8年级上册知识点与练习(全).doc

三角形复习
⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.
_
C
_
B
_
A
三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示.
注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；
（2）三角形是一个封闭的图形；
（3）△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义．

⒉ 三角形的分类：
(1)按边分类：
三角形
等腰三角形
不等边三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
(2)按角分类：

三角形
直角三象形
斜三角形
锐角三角形
钝角三角形

⒊ 三角形的主要线段的定义：
（1）三角形的中线
三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．
表示法：1.AD是△ABC的BC上的中线.
2.BD=DC=BC.
注意：①三角形的中线是线段；
②三角形三条中线全在三角形的内部；
③三角形三条中线交于三角形内部一点；
④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．
（2）三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段
表示法：1.AD是△ABC的∠BAC的平分线.
2.∠1=∠2=∠BAC.
注意：①三角形的角平分线是线段；
②三角形三条角平分线全在三角形的内部；
③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；
④用量角器画三角形的角平分线．
（3）三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．
表示法：1.AD是△ABC的BC上的高线.
2.AD⊥BC于D.
3.∠ADB=∠ADC=90°.
注意：①三角形的高是线段；
②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；
③三角形三条高所在直线交于一点．

⒋ 三角形的主要线段的表示法：
三角形的角平分线的表示法：
如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：
① AD是DABC的角平分线；
② AD平分ÐBAC，交BC于D；
A
B
C
D
E
图1
③ 如果AD是DABC的角平分线，那么ÐBAD=ÐDAC=ÐBAC.

(2)三角形的中线表示法：
如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：
①AE是DABC的中线；
②AE是DABC中BC边上的中线；
③如果AE是DABC的中线，那么BE=EC=BC.
图2
(3)三角线的高的表示法：
如图2，根据具体情况，使用以下任意一种方式表示：
① AM是DABC的高；
② AM是DABC中BC边上的高；
③ 如果AM是DABC中BC边上高，那么AM^BC，垂足是E；
④ 如果AM是DABC中BC边上的高，那么ÐAMB=ÐAMC=90°.
⒌ 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：
(1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部.
(2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.

图4

图3

如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.
图5
图6

图7

⒍三角形的三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.
注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；
（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．

⒎ 三角形的角与角之间的关系：
(1)三角形三个内角的和等于180°;
图8
(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
(4)直角三角形的两个锐角互余.

三角形的内角和定理
定理：三角形的内角和等于180°．
推论：直角三角形的两个锐角互余。
推理过程：
一、作CM∥AB，则∠4=∠1，而∠2+∠3+∠4=1800，
即∠A+∠B+∠ACB=1800．
二、作MN∥BC，则∠2=∠B，∠3=∠C，而∠1+∠2+∠3=1800，
即∠BAC+∠B+∠C=1800．

注意：（1）证明的思路很多，基本思想是组成平角．
（2）应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角．

三角形的外角的定义
三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.
如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角，且∠ACD=∠BCE.
所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处
只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.
三角形外角的性质
（1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和．
（2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角．
注意：（1）它不相邻的内角不容忽视；
（2）作CM∥AB由于B、C、D共线
∴∠A=∠1，∠B=∠2.
即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.
那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B.

8．三角形的稳定性：
三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性．
注意：（1）三角形具有稳定性；
（2）四边形没有稳定性.

适当添加辅助线，寻找基本图形
(1)基本图形一，如图8，在DABC中，AB=AC，B,A,D成一条直线，则ÐDAC=2ÐB=2ÐC或ÐB=ÐC=ÐDAC.

图9
(2)基本图形二，如图9，如果CO是ÐAOB的角平分线，DE∥OB交OA,OC于D,E，那么DDOE是等腰三角形，DO=DE.当几何问题的条件和结论中，或在推理过程中出现有角平分线，平行线，等腰三角形三个条件中的两个时，就应找出这个基本图形，并立即推证出第三个作为结论.即：角平分线+平行线→等腰三角形.

基本图形三，如图10，如果BD是ÐABC的角平分线，M是AB上一点，MN^BD，且与BP,BC相交于P,N.那么BM=BN，即DBMN是等腰三角形，且MP=NP，即：角平分线+垂线→等腰三角形.
当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时，就应找出这个基本图形，如等腰三角形不完整就应将基本图形补完整，如图11，图12.
图11

全等三角形 知识梳理
一、知识网络
ìì对应角相等性质íïî对应边相等ï
ïì边边边 SSSïï全等形®全等三角形í边角边 SASïïï判定í角边角 ASAïï角角边 AASïïïïî斜边、直角边 HLî
作图ì 角平分线íî性质与判定定理Þ应用
二、基础知识梳理
（一）、基本概念
1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；
即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质
（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；
3、全等三角形的判定方法
（1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上
（二）灵活运用定理
1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，
因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
（1）已知条件中有两角对应相等，可找：
①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)
（2）已知条件中有两边对应相等，可找
①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)
（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找
①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)

一、全等三角形 习题练习
A平行线与相交线
1． 余角和补角的概念？
定理：同角或等角的余角（或补角）相等。
2. 平行线的性质：
两条平行线被第三条直线所截， 相等， 互补。
3．过直线外一点， 和已知直线平行
平行于同一条直线的两直线
3. 两条直线的距离：
即为两直线间的距离。
4. 平行线的定义 :
平行线的判定：
1）如果两直线都与 ，那这两直线平行。
2）两直线被第三条直线所截，
相等，
相等， 两直线平行。
互补，
5. 垂直的定义：
过平面内一点， 和已知直线垂直。
6. 垂线段的定义：
7. 对顶角相等
8.等式性质：①.若∠1=∠3，则∠1+∠2=∠3+∠2（图一）、∠1-∠4=∠3-∠4
图一
1
2
3
②若AB=CD，则 AB+EF=CD+EF、AB-EF=CD-EF
B 三角形的相关概念
1. 三角形的分类？特殊三角形：等边三角形的性质？
2. 三角形的内角和、外角和？
3. 有关三角形的高线、中线、角平分线？
4. 三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边
三角形任意两边之差小于第三边
5. 三角形的外角等于不与它相邻的内角和。

二、（1）平行线与相交线---认识同位角、内错角、同旁内角
例1如图，∠α与∠C，∠β与∠B是哪两条直线被哪一条直线所截成的角？它们是同位角、内错角，还是同旁内角？
解： ∠α与∠C是直线DE、BC被直线AC所截而成的内错角；∠β和∠B是直线AC、BC被直线AB所截而成的同旁内角。例2.如图，直线AB与DE被直线AC所截， （1）∠1与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4各是什么角？ （2）如果∠1=∠4，那么∠1与∠3相等吗？∠1与∠2互补吗？为什么？
习题：

图4
图3
图2

图1

1．如图1，下列说法中错误的是（ ）

A.∠2与∠6是同位角 B.∠2与∠5是同旁内角 C.∠3与∠5是内错角 D.∠4与∠7是同位角2．如图（2），下列说法错误的是（ ） A.∠1和∠B是同位角 B.∠2与∠B是同位角 C.∠2与∠C是内错角 D.∠EAC与∠C是内错角3．如图（3），下列结论不正确的是（ ） A.∠1与∠3是内错角 B.∠1与∠2是同位角 C.∠1与∠6是同位角 D.∠5与∠6是同旁内角

4．如图（4），与∠C是同旁内角的角有（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个5.两条直线被第三条直线所截，在与第三条直线有关的八个角中，共有（ ） A、4对同位角，2对内错角，2对同旁内角 B、2对同位角，4对内错角，2对同旁内角 C、2对同位角，2对内错角，4对同旁内角 D、4对同位角，4对内错角，2对同旁内角
如上图1，填空
6.∠1和∠3是同位角，它是直线 和 被直线 所截而成的；　7.∠4和∠5是 ，它是直线 和 被直线AC所截而成的；8.∠2和∠6是 ，它是直线 和BC被直线 所截而成的；9.∠5和∠7是同旁内角，它是直线 和 被直线AC所截而成的.10.如图，若以AC，AB为两条直线，那么第三条直线有几种可能？都出现什么角？分别写出来. 第10题图

11.如图，直线DE，BC被AB所截，如果∠1与∠3互补，那么∠1与∠4相等吗？∠1与∠2相等吗？为什么？
12.如图，EF是过A的一条直线，找出图中的内错角和同旁内角.

（2）a．直线平行的判定方法
①利用角 ②利用直线的位置关系

（1）平行于同一条直线的两条直线平行；
（2）垂直于同一条直线的两条直线平行。
（1） 同位角相等，两条直线平行； 　　
（2） 内错角相等，两条直线平行；　　
（3） （3）同旁内角互补，两条直线平行。
例1如图，已知BE//CF，∠1=∠2，求证：AB//CD。例2 如图2，CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2，

图1

图2
求证：DG//BC。

b．两直线垂直的判定方法
（1）两直线垂直的定义（2）一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直。（即证明两条直线

图1
的夹角等于90o而得到。）
如图，已知EF⊥AB，∠3=∠B，∠1=∠2，求证：CD⊥AB。

　3．两条直线被第三条直线所截得的角中，角平分线互相垂直的是（　 ）。　　
（A）内错角　　 （B）同旁内角　　 （C）内错角或同旁内角　　 （D）同位角
4． 若两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，则这两个角（　 ）。　　
（A）相等　　 （B）相等或互补　　 （C）相等且互补　　 （D）互补
5．如图，BD平分∠ABC，DE∥AB，∠CED=80°，则∠EDB的度数是（　 ）。　　
（A）30°　　 （B）40°　　 （C）60°　　 （D）90°

全等三角形
A概念及性质
1. 定义?
2. 什么是两个三角形的对应点？那么对应边、对应角？在书写对应边、对应角时应注意什么?
3. △ABC≌△DEF，则对应点、对应边、对应角分别是多少？
4．全等三角形的性质有哪些？如何判定全等三角形？
B．全等三角形的应用
1．如何判定

判别两个三角形全等：

（1）已知两边
• 　　

（2）已知一边一角
• 　　

（3）已知两角

习题
1、 如图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列条件不能判定△ABM≌△CDN的是（ ）
C
N
M
A
B
D
（A） ∠M=∠N
（B） AB=CD
（C） AM=CN
（D） AM∥CN

2、如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判断
△ABE≌△ACD的是（ ）
（A） AD=AE
（B） ∠AEB=∠ADC
（C） BE=CD
（D） AB=AC

E
B
D
A
C
2、如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判断
△ABE≌△ACD的是（ ）
（A） AD=AE
（B） ∠AEB=∠ADC
（C） BE=CD
（D） AB=AC

3、已知，如图，M、N在AB上，AC=MP，AM=BN，BC=PN。求证：AC∥MP
M
P
C
A
B
N

4、 已知，如图，AB=CD，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，DF=BE。求证：AF=CE。
F
E
A
C
D
B

5、 F
E
O
D
C
B
A
已知，如图，AB、CD相交于点O，△ACO≌△BDO，CE∥DF。求证：CE=DF。

6、 A
E
D
C
B
已知，如图，AB⊥AC，AB＝AC，AD⊥AE，AD＝AE。求证：BE＝CD。

G
F
E
D
C
A
B
7、已知，如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD与EF的交点，求证：△BCF≌△DCE

8、 如图，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题。
① AB=AC ② BD=CD ③ BE=CF

9、 F
E
D
C
A
B
G
如图，EG∥AF，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。
① AB=AC ② DE=DF ③ BE=CF

10、如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，图中有没有和△ABE全等的三角形？请说明理由。
F
E
D
C
A
B
┐

10、如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上一动点（点G与C、D不重合）， 以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H。
求证：① △BCG≌△DCE
F
E
D
C
A
B
G
H
② BH⊥DE

11、如图，△ABC中，AB=AC，过A作GB∥BC，角平分线BD、CF交于点H，它们的延长线分别交GE于E、G，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。
F
E
D
C
A
B
G
H

F
E
D
C
A
B
12、如图所示，己知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形，并选其中一对给出证明。

E
D
C
A
B
13、如图，AB=AD，BC=CD，AC、BD交于E，由这些条件可以得出若干结论。请你写出其中三个正确的结论（不要添加字母和辅助线）。

F
E
D
C
A
B
G
P
F
E
D
C
A
B
G
P
14、己知，△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，垂足为D，P是BC上任一点，PE⊥AB，PF⊥AC垂足分别为E、F，
求证：① PE+PF=CD.
② PE – P F=CD.

15、已知，如图5，△ABC中，AB=AC，∠BAC=900，D是AC的中点，AF⊥BD于E，交BC于F，连结DF。求证：∠ADB=∠CDF。
B
F
E
D
C
A
3
N
1
M
B
2
M
F
E
D
C
A
3
1
B
2
F
E
D
C
F

第七讲：分式的概念及其基本运算
知识点1、分式的概念：
1、在所给式子：，4x2，，，，0，，中，分式有( ).
A、 5个 B、 4个 C、 3个 D、 2个

2、取何值时，下列各式有意义？
(1)； (2)； (3). (4) (5)

知识点2、分式的基本性质：
3、下列等式成立的是( ).
A、 B、 C、D、

4、化简下列各式：
(1) (2)

5、根据分式的基本性质，分式可变形为( ).
A、 B、 C、 D、

6、计算： ( ).
A、 B、 C、 D、

知识点3、分式的运算法则
(1)加减法： ， .
(2)乘除法： ， .
(3)乘方： = . (为正整数，)
7、指出下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1)； (2)

8、如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值( ).
A、扩大3倍 B、缩小3倍 C、缩小6倍 D、不变

9、分式的最简公分母为 .
10、若分式不论取什么实数总有意义，则的取值范围是 .
A、 B、 C、 D、

11、(1)先化简，再求值：，其中.

(2)先化简，再求值：·¸，其中.

知识点4、分式方程: 分母中含有 　　　 的方程叫分式方程.
解分式方程的一般步骤：
(1)去分母，在方程的两边都乘以 　 ，约去分母，化成整式方程；
(2)解这个整式方程；
(3)验根，把整式方程的根代入 　 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.
12、下列关于的方程中，是分式方程的有( ).
①；②；③；④；⑤(t是的常数).
A、 2个 B、 3个 C、 4个 D、5个

13、解下列方程：
(1) (2)

14、 如果分式方程有增根，则增根是____________.

15、当为何值时，关于x的方程会产生增根？

知识点5：列分式方程解简单的实际应用问题的方法和步骤与列一元一次方程解应用题基本相同．简单地可分为：设、找、列、解、检、答等六个步骤．
16、 某人驾车从A地到B地，出发2小时后，车子出了点毛病，耽搁半小时修好了车，为了弥补耽搁的时间，他将车速增加到原来的1.6倍，结果按时到达。已知A、B两点的距离为100千米，求某人原来驾车的速度.

17、便民服装店的老板在株洲看到一种夏季衬衫，就用8000元购进若干件，
以每件58元的价格出售，很快售完，又用17600元购进同种衬衫，数量是第一次的2倍每件进价比第一次多了4元，服装店仍按每件58元出售，全部售完，问该服装店这笔生意盈利多少元？

第六讲 整式的乘除
1、同底数幂的乘法法则
(都是正整数) 同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
例1、计算：
(1) (2)

(3) (4)

2、幂的乘方
(都是正整数) 幂的乘方，底数不变，指数相乘.
说明：(1)幂的乘方法则是由同底数幂的乘法法则和乘方的意义推导的.
(2) 与的区别.
例2、计算：
(1) (2) (3)

3、积的乘方
(为正整数) 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
例3、若，则= ，= .

4、单项式与多项式的乘法法则：
单项式与多项式相乘，就是根据乘法对加法的分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
例4、要使成立，则的值分别为多少？

5、多项式与多项式的乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加.
例5、（1）

（2）

6、同底数幂的除法公式
特别的：.
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减.
例6、已知，.
(1)求的值 ； (2)求的值.

练习：
1、下列运算中正确的是( ).
A、 B、=
C、 D、
2、下列运算正确的是( ).
A、 B、 C、 D、
3、下列运算不正确的是( ).
A、 B、 C、 D、
4、； .
5、 .
__________.

7、整式的乘法公式(一)：平方差公式：
例7、用平方差公式计算：
(1) (2) (3)

例8、计算： (1) (2)

例9、计算：
（1）

（2）

8、整式的乘法公式(二)
完全平方公式：
例10、计算:
(1) (2) (3)

(4) (5)

例11、若是完全平方式，则=_____________.

例12、(1)已知，求的值；

(2)如果求和的值.

例13、若，求的值.

练习：
1、下列计算正确的是( ).
A、 B、
C、 D、
2、 ___________；
=__________；
__________.
3、化简求值：，其中.

4、解方程： .

5、若.
6、多项式加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是( ).
A、 B、 C、 D、
7、已知，求下列各式的值.
(1) (2) (3)

第七讲 因式分解
1、提公因式法：即 [实际上是逆用乘法分配律]
例1、把下列各式因式分解：
(1) (2)

(3) （4）

2、公式法分解(一)
平方差公式:
例2、把下列各式因式分解：
(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

3、公式法分解(二)
完全平方公式： =， =
例3、把下列各式分解因式：
(1) (2)

(3) (4)

4、公式法分解(三)
十字相乘法：
例5、把下列各式进行因式分解：
(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

5、分组分解法:
例6、把下列各式进行因式分解：
1. 2.

6、换元法：换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰.
例7、把下列各式进行因式分解：
(1) (2)

7、拆项、添项法：因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解.
例8、分解因式：
( 1) (2)

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