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第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
§ 4.1柱面
1、已知柱面的准线为：

且（1）母线平行于轴；（2）母线平行于直线，试求这些柱面的方程。
解：（1）从方程

中消去，得到：
即：
此即为要求的柱面方程。
（2）取准线上一点，过且平行于直线的直线方程为：

而在准线上，所以

上式中消去后得到：
此即为要求的柱面方程。
2
而在准线上，所以：

消去，得到：
此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线的圆柱面方程。
解：过
又过准线上一点，且方向为的直线方程为：

将此式代入准线方程，并消去得到：

此即为所求的圆柱面的方程。
4、已知柱面的准线为，母线的方向平行于矢量，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：

与

式中的为参数。
证明：对柱面上任一点，过的母线与准线交于点，则，
即
1、求顶点在原点，准线为的锥面方程。
解：设为锥面上任一点，过与的直线为：

设其与准线交于，即存在，使，将它们代入准线方程，并消去参数，得：

即：
此为所要求的锥面方程。
2、已知锥面的顶点为，准线为，试求它的方程。
解：设为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：

令它与准线交于，即存在，使

将它们代入准线方程，并消去得：

此为要求的锥面方程。
4、求
对锥面上任一点，过与顶点的母线为：

令它与准线的交点为，即存在，使，将它们代入准线方程，并消去得：

此即为要求的圆锥面的方程。
5、求顶点为，轴与平面垂直，且经过点的圆锥面的方程。
解：轴线的方程为：
过点且垂直于轴的平面为：

即：
该平面与轴的交点为，它与的距离为：

要求圆锥面的准线为：
的径矢为，试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：

与

式中，为参数。
证明：对锥面上任一点，令，它与顶点的连线交准线于，即。
，且（顶点不在准线上）

即
亦即
此为锥面的矢量式参数方程。
若将矢量式参数方程用分量表示，即：

此为锥面的坐标式参数方程，为参数。
§ 4.3旋转曲面
1、求下列旋转曲面的方程：
（1）；绕旋转
（2）；绕旋转
（3）绕轴旋转；
（4）空间曲线绕轴旋转。
解：（1）设是母线上任一点，过的纬圆为：

因在母线上， (3)
从（1）——（3）消去，得到：

此为所求的旋转面的方程。
（3）对母线上任一点，过该点的纬圆为：

又在母线上，所以： （3）
从（1）——（3）消去，得到：

此为所求的旋转面方程。
（4）对母线上任一点，过的纬圆为：

又在母线上，所以

从（1）——（3）消去，得到：

即旋转面的方程为：
2、将直线绕轴旋转，求这旋转面的方程，并就可能的值讨论这是什么曲面？
解：先求旋转面的方程式：
任取母线上一点，过的纬圆为：

又 （3）
从（1）——（3）消去，得到：

此即为所求旋转面的方程。
当时，旋转面为圆柱面（以轴为轴）；
当时，旋转面为圆锥面（以轴为轴，顶点在原点）；
当时，旋转面变为轴；
当时，旋转面为单叶旋转双曲面。
3、已知曲线的参数方程为，将曲线绕轴旋转，求旋转曲面的参数方程。

解：如图，设为上任一点，则对经过的纬圆上任一点，
§4.4椭球面
1、做出平面与椭球面的交线的图形。
解：平面与椭球面的交线为：

，即 ——椭
图形为

2、设动点与点的距离等于从这点到平面的距离的一半，试求此动点的轨迹。
解：设动点，要求的轨迹为，则
条两两相互垂直的射线，分别交曲面，设，试证：
证明：利用上题结果，有
其中是的方向余弦。
若将所在的直线看成新的坐标系的三个坐标轴，则是坐标矢量关于新坐标系的方向余弦，从而，同理，，
所以，

即：
5、一直线分别交坐标面于三点，当直线变动时，直线上的三定点也分别在三个坐标面上变动，另外，直线上有第四点，它与三点的距离分别为，当直线按照这样的规定（即保持分别在三坐标面上）变动，试求点的轨迹。
解：设，则知：

又设，

又在的连线上，（4）
从（1）——（4）消去，得到
即：

满足要求的平

2、给定方程
试问当取异于的各种数值时，它表示怎样的曲面？
解：对方程 （*）
1º、当时，（*）不表示任何实图形；
2º、当时，（*）表示双叶双曲面；
3º、当时，（*）表示单叶双曲面；
4º、当时，（*）表示椭球面。
3、已知单叶双曲面，试求平面的方程，使这平面平行于面（或面）且与曲面的交线是一对相交直线。
解：设所求的平面为，则该平面与单叶双曲面的交线为：
（*）
亦即
为使交线（*）为二相交直线，则须：，即
所以，要求的平面方程为：
同理，平行于的平面要满足它与单叶双曲面的交线为二相交直线，则该平面为：
4、设动点与的距离等于这点到平面的距离的两倍，试求这动点的轨迹。
解：
此即为要求的射影柱面方程。
6、设直线与为互不垂直的两条异面直线，是与的公垂线的中点，两点分别在直线，上滑动，且，试证直线的轨迹是一个单叶双曲面。

证明：以，的公垂线作为轴，作为坐标原点，再令轴与，的夹角均为，公垂线的长为，若设，则，的方程分别为：

令，，则有：

又，所以：
亦即 （2）
又设为上任一点，则
(3)
从（1）——（3）中消去，得：

即： (4)
不垂直，
（4）表示单叶双曲面，即的轨迹是一单叶双曲面。
7、试验证单叶双曲面与双叶双曲面的参数方程分别为：
与
解为：

令确定与
和均在该曲面上。
有：

从而
所以要求的椭圆抛物面的方程为：
即：
2、适当选取坐标系，求下列轨迹的方程：
（1）到一定点和一定平面距离之比为定常数的点的轨迹；
（2）与两给定的异面直线等距离的点的轨迹，已知两异面直线间的距离为，夹角为。
解：（1）取定平面为面，过定点且垂直于面的直线作为轴，则定点的坐标设为，而定平面即为，设比值常数为，并令所求的轨迹为，则
点
即
此为的方程。
（2）取二异面直线的公垂线为轴，中点的坐标为原点；再取轴，使其与二异面直线的夹角相等，则二异面直线的方程为：
与
设所求的轨迹为，则

解：略。
5、试验证椭圆抛物面与双曲抛物面的参数方程可分别写成：
与
式中的为参数。
解：对方程

消去参数得：
这正是椭圆抛物面的方程。
对方程

消去参数得：
这正是双曲抛物面的方程。
§ 4.7单叶双曲面与双叶双曲面的直母线
1、 求下列直纹面的直母线族方程：
（1） （2）
解：（1）从原方程得：
即：
亦即：
为了避免取极限，将上方程写成：
（1）
若将原方程变形为：，则可得到： （2）
若令，，则（2）便是（1）
原曲面的直母线族是（1），其中不全为零。
（2）原方程变形为：
亦即：
（1）
由
得： （2）
（1）（2）即这原曲面的两组直母线族方程。
2、 求下列直线族所成的曲面（式中的为参数）
（1）； （2）
解：（1）原方程等价于
从此式中消去，得：
此即为直母线（1）所形成的曲面。
（2）从原方程中消去得：
此即为（2）的直母线族所形成的曲面。
3、在双曲抛物面上，求平行于平面的直母线。
解：双曲抛物面的两族直母线为：
及
第一族直母线的方向矢量为：
第二族直母线的方向矢量为：
据题意，要求的直母线应满足：

要求的直母线方程为：
及
4、试证单叶双曲面的任意一条直母线在面上的射影，一定是其腰圆的切线。
证明：单叶双曲面的腰圆为
两直母线为：

它在面内的射影为 ： （2）
将（2）的第一式代入（1）的第一式得：

即：
上述方程的判别式为：

（2）与（1）相比，证毕。
5、求与两直线与相交，而且与平面平行的直线的轨迹。
解：设动直线与二已知直线分别交于，则
，
又动直线与平面平行，所以，

对动直线上任一点，有：
从（1）——（4）消去，得到：
6、求与下列三条直线
， 与
都共面的直线所构成的曲面。
解：动直线不可能同时平行于直线及直线
不妨设其与第一条直线交于
注与第二条直线的平面为：
过与直线的平面为
动直线的方程为：
从上式中消去参数，得：
此为所要求的轨迹方程。
7、试证明经过单叶双曲面的一 直母线的每个平面一定经过属于另一族直母线的一条直母线，并举一反例，说明这个命题与双曲抛物面的情况下不一定成立。
证明：单叶双曲面的一族直母线为：

过该族中一条直母线的平面为：
即： （1）
另一族直母线为：
过该族中一条直母线的平面为：
即 （2）
对照（1）、（2）得，只要令，得（2）便是（1）了
亦即过族每一直母线的任一平面都经过族中的一条直母线，
同理，对族的直母线也有类似性质。
对双曲抛物面：
其族直母线为：
（*）
取其中的一条（即取定），显然平面通过直母线（*），但该平面不通过族直母线中的任何一条，这是因为：
族直母线

的方向矢量为
而
平面不能通过族中的任何直母线。
8、试求单叶双曲面上互相垂直的两条直母线交点的轨迹方程。
解：由于过单叶双曲面上每点仅有一条母线和一条母线，
所以它的同族直母线不能相交，设单叶双曲面的二垂直相交的直母线为：

将两方程化为标准式，得：

由此求出二直线的交点坐标为：

又二直线垂直，

即
又交点在单叶双曲面上，所以：
故交点的轨迹为
9、试证明双曲抛物面上的一两条直母线直交时，其交点必在一双曲线上。
证明：由于过双曲抛物面上一点仅有一条族直母线，也仅有一条族直母线，所以同族的直母线不能相交。
设两相交的直母线为：
其方向矢量为
与 其方向矢量为
由二直线直交，所以： （*）
二直母线的交点坐标为：

但由（*）式有： （* *）
（* *）为一双曲线方程，交点在一双曲线上。
10、已知空间两异面直线间的距离为，夹角为，过这两条直线分别作平面，并使这两平面相互垂直，求这样两平面交线的轨迹。
解：建立坐标系：取二异面直线的公垂线作为轴，公垂线的中点为原点，让轴与二异面直线夹角相等，则二直线方程为：
与
过这两直线的平面为：

二平面的交线为： （1）

（2）
当二异面直线不直交时，，从（1）（2）中消去，得：
——单叶双曲面
此为要求的轨迹方程。
当二异面直线直交时，则，此时，（1）（2）变为：

当时，为
它的轨迹为平面。
当时，为
它的轨迹为平面
从而当二异面直交时，动直线（1）的轨迹为二平面：
与
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