概率论与数理统计练习题(含答案).doc

第一章 随机事件及其概率
练习：
1. 判断正误
（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。（B）
（2）事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。（B）
（3）事件的对立与互不相容是等价的。（B）
（4）若 则。（B）
（5）。 （B）
（6）A,B,C三个事件至少发生两个可表示为（A）
（7）考察有两个孩子的家庭孩子的性别，，则P 。（B）
（8）若，则。（B）
（9）n个事件若满足，则n个事件相互独立。（B）
（10）只有当时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（A）
2. 选择题
（1）设A, B两事件满足P(AB)=0，则©
A. A与B互斥 B. AB是不可能事件
C. AB未必是不可能事件 D. P(A)=0 或 P(B)=0
（2）设A, B为两事件，则P(A-B)等于(C)
A. P(A)-P(B) B. P(A)-P(B)+P(AB)
C. P(A)-P(AB) D. P(A)+P(B)-P(AB)
（3）以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为(D)
A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”
B. “甲乙两种产品均畅销”
C. “甲种产品滞销”
D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”
（4）若A, B为两随机事件，且，则下列式子正确的是(A)
A. P(A∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A)
C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A)
（5）设，则等于(B)
A. B.
C. D.
（6）假设事件A和B满足P(B|A)=1, 则(B)
A. A是必然事件 B.
C. D.
（7）设0<P(A)<1，0<P(B)<1, 则(D)
A. 事件A, B互不相容 B. 事件A和B互相对立
C. 事件A, B互不独立 D. 事件A, B互相独立

三解答题

解：由德摩根律有

2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。
解：设事件

3.设一枚深水炸弹击沉一潜艇的概率为0.6，求释放4枚深水炸弹能击沉潜艇的概率。
解：4枚深水炸弹只要有一枚射中就有击沉潜艇的可能，所以
设B表示潜艇被击沉，为第i枚深水炸弹击沉潜艇。

4.某卫生机构的资料表明：患肺癌的人中吸烟的占90%，不患肺癌的人中吸烟的占20%。设患肺癌的人占人群的0.1%。求在吸烟的人中患肺癌的概率。
解：设A表示吸烟，B表示患肺癌。
已知条件为
5.设玻璃杯整箱出售，每箱20个，各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，经顾客开箱随机查看4只，若无残次品，则购买，否则不买，求
（1）顾客购买此箱玻璃杯的概率。
（2）在顾客购买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。
解：参考书上24页例4
第二章随机变量及其分布
练习题：
1判断正误：
（1） 概率函数与密度函数是同一个概念。（B）
（2） 超几何分布在一定条件下可近似成二项分布。（A）
（3）中的是一个常数，它的概率含义是均值。（A）
（3） 。（B）
（4） 若的密度函数为=，则（B）
2选择题
（1） 若的概率函数为
（2） 设在区间上，的密度函数，而在之外，，则区间等于：(A)

（3） 若(A)

三解答题
（1） 已知一批产品共20个，其中有4个次品，按不放回与有放回两种抽样方式抽取6个产品，求抽得的次品数的概率分布。
解：不放回抽样，次品数

放回抽样，次品数

（2） 设的分布律是求它的分布函数。
解：

（3） 设连续型随机变量的分布函数为
求（1）常数A的值
（2）（3）X的密度函数
解：由分布函数的右连续性，函数的右极限值等于函数值有

4设随机变量X的概率密度函数为，求（1）常数A（2）
（3）X的分布函数。
解：由密度函数性质有

分布函数为：

5.电话站为300个电话用户服务，在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，求在一小时内恰有4个用户使用电话的概率：先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差。
解：，。

第三章 随机变量的数字特征
练习 1判断正误：
（1）只要是随机变量，都能计算期望和方差。（B）
（2）期望反映的是随机变量取值的中心位置，方差反映的是随机变量取值的分散程度。（A）
（3）方差越小，随机变量取值越集中，方差越大越分散。（A）
（4）方差的实质是随机变量函数的期望。（A）
（5）对于任意的X,Y，都有成立。（B）
（6）若则。（B）
2选择题
(1) 对于X与Y，若EXY=EXEY，则下列结论不正确的是（A）
A. X与Y相互独立 B. X与Y必不相关
C. D(X+Y)=DX+DY D. cov(X,Y)=0
(2) 则的值为（B）
A. 4, 0.6 B. 6, 0.4
C. 8, 0.3 D. 24, 0.1
(3) 两个独立随机变量X和Y的方差分别为4和2，则3X-2Y的方差是（D）
A. 8 B. 16 C. 28 D. 44
(4) 若EX，DX存在，则E(DX)，D(EX)的值分别为（C）
A. X, X B. DX, EX C. DX, 0 D. EX, DX
3解答题
（1）X与Y相互独立，且EX=EY=1，DX=DY=1，求。
解：

（2）设X与Y独立同分布，都服从参数为的泊松分布，设
求U与V的相关系数。
解：

（3）

求EY及DY。
解：

（4）假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元，发生一次故障仍可获利润5万元；发生二次故障所获利润为0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？
解：设X表示出故障的次数，Y表示利润。

化简即可。
（5）汽车起点站分别于每小时的10分、30分和55分钟发车，若乘客不知发车的时间，在每小时的任一时刻随机到达车站，求乘客等候时间的数学期望。
解：设X表示乘客的到达时间，则Y表示等候时间，

第四章 正态分布
练习题：
1． 判断题：
（1） 若则称为正态分布的两个参数，且
（B）
（2） 正态分布的密度函数是偶函数，其图象关于轴对称。（B）
（3） 正态分布密度函数的图象对称轴由决定，平坦度由决定。（A）
（4） （B）
（5） 若则（B）
2． 选择题：
（1）若两个相互独立的随机变量和分别服从正态分布和，则（ B ）。

（2）已知，则随的增大，的值（ C ）。

（3）在本门课程中，习惯上用表示标准正态分布的上侧分位数，则

（4）若且则

3解答题
（1） 已知求

解：

（2） 某地抽样调查考生的英语成绩（按百分制）计算，近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，求考生的英语成绩在分之间的概率。
解：设表示考生的英语成绩，则，由已知有
则
即查正态分布表知所以要求
第五章
1. 判断正误。
（1） 总体是随机变量，样本也是随机变量，并且它们的概率分布完全相同。（A）
（2） 样本来自总体，样本与样本，样本与总体之间都是相互独立的。（B）
（3） 统计问题的核心是由样本估计总体，样本容量越大，估计越准确。（A）
（4） 统计量是样本的函数，但不是所有的统计量都是随机变量。（B）
（5） 样本均值与是相等的。（B）
2. 选择题。
（1）为来自总体的一个样本，已知，未知，则以下是统计量的是（A ）

（2）为来自总体N（0，1）的一个样本，分别为样本均值和样本方差，则以下不正确的是（ B）

（3） 下列统计量服从分布的是：（D）

（4）和是分别来自总体和的样本，分别是它们的样本方差，则常数时，统计量服从分布。

（5）若则

（6）为来自总体的一个样本，为样本均值，则

（7）设且相互独立，则

（8）设则（C ）

（9）设则必有（C ）

第六章 参数估计

1. 判断题
(1）参数的点估计适用于总体分布已知但参数未知的情形。A
2参数的点估计由不用的估计法得到的估计量完全相同。B
3同一参数的矩估计量优于极大似然估计量。B
4无偏估计量的函数未必是无偏估计量。A
5同一参数的矩估计量往往不唯一。A
6同一参数的两个估计量方差越小的越有效。B
2．选择题。
（1）若1，1，1，0，1，1是来自总体的观察值，则的矩估计量是（D ）

（2）是来自总体的一个样本，且，分别是样本均值和样本方差，则必有（ D）

（3）正态总体的方差已知，为使总体均值的置信度为的置信区间长度不大于，则样本容量应取（ D）

（4） 总体服从上的均匀分布，未知，是来自总体的一个样本，则的矩估计量为：（B ）

（5） 总体的分布律为，而1，2，5，7，8是来自的观察值，则的最大似然估计值为（ C）

（6）是来自总体的一个样本，，则以下无偏估计量中（ B）最有效。

3.解答题
（1）是来自总体的一个样本，其中总体有密度（i）求未知参数的矩估计量
（ii）判断矩估计量的无偏性
（iii）计算估计量的方差
解：(i)先求总体的一阶原点矩即数学期望

（ii），
所以该估计量是无偏估计量。
（iii）估计量的方差

（2）设总体的概率密度为其中是未知参数，分别用矩估计法和极大似然估计法求得估计量。
解：矩估计法求解，先求总体期望

极大似然估计法：先写似然函数

（3）证明：在所有的无偏估计量中，样本均值是最有效的。（此题不用掌握）
证明：利用柯西-许瓦兹不等式有

（4）设，根据来自总体的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5，求的数学期望的置信度为0.95的置信区间。
解：显然此题是在已知总体X的方差条件下求总体期望的95%置信区间。故用公式160页的6.19