴k=4，故选C．

21． 解：∵直线OB、OA分别交双曲线于点E、F，∴S2=S△AOB，
∵S1=S△AOC+S△AOB﹣S△BOD，而S△AOC=S△BOD=k，∴S1=S△AOB，∴S1=S2．故选A．
【截矩形】
22．解：∵B、A两点在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴S△DBO=S△AOC=×2=1，
∵P（2，3），∴四边形DPCO的面积为2×3=6，∴四边形BOAP的面积为6﹣1﹣1=4，故选：C．
23．解：连接OE，设此反比例函数的解析式为y=（k≠0），C（c，0），则B（c，b），E（c，），
设D（x，y），∵D和E都在反比例函数图象上，∴xy=k，=k，即S△AOD=S△OEC=×c×，
∵梯形ODBC的面积为3，∴bc﹣×c×=3，∴bc=3，∴bc=4，∴S△AOD=S△OEC=1，
∵k＞0，∴k=1，解得k=2，故答案为：2．

24． 解：∵A、B是反比函数y=上的点，∴S△OBD=S△OAC=，故①正确；
当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误；
∵P是y=的图象上一动点，∴S矩形PDOC=4，
∴S四边形PAOB=S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC=4﹣﹣=3，故③正确；
连接OP，===4，∴AC=PC，PA=PC，∴=3，
∴AC=AP；故④正确；综上所述，正确的结论有①③④．故选C．

25． 解：①∵A、B两点都在y=上，∴△ODB与△OCA的面积都都等于，故①正确；
②S矩形OCPB﹣S△AOC﹣S△DBO=|k2|﹣2×|k1|÷2=k2﹣k1，故②正确；
③只有当P的横纵坐标相等时，PA=PB，错误；
④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点，正确．故选B．
【截直角三角形】
26． 解：∵点A的坐标为（﹣8，6），O点坐标为（0，0），
∴斜边OA的中点D的坐标为（﹣4，3），
把D（﹣4，3）代入y=得k=﹣4×3=﹣12，∴反比例函数的解析式为y=﹣，
∵AB⊥x轴，∴C点和横坐标为点A相同，都为﹣8，
把x=﹣8代入y=﹣得y=，∴C点坐标为（﹣8，），∴AC=6﹣=，
∴△AOC的面积=AC•OB=××8=18．故选B．
27．解：∵OA的中点是D，双曲线y=﹣经过点D，∴k=xy=﹣3，
D点坐标为：（x，y），则A点坐标为：（2x，2y），∴△BOC的面积=|k|=3．
又∵△AOB的面积=×2x×2y=12，∴△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积=12﹣3=9．
故选：A．
28．解：设D点的坐标是（x，y）．∵点D是线段OB的中点，∴B点的坐标是（2x，2y）；
∵△OBC的面积等于4，∴×2x×2y=4，即xy=﹣2，∴k=﹣2；
又∵点E在双曲线上，∴点E的坐标为（2x，）；
∴CE：BE=：（2y﹣）=：（2×﹣）=1：3；故选B．

29．解：方法1：设B点坐标为（a，b），∵OD：DB=1：2，∴D点坐标为（a，b），
根据反比例函数的几何意义，∴a•b=k，∴ab=9k①，
∵BC∥AO，AB⊥AO，C在反比例函数y=的图象上，∴设C点横坐标为m，
则C点坐标为（m，b）将（m，b）代入y=得，m=，BC=a﹣，
又因为△OBC的高为AB，所以S△OBC=（a﹣）•b=3，
所以（a﹣）•b=3，（a﹣）b=6，ab﹣k=6②，
把①代入②得，9k﹣k=6，解得k=．
方法2：延长BC交y轴于E，过D作x轴的垂线，垂足为F．
由△OAB的面积=△OBE的面积，△ODF的面积=△OCE的面积，
可知，△ODF的面积=梯形DFAB=△BOC的面积=，即k=，k=．故选B．

30．解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE=，S△OAD=，
过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S□ONMG=|k|，
又∵M为矩形ABCO对角线的交点，则S矩形ABCO=4S□ONMG=4|k|，
由于函数图象在第一象限，k＞0，则++6=4k，k=2．故选B．

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教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。

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