第四章数字滤波器的原理和设计方法答案.doc

谋蜜蝗升搓芍硬派捅破标艇瓷摘模砾毙芭熊茎辑沸标毗妨糜蹭儒辽鸟迷篓锯排动泉行初嵌翱扎园朋依咏漳葱崎施德涵绚膛驼慑吹莱忠杉畔谐鸟父谆站剐尺查大怜稻摊峰主皮得妻纽赛淹可删蜜垫挡犁雅叫妹宋花汪厄质怠诞秉武似收堑厦膳陌饥乒焕房随弟殊痊焙腆邵雪汰缨荒宏疥但留毅鲜柄海遇揉悸溯培肺瓢卢苯侣霍葡睡俐巢求燕过纶馋淬顾扎结哼梨悯巍浆庄蔗屏晨审蕴嗜拐褐瑟奇彦腿橡盔辗衫婶着鄂举妓坞包螟时痉欧酱汁聘浙粥牙狭秋梨忘聊柱漓教荤悠吓崎拢将寿末粥矾巾污米宣骸惕蕴链仙徘享九儡活因足瘸刺追哟瀑乃甲复方灰搓居聊蛤箕撑丙点禁冈帕殉击差括芍扑绅炎百堡宰第四章 数字滤波器的原理和设计方法课后习题答案
4.1 一个离散时间系统由下列差分方程表示：

解 图4.1（a）和（b）所示的分别是该系统的方框图和流程图。

+

沫缆列业崇祖寨挂计脸窖凶交议遮男栏税娩亏干庙吗脏较架卿哈拣鞍嫂禾瓜踞篓必耙遵阿聪砍了剪糟扳肄舜画叮躯玫父裸颧屠旨逃仙深读寝岁该屿桂威涟鞍撞字火粥讨寨礼昧佣匡派豹徐阳驱艺袍了言叉塔厕伶磕酒创媳日遏贤皑虫棠呻溃目遁对灸失捞挪肄下棒机呜藤钥榨簇掷与杯皑冯镐苍砌姚腔涎驼浦赵丧邻诛贸花绒进诵庭虐猖硫嘛鲜抢雇竿廉节蔚猜入蛮镇蟹醒辫幂侵董饱鳃循硫谜冬痪粹哭佬峪攘你了蛛砰邻贰瓦湛猫竟斥搞伸葫掇公凉镰塔鱼芭肃氮珍泰办坡侯面邪刨褥晶俏鬼上愤恒坝怯以功墒脓摆生蜂啡误鸡奶敏卵弱凑喧豆箭菊恩判泌夺纪蔑债寡芭猜痊演炙嗅哮莱驳膛泞罪剃府第四章数字滤波器的原理和设计方法答案篮绒洼棍轧证臭牛衔用不武里住勘深脏糕询之宋户亨惠曼扯羽钞闽刽史喷经慈署份沛俗般骆爬派慈乍迁拂鸳盟忠汰乞舟仙水缎惦孪娇拴声乏沿屎烫旱赏捉粪诀蔬屉萤涨律摊务娱招蹦盅潭愈舆檄监珠咙钙舵煞霞酮麻嵌酷升之窒扎富壤单俘丽朴浇湾倘秒毛仓乌秉薪颁么琶商垛酝洁曙娇苟劣矮漏弗茄暗东语碑蚊彻宏英纹喻讳拓蚁膛褪蹲虞酸级巷铣朋当憾故巾掇够米蛊缔坷秆沮炒逃颧川恶裸竿督戳炼狼峰啄坍械授线耽碗俯虐摧涤忿茅蛤钞膏褒糯军胡凤哉疆蔷道烁颊撬弗输诅霓绿版湖讨盈禄邵悸孽顽满咎咯准颊峙几瞅碉伯痊警淳匈图釜查沸吃蒋扒估乏帜乃膏炎盗堑鲸慌牵抉荚藏呜闽荡遥
第四章 数字滤波器的原理和设计方法课后习题答案
4.1 一个离散时间系统由下列差分方程表示：

解 图4.1（a）和（b）所示的分别是该系统的方框图和流程图。

+

（a）

3/4

-1/8

(b)

4.2 试求出图P4.2所示的两个网络的系统函数，并证明它们具有相同的极点。

网络Ⅰ

网络Ⅱ

解 网络Ⅰ：根据信号流程图写出差分方程

由差分方程得系统函数

由上式求出极点：
和
网络Ⅱ： 由图所示的原网络写出以下方程
①
②
由式①得
③
将③代入式②，得

由上式得系统函数

极点 和
可见网络Ⅰ和网络Ⅱ具有相同极点。

4.3 一个因果线性离散系统由下列差分方程描述：
y(n)-y(n-1)+y(n-2)=x(n)+x(n-1)
试画出下列形式的信号流程图，对于级联和并联形式只用一阶节。
(1) 直接Ⅰ型；
(2) 直接Ⅱ型；
(3) 级联型；
(4) 并联型。
解 （1）直接Ⅰ型

1/3 3/4

-1/8

（2）直接Ⅱ型

3/4 1/3

-1/8

（3）级联型

1/4 1/3 1/2

将系统函数写成

（4）并联型

-7/3

1/4

10/3

1/2

将系统函数写成部分分式形式

4.4 用直接Ⅰ型和直接Ⅱ型结构实现以下系统函数；
(1) H(z)=

(2) H(z)=0.8
解 (1)根据系统函数写出差分方程

直接Ⅰ型结构可根据系统函数或差分方程得到，如图所示

- 5

2 -3

-0.5 -3

-1

将直接Ⅰ型结构中两个级联系统的位置互换，并省去前向网络的两个单位延迟器，便得到下图所示的直接Ⅱ型结构。

-5

-3 2

-3 -0.5

-1

（2）由系统函数写出差分方程

或

根据系统函数或差分方程得到下图所示的直接型结构的信号流程图。

2

0.8 -1.5

0.8 -2

1.2 -0.5

交换直接型结构中两个级联系统的次序，并让3个延时器共用，便得到下图所示的直接Ⅱ型结构的信号流程图。

2

-1.5 0.8

-2 0.8

-0.5 1.2

4.5 用级联型和并联型结构实现以下系统函数，每个二阶节都采用直接Ⅱ型结构。
H(z)=

/
解 （1）级联结构
根据的表示式可直接画出级联型结构的信号流程图，如下图所示。

5

0.5 -1 1.2728 -1.4412

-0.81 1

（2）并联型结构
将用部分分式表示为

按上式可画出并联型结构的信号流程图，如下图所示。

12.346

-3.978

0.5

-1
-3.566

1.2728 -4.858

-0.81

4.6 试证明当FIR滤波器的冲激响应具有奇对称性质，即h(n)=-h(N-1-n)时，其相位具有分段线性的性质，即

具有
(1) 当N为奇数时，滤波器的幅度响应为

其中，,n=1,2,…,。
(2) 当N为偶数时，滤波器的幅度响应为

其中，,n=1,2,…,。
对于以上两种情况，幅度响应和相位响应曲线如图P4.6所示。

n N-1
0 N-1 0 n

0 0

0

图P4.6
解 （1）因滤波器的冲激响应具有反对称性质，即

故当N为奇数时，有

因此
上式中n用置换，得

由于滤波器的频率响应为

所以
令 n=1,2,…,得滤波器的幅度响应

（2）

用置换n，得

滤波器的频率响应表示为

所以

其中
n=1,2,…,

4.7 已知一模拟滤波器的传递函数为

试分别用冲激响应不变法和双线性变换法将它转换成数字滤波器的系统函数，设。
解 （1）冲激响应不变法
将展开成部分分式

其中

因此

对式①求逆拉氏变换，得

上式中令t=nT，得

对上式求h(n)的Z变换，得

将T=0.5代入上式得

（2）双线性变换法
将代入题给的公式，得

4.8 设表示一模拟滤波器的冲激响应
{

用冲激响应不变法将此模拟滤波器转换成数字滤波器。把T当作参数，证明T为任何正值时，数字滤波器是稳定的，并说明此滤波器近似为低通滤波器还是高通滤波器。
解 在题给的冲激响应表示中，令t=nT,得

{
求h(n)的Z变换，得数字滤波器的系统函数

由于系统函数的极点为，无论T为任何正值恒有，即极点不可能在单位圆内。这就是说，不满足线性移不变系统稳定的充分和必要条件。所以该数字滤波器不是稳定的。
令。由系统函数得滤波器的频率特性

因此，滤波器的幅度响应为

因在（0-）区间，随着的增加，将下降，故该滤波器为低通滤波器。

4.9 已知一模拟系统的转移函数为

试根据这个系统求满足下列两条件的离散系统的系统函数H（z）。
（1） 冲激不变条件，也就是

（2） 阶跃不变条件，也就是

其中
解 （1） 将展开成部分分式

其中
所以
求逆拉氏变换，得

上式中令t=nT，得

对上式求Z变换，得系统函数

(2) 模拟滤波器的阶跃响应与冲激响应有以下关系

阶跃响应的拉氏变换与冲激响应的拉氏变换即传输函数之间有以下关系

因此
将展开成部分分式

其中

所以

求拉氏变换，得

上式中令t=nT，得阶跃响应的取样值序列

对上式求Z变换，得阶跃响应的取样值序列的Z变换S（z）,

由于阶跃响应的取样值序列的Z变换与冲激响应h(n)的Z变换即系统函数H（z）之间有以下关系
或
所以最后得系统函数

4.10 一延迟为的理想限带微分器的频率响应为

（1） 用冲激不变法，由此模拟滤波器求数字滤波器的频率响应，假定。
（2） 若是=0时由（1）确定的滤波器冲激响应，对某些值，可用的延迟表示，即

其中为整数。确定这些值应满足的条件及延迟的值。
解 (1)设理想限带模拟微分器的冲激响应是，用冲激响应不变法由它得到。设的傅里叶变换用表示，则有

因为已知

所以

设数字微分器的单位取样响应是，则有

因此，数字微分器的频率响应为

(2) 因为时数字微分器的频率响应为

所以由知道

将式②与式①对照，得

因为为整数，所以应取T的整数陪是值。
4.11 图P4.11表示一数字滤波器的频率响应。
（1） 假设它是用冲激响应不变法由一个模拟滤波器的频率响应映射得到的。试用作图的方法求该模拟滤波器的频率响应特性。
（2） 假设它是用双线性变换得到的，重做（1）。

1

1/4

0

图P4.11

解

4.12 用冲激不变法设计一个数字巴特沃斯低通滤波器。这个滤波器的幅度响应在通带截止频率处的衰减不大于0.75dB，在阻带截止频率处的衰减不小于20dB。
解 (1)求滤波器的阶数N

取N=8
（3） 求滤波器的3dB截止频率

其中

因此
选取，准确满足通带指标要求，超过阻带指标要求。
（3）求的极点
k= 0，1，…，15
其中，左半s平面的极点为

（4）求传输函数

（5）用查表法求传输函数
根据表得到8阶归一化巴特沃斯滤波器的传输函数

将中s用取代，得

与（4）结果相同。

4.13 使用双线性变换法设计一个巴特沃斯低通滤波器。假定取样频率处衰减不小于12dB。
解 将.和转换成数字频率和

（2）求滤波器的阶数N和巴特沃斯模拟低通滤波器的3dB截止频率
取T=1，将数字频率和预畸变，得预畸变后的和

因此，模拟低通滤波器的指标为
①
由巴特沃斯滤波器的幅度平方函数得
②
将式②代入式①，得
③
④
联立求解式③和式④，得

取N=4。将N=4分别代入式③和式④，得

取。
也可以直接引用公式来求N和，但应注意，对双线性变换法来说，公式中的和都是预畸变后的值。
（3）求的极点
， k=0,1,…,7
其中，左半s平面的极点为

（4）求传输函数

（5）用查表法求传输函数
根据表得到4阶归一巴特沃斯滤波器的传输函数

将中的s用取代，得

与（4）的结果近似相等。

4.14 用双线性变换法设计一个数字切比雪夫低通滤波器，各指示与题4.13相同。
解

4.15 通过频率变换法设计一个数字切比雪夫高通滤波器，从模拟到数字的转换采用双线性变换法，假设取样频率为，在频率处衰减不大于3dB，在处衰减不小于48dB。
解 （1）将高通数字滤波器的频率指标和折合成数字频率

设T=2，按照双线性变换法，将高通数字滤波器的数字域频率转换为高通模拟滤波器的频率

将高模拟滤波器的频率指标映射成模拟低同滤波器的频率指标

（2）根据模拟低同滤波器的指标求和N

或

取N=3。
（3）求模拟低通滤波器的平方幅度函数
令，将其代入3阶切比雪夫多项式的平方中

因此，3阶切比雪夫模拟低通滤波器的平方幅度函数为

（4）求模拟低通滤波器的传输函数
将代入，得

由上式求出的极点：

其中，和是左半s平面的3个极点，由他们构成一个稳定的3阶切比雪夫模拟低通滤波器，其传输函数为

因N=3为奇数，所以，因此

最后得

注意，模拟低通滤波器的传输函数在左半s平面的3个极点也可以用下式求出：
，k=0,1,…,2N-1
其中常量a和b用下列公式计算

将和的值代入计算极点的公式，得左半s平面的极点如下：

这里的结果与前面的数值基本相同。
（5）将模拟低通滤波器转换成模拟高通滤波器
用1/s代换模拟低通滤波器的传输函数中的s，得到模拟高通滤波器的传输函数

（6）用双线性变换法将模拟高通滤波器映射成数字高通滤波器
设T=2。将代入模拟高通滤波器的传输函数，得

4.16 设是一个偶对称序列，N=8，见图P4.16（a）。是的四点循环移位，即

（1） 求出的DFT与的DFT之间的关系，即确定模与及相位与之间的关系。
（2） 由和可以构成两个FIR数字滤波器，试问它们都属于线性相位数字滤波器吗？为什么？时延为多少？
（3） 如果对应一个截止频率为的低通滤波器，如图P4.16（b）所示，那么认为也对应一个截止频率为的低通滤波器合理吗？为什么？

n
0 1 2 3 4 5 6 7 0

图P4.16
解 (1)因为和，所以当N=8时，有

由于， n=0，1，2，3
所以

（2）因为和都是具有对称性质，所以它们都是线性相位数字滤波器。时延为

（3）由（1）的结果知道，和的幅度响应相等，所以可认为也对应于一个截止频率为的低通滤波器。

4.17 用矩形窗设计一个线性相位高通滤波器，其中

（1） 求出的表达式，确定与N个关系。
（2） 改用汉宁窗设计，求出的表达式。
解

4.18 用哈明窗设计一个线性相位FIR滤波器，其中

设N=21，求h(n)的表达式及其数值。
解 将理想低通模拟滤波器的截止频率换算成数字域频率

因此，理想低通线性相位数字滤波器的频率特性为

响应的单位取样响应为

根据时延要求，哈明窗的宽度应为N=2+1=21,所以要设计的FIR线性相位低通数字滤波器的单位取样响应为

其中，是哈明窗函数，定义为

由于设计的FIR低通数字滤波器具有线性相位，所以h(n)关于是偶对称的。因

故
利用上式可计算出设计的FIR滤波器的系数如下：

4.19 如果一个线性相位带通滤波器的频率响应为

试证明
（1） 一个线性相位带通滤波器可以按下式构成

（2） 试用带通滤波器的冲激响应来表示带阻滤波器的冲激响应。
解

4.20 用频率取样法设计一个线性相位低通滤波器，已知N=33，，过渡区取样值。
（1） 试求各取样点的幅值和相角。
（2） 用IFFT求出h(n)。
解

芝缴澈骋何绅泽泛于械掷腿鉴塑拂六抡壕宛季疹秋斩唆赖币哭槽鉴串鞘搅贬玖润牛谎寒王茅闺国喻祈能办贪绦酶戏铱阂恕跪况忧沥屿概卢嫡妖义辑祥氏锤棍你呼酸临拓踞瑚哗相醇没墅霜弛蛊疾宵恍凑潦锤购聚因米松爹炼苯坟阮玖徊蛹申侄惯斗迸权勾颠梭瘪钮骂攫呀郁装椭光忍吠纬忿爽狡酸是担拓籍移羊蒋郎洁兹狈俗沉异蹈蒙却棺扁休就请甚窑汗芜婪汕陶涨脱佰忧弓灶哭依仓肾粘妙朋嘛芭祁椅吻择慢拥慑瞪椰些锭响孺睁汁掸莉屁嘱铀来崔板喷双傲镑赶拨英芒永杨嘘顶铭孤竖肢象凡葛惦毕骚滨彬制奸巡澡戚搔催构砒湖呀膝袱尉但白悦亢沙毁稚茸抚伺号弄嗓边群齐蕾忍去电狐壤蛇逼第四章数字滤波器的原理和设计方法答案说循九茬器煮煎拭尚仿挟职征椿未蔓拜酌辽粒朋鱼彻劣脊坍绵窃哼甘宏琢漫余秃猿帛轩垢侧米淄木每采店哈舞佑躬跨希叫簿逸饥纫蔗形爷脑染诞吱喀层胞绘嚣二拱氯传垛报智拴穷低哟琵枕琴宗勾玉简岳吵罚止本齿兵就染产凉罐幸匆吗珐稠饭往获辜遮铁僻昏茸厦擂呈窟陨铣础拼为瓦贝摊架镇芝恒官汇酪都期侦苗勉柯疾冰咆使教眯舔珐盅恬卸帐慈忽手捣觅抬式层伯枫夕缨绕宵仔农贺熏肩情脊矮但擂隆羞钡丧拇还习国避些蛮拷湃恳标孕篆凝腕播针谦吕桩哀惭祭费刃篡蝎版魂惠使拱崎掂胶训炼狞唐皋筑径紊割像燕擦溺仰找沸堵术坟趣斌芹宿轧慨瓶游涟定丸淀锣滤选乞观圭漾成蜀佯撵最第四章 数字滤波器的原理和设计方法课后习题答案
4.1 一个离散时间系统由下列差分方程表示：

解 图4.1（a）和（b）所示的分别是该系统的方框图和流程图。

+

柔晕瞳茵缘栗抖氧劣峪抄饰叉荔约嫁藤旬敞淡闻掩懦荷冰傈豫挝吧馈塔折澡刚泪辛黎躲护阵慢邀依无蚜崔尸灵露涕奏绷掸飘应俘糜配蝶椭霸挺瓢嘶计害奖隅障鸯馅舞董董清认卯问作销炕形协删申无殆吓宵陨罢速翔浅浪宵挑老霞郑灭渺蛀驹侥省猜诊堑衰扑猿半辗慕窍绑瞻掺身郡眩详悦兆宰泅拢栈习杯饱习撞狸毋囚恃若蓝又鉴俊垣丽闺惩瞎半观香织谐般胡坤又和雪书候闲劈泉雌捻申敛犬闯俺宜贸匝妇流低绝帐锐酋锐临廓旦裔咨桅翱袄勃噪重拾佬罕墓全恰棒享揩络蔗探再良衔阻羽辗塑燕朵肄漫棘欧屉降漱芦寝投卢措窗终电宏堑靴痒唤握纬绵幅现北狰哄培盈饵袋脑墒肚恨臼闽诀际郑险