(详细版)2018高中数学学业水平考试知识点.doc

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2018 年高中数学学业水平测试知识点
【必修一】
一、 集合与函数概念
并集：由集合 A 和集合 B 的元素合并在一起组成的集合，如果遇到重复的只取一次。记作： A∪B
交集：由集合 A 和集合 B 的公共元素所组成的集合，如果遇到重复的只取一次记作： A ∩B
补集：就是作差。
1、集合

n
a1, 2 ,..., 的子集个数共有 2
a a
n

n
个；真子集有 2

n
–1 个；非空子集有 2

n
–1 个；非空的真子有 2

–2 个.
1 y 1 x
2、求 y f (x)的 反函数 ：解出 x f ( ) ， x, y 互换，写出 y f ( ) 的定义域；函数图象关于 y=x 对称。
3、（1）函数定义域：①分母不为 0；②开偶次方被开方数 0 ；③指数的真数属于 R、 对数的真数 0 .
4、函数的单调性： 如果对于定义域 I 内的某个区间 D内的任意两个自变量 x1，x2 ，当 x1 <x2 时，都有 f(x 1)<（ ）f(x 2) ，
那么就说 f(x) 在区间 D上是增（减）函数，函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质。
5、奇函数： 是 f (- x ) = - f (x) ，函数图象关于原点对称（若 x 0 在其定义域内，则 f (0) 0 ）；
偶函数： 是 f (- x) = f (x )，函数图象关于 y 轴对称。
6、指数幂的含义及其运算性质：
x 且 叫做指数函数。 （1）函数 y a (a 0 a 1)
x
（2）指数函数 y a (a 0,a 1)当 0 a 1 为减函数，当 a 1 为增函数；

①

r s r s r s rs r r r
a a a ；② (a ) a ；③ ( ab) a b (a 0,b 0,r ,s Q) 。
（3）指数函数的图象和性质
a 1 0 a 1
图
象
1
1

-4 -2 0

-4 -2 0
-1
-1
(1) 定义域： R
（2）值域：（0，+∞）

性
质

（3）过定点（ 0，1），即 x=0 时，y=1
（4）在 R 上是增函数 （4）在 R上是减函数

x
(5) 0, 1
x a ;

x
(5) x 0,0 a 1;

x
x 0,0 a 1

x
x 0,a 1
7、对数函数的含义及其运算性质：
（1）函数 y log x(a 0,a 1) 叫对数函数。
a
（2）对数函数 y log x(a 0,a 1) 当 0 a 1 为减函数，当 a 1 为增函数；
a
①负数和零没有对数；② 1 的对数等于 0 ：loga 1 0；③底真相同的对数等于 1：loga a 1，
（3）对数的运算性质：如果 a > 0 , a ≠ 1 , M> 0 , N> 0 ，那么：
M
n
① a MN log M log N
log ； ② log a log M log N ； ③log M n loga M (n R)
a 。 a a a a
N
log b
c
（4）换底公式： log b (a 0 a 1,c 0 c 1,b 0)
a 且 且
log a
c
1
20
***
(5) 对数函数的图象和性质
a 1 0 a 1
2.5
2.5
1.5
1.5
1
1
0.5 0.5

图

-1 0
-0.5

1

-1 0
-0.5

1
-1
-1

象

-1.5
-2
-1.5
-2
-2.5
-2.5
(1) 定义域：（0，+∞）
（2）值域： R
（3）过定点（ 1，0），即 x=1 时，y=0
性
（4）在 （0，+∞）上是增函数 （4）在（ 0，+∞）上是减函数
质

(5) x 1, log x 0
a ；

(5) x 1, log x 0
a ；
0 x 1, loga x 0 0 x 1,loga x 0
8、幂函数： 函数 y x 叫做幂函数（只考虑

1
1, 2,3, 1, 的图象）。
2
9、方程的根与函数的零点： 如果函数 y f (x) 在区间 [ a , b] 上的图象是连续不断的一条曲线， 并且有 f (a) f (b) 0 ，
那么，函数 y f ( x) 在区间 ( a , b) 内有零点，即存在 c (a,b)，使得 f (c) 0 这个 c 就是方程 f (x) 0的根。
【必修二】
一、直线 平面 简单的几何体
1、长方体的对角线长

2 a2 b c2
2
l ；正方体的对角线长 l 3a
2、球的体积公式：

4
v 3 ； 球的表面积公式： S 4 　R 2
　R
3
3、柱体、锥体、台体的体积公式：

1
V = Sh ( S 为底面积， h 为柱体高 )； V锥体 = Sh
柱体
3

( S为底面积， h 为柱体高 )

V =
台体

1
3

( S’+ S'S+ S) h ( S’, S分别为上、下底面积， h 为台体高 )
4、点、线、面的位置关系及相关公理及定理：
（1）四公理三推论 :
公理 1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内。
公理 2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
公理 3：如果两个平面有一个公共点， 那么它们还有其他公共点， 且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
推论一 ：经过一条直线和这条直线外的一点 ,有且只有一个平面。
推论二 ：经过两条相交直线 ,有且只有一个平面。
推论三 ：经过两条平行直线 ,有且只有一个平面。
公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行 .
（2）空间线线，线面，面面的位置关系 ：
空间两条直线的位置关系 ：
相交直线——有且仅有一个公共点；
平行直线——在同一平面内，没有公共点；
异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。
空间直线和平面的位置关系：
（1）直线在平面内（无数个公共点） ；
（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点） ；
（3）直线和平面平行 （没有公共点） 它们的图形分别可表示为如下， 符号分别可表示为 a ，a A ，a // 。
空间平面和平面的位置关系：
（1）两个平面平行——没有公共点；
（2）两个平面相交——有一条公共直线。
2
5、 直线与平面平行的判定定理： 如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么该直线与这个平面平行。
a
符号表示： b a //
。图形表示：
a // b
6、 两个平面平行的判定定理： 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。
a
b
符号表示： a b P //
。图形表示：
a //
b //
7、. 直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么交线与
这条直线平行。
a//
符号表示： a a //b 。 图形表示：
b
8、 两个平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们交线的平行。
符号表示：
/ / , a, b a / /b
9、 直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么
这条直线垂直于这个平面。
符号表示 ： a ,b , a b P,l a,l b l
10、.两个平面垂直的判定定理： 一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
l ,l 符号表示：
11、 直线与平面垂直的性质： 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

a
符号表示： a // b
b

。
12、 平面与平面垂直的性质 ：如果两个平面互相垂直，那么在其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
符号表示 ：
l , m,l m l .
13、异面直线所成角：平移到一起求平移后的夹角。
直线与平面所成角：直线和它在平面内的射影所成的角。 （如右图）

l

P
14、异面直线所成角的取值范围是 0 ,90 ；
直线与平面所成角的取值范围是 0 ,90 ；
0 ,180
二面角的取值范围是 ；
0 ,180
两个向量所成角的取值范围是

H
二、直线和圆的方程
1、斜率： k tan ， k ( , ) ；直线上两点 P1( x1 ,y1 ), P2 (x2 , y2 ) ，则斜率为
2、直线的五种方程 ：

k

y y
2 1
x x
2 1

（1）点斜式

y y1 k(x x1) ( 直线 l 过点

P x y ，且斜率为 k ) ．
1 ( 1, 1)
（2）斜截式 y kx b(b 为直线 l 在 y 轴上的截距 ).

（3）两点式

y y x x
1 1
y y x x
2 1 2 1

( ( P1(x1, y1) 、 P2 (x2, y2 ) ； ( x1 x2 ) 、( y1 y2 )).
x y
(4) 截距式 1
( a、b分别为直线的横、纵截距， a、b 0)
a b
（5）一般式 Ax By C 0 ( 其中 A、B不同时为 0).
3、两条直线的平行、重合和垂直：

(1) 若

l1 : y k1x b1 ，l2 : y k2x b2

①

l ‖l2 k1 k2且b1 ≠b2 ;
1

②

l1与l 重合时 k k 且b b ；
2 1 2 2

③

l1 l2 k1k2 1.

(2) 若

l1 : A1x B1y C1 0, l2 : A2x B2 y C2 0, 且 A 1、A2、B1、B2 都不为零 ,
1、A2、B1、B2 都不为零 ,

A B C
① 1 1 1
l ||l
1 2
A B C
2 2 2

；② l1 l2 A1 A2 B1B2 0
3
4、两点 P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的距离公式 │P1P2│ =

2 2
(x x y y
2 ) ( )
1 2 1
5、两点 P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的中点坐标公式 M（

x1 x
2
2

，

y1 y
2
2

）
6、点 P（x0，y0）到直线 （直线方程必须化为 一般式 ）Ax+By+C=0的距离公式 d=

Ax
0

By
0

C

2
A

2
B
7、平行直线 Ax+By+C1=0、Ax+By+C2=0 的距离公式 d=

C

2

C
1
2 2
A B
8、 圆的方程：标准方程

2 y b r
2
2
x a ，圆心 a,b ，半径为 r ；
一般方程

2 2 0
x y Dx Ey F ，（配方：

(

2 2
D 2 E D E 4 F
x ）
) ( y )x ）
2
2 2 4

D E
2 E 2 F
D 4 0时，表示一个以 )
( ,
2 2

1 2 2 的圆；
为圆心，半径为 D E 4 F
2
9、点与圆的位置关系：

点

P( x , y )与圆
0 0

2 ( ) 2
2
(x a) y b r 的位置关系有三种：

若

2 2
d (a x ) (b y ) ，则
0 0
d r 点 P 在圆外 ; d r 点 P 在圆上 ; d r 点 P 在圆内 .
10、直线与圆的位置关系：

直线 Ax By C 0 与圆

2 ( )2 2
( x a) y b r 的位置关系有三种 :
d r 0; d r 相切 0;
相离

d r 0. 其中
相交

Aa Bb C
d .
2 B 2
A
11、 弦长公式：
若直线 y=kx+b 与二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）相交于 A(x 1，y1)，B（x2，y2）两点，则由

二次曲线方程
y=kx+m

ax 2+bx+c=0(a ≠0)
2+bx+c=0(a ≠0)
则知直线与二次曲线相交所截得弦长为：

AB =

2 2
(x2 x ) ( y y ) =
1 2 1

2 2
1 k x1 x2 = 1 k2）（x x ） 4x1x2
（
1 2

1 1
2
= 1 2
1 y y y y y
2 y (1 ) ( ) 4
1 2 1 2
2
k k

=
1 k

2

2
b 4ac
a
13、 空间直角坐标系，两点之间的距离公式：
⑴ xoy 平面上的点的坐标的特征 A （x，y，0）：竖坐标 z=0
xoz 平面上的点的坐标的特征 B（x，0，z）：纵坐标 y=0

F

z

Z
C yoz 平面上的点的坐标的特征 C（0，y，z）：横坐标 x=0 B

x 轴上的点的坐标的特征 D（x，0，0）：纵、竖坐标 y=z=0
y 轴上的点的坐标的特征 E（0，y，0）：横、竖坐标 x=z=0
z 轴上的点的坐标的特征 E（0，0，z）：横、纵坐标 x=y=0
⑵│P1P2│=

（

2 2 2
x ） （ ） （ ）
2-x y -y z -z
1 2 1 2 1

X

x

D

O

A

y
E

Y
【必修三】
算法初步与统计：
以下是几个基本的程序框流程和它们的功能
图形符号 名称 功能
终端框（起止框） 表示一个算法的起始和结束
输入、输出框 表示一个算法输入输出的信息
处理框（执行框） 赋值、计算（语句、结果的传送）
4
判断某一条件是否成立时， 在出口处
判断框 标明“是”或“ Y”，不成立时标明
“否”或“ N”
流程线 连接程序框（流程进行的方向）
连接点 连接程序框图的两部分
注释框 帮助注解流程图
循环框 程序做重复运算
一、算法的三种基本结构： （1）顺序结构（ 2）条件结构（ 3）循环结构
二、算法基本语句： 1、输入语句 :输入语句的格式： INPUT “提示内容” ； 变量。 2、输出语句 :输出语句的一般格式：
PRINT“提示内容” ；表达式。 3、赋值语句 :赋值语句的一般格式： 变量 =表达式。 4、条件语句 （1）“IF— THEN — ELSE”
语句。 5、循环语句 : 直到型循环结构“ DO— LOOP UNTIL”语句 和当型循环结构“ WHILE— WEN”D。
三．三种常用抽样方法：
1、简单随机抽样； 2．系统抽样； 3．分层抽样。 4．统计图表：包括条形图，折线图，饼图，茎叶图。
四 、频率分布直方图 ：具体做法如下： （ 1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差） ；（2）决定组距与组数；
（3）将数据分组； （4）列频率分布表； （5）画频率分布直方图。注：频率分布直方图中小正方形的面积 =组距×频率 。
2、频率分布直方图： 频率 =小矩形面积 （注意：不是小矩形的高度）

计算公式： =
频率

频数
样本容量

频数 =样本容量 频率 频率 =小矩形面积 =组距

频率
组距
各组频数之和 =样本容量， 各组频率之和 =1
3、茎叶图：茎表示高位，叶表示低位。
折线图 ：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图。
4、刻画一组数据集中趋势的统计量：平均数，中位数，众数。
在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的 众数 ；
将一组数据按照从大到小（或从小到大）排列，处在中间位置上的一个数据（或中间两位数据的平均数）叫做这组
数据的 中位数 ；
5、刻画一组数据离散程度的统计量：极差 ，极准差，方差。
（1）极差一定程度上表明数据的分散程度，对极端数据非常敏感。
（2）方差，标准差越大，离散程度越大。方差，标准差越小，离散程度越小，聚集于平均数的程度越高。
（3）计算公式：
1
2 2 2
标准差：
s [( x x) ( x x) (x x) ]
1 2 n
n
1
2 2 2 2
s [( x x ) ( x x ) ( x n x ) ]
方差： 1 2
n
直线回归方程的斜率为 b?，截距为 a?，即回归方程为 y?= b?x+ a?（此直线必过点（ x ， y ））。
6、频率分布直方图：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，方长方形的高与频数成正比，
各组频数之和等于样本容量，频率之和等于 1。
五 、随机事件： 在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。一般用大写字母 A,B, C, 表示 .
随机事件的 概率 ：在大量重复进行同一试验时 , 事件 A 发生的频率 总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把
这个常数叫做事件 A的概率 , 记作P（A）。由定义可知0≤ P（A）≤ 1，显然必然事件的概率是 1，不可能事件的概率
是 0。
1、 事件间的关系：
（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；
（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；
（3）包含：事件 A 发生时事件 B 一定发生，称事件 A 包含于事件 B（或事件 B 包含事件 A ）；
（4）对立一定互斥，互斥不一定对立。
2、 概率的加法公式 ：
（1）当 A和 B互斥时，事件 A+B的概率满足加法公式： P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥）（ 2）若事件 A 与 B 为对
立事件，则A∪B 为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1 ，于是有 P(A)=1 — P(B) ．
5
3、 古典概型：
（1）正确理解古典概型的两大特点： 1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； 2）每个基本事件出现的可能

性相等；（2）掌握古典概型的概率计算公式： P( A)

A m
事件 包含的基本事件个数
n
实验中基本事件的总数
4、 几何概型：
（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率
模型为几何概率模型。
（2）几何概型的特点： 1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； 2）每个基本事件出现的可能性相
等．

（3）几何概型的概率公式： P( A)

事件 构成的区域的长度（面积或体积）
A
实验的全部结果构成的区域的长度（面积或体积）
【必修四】
一、 三角函数
1、弧度制：（1）、180 弧度， 1 弧度

180
'
( ) 57 18 ；弧长公式： l | | r （l 为 所对的弧长， r 为半径，
正负号的确定：逆时针为正，顺时针为负） 。
2、三角函数：
y x y x
（1）、定义： 　　 　 　　 　　r
sin cos 　tan cot
r r x y
3、特殊角的三角函数值：

x

2 y
2
的角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360

的弧度 0

2
6 4 3 2 3

3
4

5
6

3 2
2

sin 0

1
2

2
2

3 1
2

3
2

2
2

1 0 1 0
2

cos 1

3
2

2
2

1 0
2

1
2

2
2

3 1 0 1
2

tan 0

3 1 3 — 3 1
3

3 0 — 0
3
2 2
4、同角三角函数基本关系式： sin cos 1

sin
tan cot 1
tan
cos
5、诱导公式： （众变横不变，符号看象限） 正弦上为正；余弦右为正；正切一三为正。
1、 诱导公式一 ： 2 、 诱导公式二 ： 3、 诱导公式三 ：
sin 2k sin , sin sin , sin sin ,
cos 2k cos , cos cos , cos cos ,
tan 2k tan . tan tan . tan tan .
4、 诱导公式四 ： 5 、 诱导公式五 ： 6 、诱导公式六 ：

sin
cos

sin ,
cos

,

sin cos ,
2

sin cos ,
2
tan tan .
cos sin . cos sin .
2 2
6、两角和与差的正弦、余弦、正切：
S ：sin( ) sin cos cos sin S( ) ：sin( ) sin cos cos sin
( )
C ： cos(a ) cos cos sin sin C( ) ： cos(a ) cos cos sin sin
( )

T ：
( )

tan tan
tan( T( ) ：
)
1 tan tan

tan( )

tan
1 tan

tan
tan
tan +tan = tan( + )(1 tan tan ) tan -tan = tan( - )(1 tan tan )
a b
7、辅助角公式 ： x
2 2
a sin x b cos x a b sin x cos
2 2 2 2
a b a b

2 b x x a b x
2 2 2
a (sin cos cos sin ) sin(

)
6
8、二倍角公式 ：（1）、

S ：sin 2 2 sin cos C2 ：
2

2 sin 2 2
2
cos 2 cos 1 2 sin 2 cos 1
2 tan
T ： 2
tan 2 2
1 tan （2）、降次公式： （多用于研究性质）
1 1 cos 2 1 1 1 cos 2 1 1
2 2
sin cos sin 2 sin cos 2 cos cos2
2 2 2 2 2 2 2
9、在 y sin , y cos , y tan , y cot 四个三角函数中只有 y cos 是偶函数，其它三个是寄函数。 （指数
函数、对数函数是非寄非偶函数）
10、在三角函数中求最值（最大值、最小值） ；求最小正周期；求单调性（单调第增区间、单调第减区间） ；求对称轴；
求对称中心点都要将原函数化成标准型；
y Asin( x ) b
如：

y
y

A
A

cos(
tan(

x
x

)
)

b
b

再求解。
y A cot( x ) b
11、三角函数的图象与性质：
函数 y=sinx y=cosx y=tanx
图象
定义域 R R , }
{ x | x k k Z
2
值域 [ 1,1] [ 1,1 ] R
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
周期性 2 2

单调性

在[2k ,2k ] (k Z) 增
2 2
在[2 ,2 3 ]
k k (k Z ) 减
2 2

在[ 2k ,2k ] (k Z) 增
在[2k ,2k ] (k Z ) 减

在 (k Z ) 增

最值

当 x 2k , k Z
2
当 x 2k , k Z
2

时， y 1
max
时, y 1
min

当 x 2k , k Z 时， y 1
max
当 x (2k 1) ,k Z 时， y 1
min

无

对称性

对称中心 (k ,0) ，k Z
对称轴：

x (k Z)
k
2

( k ， k Z
对称中心 ,0)
2
对称轴： x k (k Z)

对称中心 (k ,0)， k Z
对称轴：无
12．函数 y Asin x 的图象：
（1）用“图象变换法”作图
由函数 y sin x 的图象通过变换得到 y A sin( x ) 的图象， 有两种主要途径 “先平移后伸缩” 与“先伸缩后平移” 。
法一：先平移后伸缩

向左 0 或向右 0
( ) ( )
y sin x y sin( x )
平移 | |个单位

纵坐标变为原来的 倍
A y A sin( x )
横坐标不变

向左 ( 0) 或向右 ( 0)
y sin x y sin( x )
平移 个单位
| |

，

1
横坐标变为原来的 倍
纵坐标不变

y sin（ x ）
法二：先伸缩后平移

y s i nx

1
横坐标变为原来的 倍
纵坐标不变

y sin x ( 0) ( 0) y sin( x )
向左 或向右

纵坐标变为原来的 倍
A y A sin( x )
横坐标不变

平移 个单位
| |
7
当函数 y A sin( x )（A>0 ， 0 ， x [0， ) ）表示一个振动量时， A 就表示这个量振动时离开平衡
位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间

2
T ，它叫做振动的周期；单位时
间内往复振动的次数
二、平面向量

1 2
f ，它叫做振动的频率； x 叫做相位， 叫做初相（即当 x＝0 时的相位）。
T
1、平面向量的概念：
1 在平面内，具有大小和方向的量称为平面向量．
2 向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．
3 向量 的大小称为向量的模（或长度） ，记作 ．
4 模（或长度）为 0 的向量称为零向量；模为 1的向量称为单位向量．
5 与向量 a 长度相等且方向相反的向量称为 a 的相反向量，记作 a ．
6 方向相同且模相等的向量称为相等向量．
2、实数与向量的积的运算律： 设 λ 、 μ为实数，那么
(1) 结合律： λ( μ a )=( λμ) a ;(2) 第一分配律： ( λ+μ) a = λa +μa; (3) 第二分配律： λ( a b )= λa + λ b .
3、向量的数量积的运算律： (1) a · b = b · a （交换律） ;
(2) （ a ）· b = （ a · b ）= a · b = a ·（ b ）;(3) （a b ）· c= a· c + b · c.
4、平面向量基本定理：

如果

e 、e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 λ
1

1、λ2，使得

a = λ1 e1 + λ

2 e2 ．
不共线的向量 e1 、 e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底 ．
5、坐标运算 ：（1）设

a x1 , y , b x , y ，则 a b x1 x2 , y1 y2
1 2 2
数与向量的积： λ a x1, y1 x1 , y1 ，数量积： a b x1 x2 y1 y2
（2）、设 A、B两点的坐标分别为（ x1，y1），（x2，y2），则

AB x2 x , y y . （终点减起点）
1 2 1
6、平面两点间的距离公式： （1）

d =| AB | AB AB
A,B

2 2
(x x ) ( y y )
2 1 2 1
2
（2）向量 a的模| a| ： a a a
| |

2 y2
x ；
（3）、平面向量的数量积： a b a b cos ， 注意： 0 a 0 ，0 a 0 ， a ( a) 0
（4）、向量

cos
a x1, y , b x , y 的夹角 ，则，
1 2 2

x x y y
1 2 1 2
2 2 2 2
x y x y
1 1 2 2
7、重要结论： （1）、两个向量平行： a// b a b ( R) ， a// b x1 y2 x2 y1 0
（2）、两个非零向量垂直 0
a b x1 x y y
2 1 2
（3）、P 分有向线段

P1P 的：设 P（x，y） ，P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） ，且 P1P PP2 ，
2
x x
1 2
则定比分点坐标公式 中点坐标公式
x
1

x

x x
1 2
2
三、空间向量

y

y y
1 2
1

y

y y
1 2
2
1、空间向量的概念： （空间向量与平面向量相似）
1 在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量．
2 向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．
3 向量 的大小称为向量的模（或长度） ，记作 ．
4 模（或长度）为 0 的向量称为零向量；模为 1的向量称为单位向量．
8
5 与向量 a 长度相等且方向相反的向量称为 a 的相反向量，记作 a ．
6 方向相同且模相等的向量称为相等向量．
2、实数 与空间向量 a 的乘积 a 是一个向量，称为向量的数乘运算．当 0 时， a 与a 方向相同；当 0时，
a 与 a 方向相反；当 0 时， a 为零向量，记为 0 ． a 的长度是 a 的长度的 倍．
3、设 ， 为实数， a ，b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．
分配律： a b a b ；结合律： a a．
4、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何
向量都共线．
5、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量 a ， b b 0 ， a //b 的充要条件是存在实数 ，使 a b ．
6、平行于同一个平面的向量称为共面向量．
7、向量共面定理：空间一点 位于平面 C 内的充要条件是存在有序实数对 x， y ，使 x y C ；
8、已知两个非零向量 a 和b ，在空间任取一点 ，作 a ， b ，则 称为向量 a ，b 的夹角，记作
a,b ．两个向量夹角的取值范围是： a,b 0, ．
9、对于两个非零向量 a 和b ，若 a,b ，则向量 a ，b 互相垂直，记作 a b ．
2
10、已知两个非零向量 a 和b ，则 a b cos a,b 称为 a ，b 的数量积，记作 a b ．即 a b a b cos a,b ．零向量
与任何向量的数量积为 0 ．
11、 a b 等于 a 的长度 a 与b 在 a 的方向上的投影 b cos a,b 的乘积．
12 、 若 a ， b 为 非 零 向 量 ， e 为 单 位 向 量 ， 则 有 1 e a a e a cos a,e ； 2 a b a b 0 ；

3 a b

a b a与b同向
a b a与b反向

，

2
a a a ， a a a ； 4 cos ,
a b

a b
a b
．
13、量数乘积的运算律： 1 a b b a； 2 a b a b a b ； 3 a b c a c b c ．
14、若空间不重合两条直线 a， b 的方向向量分别为 a ，b ，则 a// b a// b a b R ，
异面垂直时 a b a b a b 0．
15、若空间不重合的两个平面 ， 的法向量分别为 a ， b ，则 // a// b a b ，
a b a b 0 ．
16、直线 l 垂直 ，取直线 l 的方向向量 a ，则向量 a 称为平面 的法向量．
【必修五】：
1 1 1
一、解三角形 ：（1）三角形的面积公式： S ab C ac B bc sin A
sin sin
2 2 2

：
a b c
（2）正弦定理： R a R A b R B c R C
2 , 2 sin , 2 sin 2 sin
边用角表示： 　 ， sin A sin B sin C

2
a

2
b

2
c

2bc cos A
（3）、余弦定理：

2
b

2
a

2
c

2ac cosB

2
c

2
a

2
b

2
2ab cosC (a b) 2a b(1 cocC)
（4）求 角：

cos A

b

2

2
c
2bc

a

2 2 2
a c
　　　　cos B 　　　　cos C
2ac
b

2

a

2

2
b
2

ab

c

2
二. 数列
1、数列的前 n 项和： Sn a1 a2 a3 an ； 数列前 n 项和与通项的关系：

a
n

a S (n 1)
1 1
S S (n 2)
n n 1
2、等差数列 ：（1）、定义 ：等差数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数 ( 1 d)
an an ；
（2）、通项公式 ：a a n d
n 1 ( 1) （其中首项是 a1 ，公差是 d ；）
9

na (d
1

0)
（3）、前 n 项和：

S
n

n(a
1

2

a
n

)

na
1

n(n
2

1)

d

（d≠0）
a b
A
（4）、等差中项： A 是 a与b 的等差中项： 或2A a b，三个数成等差常设： a-d ，a，a+d
2
a
n
3、等比数列： （1）、定义 ：等比数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数 ( q)
a
n 1

（q 0）。
（2）、通项公式：

n 1
an a q （其中：首项是 a1 ，公比是 q ）
1
na ,( q 1)
1
（3）、前 n 项和：

n
S a a q a q
n n
(1 )
1 1
1 q 1 q

, ( q 1)
2 （或 G ab ，等比中项有两个）
G b
（4）、等比中项： G 是a与b 的等比中项： ， 即 G ab
a G 三：不等式
2 2
a b
1、重要不等式： （1） a,b R a2 b2 2ab 或 ( 当且仅当 a＝b 时取“ =”号) ．
ab
2

2、均值不等式： （2） a,b R

a b
2

ab 或

ab

a b
( )
2

2
( 当且仅当 a＝b 时取“=”号 ) ．
一正、二定、三相等
注意：解指数、对数不等式的方法：同底法，同时对数的真数大于 0；
10